平面向量易錯題解析

1、平面向量易錯題解析1.你熟悉平面向量的運算（和、差、實數(shù)與向量的積、數(shù)量積）2你通常是如何處理有關(guān)向量的模（長度）的問題？（利用、運算性質(zhì)和運算的幾何意義嗎?2|a |2 = a ； |a.<：x2 - y2 ）3你知道解決向量問題有哪兩種途徑?（向量運算；向量的坐標運算）xi y2 - x2yi 二 0 問題:兩個向量的數(shù)量積與兩個實數(shù)的乘積有什么區(qū)別？4你弄清"a _ b ：二 x-i x2y! y2 =0 ”與"a/ b 二了嗎?(1)在實數(shù)中：若a十0，且ab=O,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若a=0，且a*b = 0，不能推T T 出 b =0 (2)已知

2、實數(shù)a,b,c, （b=o），且ab二be，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有ab = bc= a = c.(3)在實數(shù)中有（a *b）c = a *（b *c），但是在向量的數(shù)量積中（ab）c = a（bc）,這是因為TT左邊是與c共線的向量，而右邊是與 a共線的向量5.正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎？三角形內(nèi)的求值、化簡和證明恒等式有什么特點？1.向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注 . 意不能說向量就是有向線段 ，為什么？（向量可以平移）。如已知A （ 1,2 ）, B （4,2 ），則把向量 AB 量a =（

3、- 1,3 ）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ）長度為0的向量叫零向量，記作： 0，注意零向量的方向是任意的；:長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是 AB）；-|AB|零向量:(3)單位向量按向(4)(5)相等向量平行向量a的相反向量是一a。（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。如下列命題：（1）若a =|b，則a=b。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。 （3） 若 石，則_ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則o （6）若ab,bc，貝yac。其中正確的是（答: （4）2.向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭

4、頭的有向線段表示，如 （2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如 坐標系，以與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量則 AB = DC o ( 5)若 a 二b'b c ,(5)a , b , c 等；（3）i , j為基底，則平面內(nèi)的任一向量AB，注意起點在前，終點在后； 坐標表示法：在平面內(nèi)建立直角*a可表示為a = x, y叫做向量a的坐標表示。如果向量的起點在a =xi - yj =：x, y，稱 x, y 為向量a的坐標， 原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。3. 平面向量的基本定理：如果ei和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量 a ,有且只有

5、一對實數(shù) 1 >' 2，使a = ei + 2 e2o1寸 3(答：a b )； (2)下列向量組中，能作為2 2平面內(nèi)所有向量基底的是A. 0 =(0,0),僉=(1,_2) B. 0 =(1,2)© =(5,7) C. 8 =(3,5),=(6,10)D. ； =(2, _3),；=(丄,一3 (答:B) ; ( 3 )已知 AD,"BE分 別是AABC的邊BC, AC上的中線，且24BC可用向量a,b表示為如(1)若 a =(1,1),b =(1,_1),c = (_1,2)，則 C 二zD=a,BE=b,則(答：-4b )；(4)已知 MBC中，點D在

6、BC邊上,33且 CD = 2DB, C=r A+saC，則 r+s 的值是(答：0)4. 實數(shù)與向量的積 ：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作 a，它的長度和方向規(guī)定如下：硏a, (2)當丸>0時，k a的方向與a的方向相同，當 九<0時，& a的方向與a的方向相反，當観鳥,盒b, aob“ = 0 時， a = 0 ,注意：，a 豐 0。 5.平面向量的數(shù)量積：(1) 兩個向量的夾角：對于非零向量a , b，作b-*r-fc-*冗0 _二_ 稱為向量a , b的夾角，當= 0時，a , b同向，當二=二時，a , b反向，當二=-時, a , b垂直。(2) 平面向量的數(shù)

7、量積：如果兩個非零向量 a , b，它們的夾角為v ,我們把數(shù)量|a|b|cosr叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積)，記作：a * b，即ab = a b cos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù),則 AB BC =(答：-9);不再是一個向量。如(1) ABC中，| AB |=3 , | AC |=4 , | BC 戶 5 ,11(2)已知 a =(1, ),b (0,),c = a kb,d = a -b，c與 d 的夾角為一，.,. l2.2.4ji則k等于=2,；b =5,兩個非零向量，且a| =(答：1)； (3)已知|=：一6'，則a與a+b的夾角為

8、=-3，則a+b'等于(答：30 )(答：J23 ); (4)已知 a,b是(3) b在a上的投影為|b|cosr，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知|a 1=3 , | b 5，且12a b =12，則向量a在向量b上的投影為(答： 一)5 .(4) a *b的幾何意義：數(shù)量積a *b等于a的模|a|與b在a上的投影的積。(曾 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量 a, b，其夾角為則：4 4彳2*+耳2|彳12- -a *b = a b，特別地，a =aa=|a；，禺=*a ；當a與b反向時，a b = a b a b =0 ;當a , b同向時，a"b ；當二為銳角時，a

9、 * b >0,且a、b不同向，a b 0是二為銳角的必要非充分條件 ；當二為鈍角時，a *b v0，且a、b不反向，a b 0是二為鈍角的必要非充分條件 ；a «b非零向量a , b夾角二的計算公式：cos -=41(答：二或o且二)；(2)；|ab閆a |b |。如(1)已知a =(丸,2丸),fT >b = (3，,2),如果a與b的夾角為銳角，貝U 1的取值范圍是1 3J J已知 OFQ的面積為S，且OF FQ =1，若1 ： S 3，則OF , FQ夾角二的取值范圍是2 2JI JI(答：(一， );(3 ) 已知a=(c oxs ,)s丄In ) , y (

10、ay與b之間有關(guān)系式a kb，其中k >0 ,用k表示a b ；求a b的最小值，并求此時a與b的夾角日的大小(答： k2 | 11+ a b二-(k 0)；最小值為一，二-60 )4k26.向量的運算：(1)幾何運算： 向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB二a, BC二b，那么向量 AC叫做a與b的和，即呻寸 r t a b = AB BC = AC; 向量的減法：用“三角形法則”點指向被減向量的終點。 ab_ad_dC=,、形ABCD的邊長為1, AB:設(shè)AB =a, AC =b,那么a -b

11、= AB - AC =CA，由減向量的終 女口( 1)化簡： A + B+C=;AD ;CB ;0 ); (2)若正方.(答: 2 貶);(3)若 O是 L ABCO-OC1 OB+OC2OA，則L ABC的形狀為(答：直角三角形)；(4)若D為 ABC的邊BC的中點， ABC所在平面內(nèi)有一點 P，滿足PA BP0，設(shè)仏里，一IPDI4則入的值為(答：2) ( 5)若點O是厶ABC的外心，且 OA + OB+CO= 0 ,貝U ABC的內(nèi)角C為(答: 120 ); 彳 彳(2)坐標運算：設(shè) a *x1y),b =(x2, y2)，則：向量的加減法運算：abN _X2 , % 一丫2)。女口(

12、1)已知點 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若 A?=AB+ACr)，則當、一時，點p在第一、三象限的角平分線上(答：-)；(2)已知2兀亠 兀(答：一或 )；(3)已知作.6 2注意：此處減向量與被減向量的起點相同。T I:(AB CD) _(AC _BD) = (答：= a,BC =b,AC =C ,貝U |a + b+C| =所在平面內(nèi)一點，且滿足LAPIH TL=(sin xcos y> , x,y(,)，貝y x+y =2 2用在點A(1,1)的三個力F1 =(3,4), F2 =(2, -5)丘=(3,1)，則合力F = F1 F2 F3的終點坐標是 (答:

13、 (9,1 )呻 實數(shù)與向量的積：a ='為，。 若A(xi, yj, B(X2, y2)，則AB二,即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線1 段的終點坐標減去起點坐標。如設(shè)A(2,3), B( -1,5)，且AC AB ,3冷=3議則C D的坐標分別是11 (答：(1-),( -7,9);3 呻r,平面向量數(shù)量積：ax1x2y1 y2。如已知向量 a =( sinx , cosx) , b =( sinx , sinx ) , cTlif=(1, 0)。(1)若x=，求向量a、c的夾角；(2)若x 3為 1，求，的值(答：(1)150;(2) 1 或 _、2 -1);2 . 2，函

14、數(shù)f (x)二 a七的最大值T向量的模：|a|= Jx2 y2,a- =|a|x2 y2。如已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么 |a+3b| = (答:屆)；兩點間的距離：若A x1,y1 ,B x2, y2 ，則2 2卜；X2 - X1 j亠y2 - y1。如如圖，在平面斜坐標系斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若則P點斜坐標為(x, y)。(1)若點P的斜坐標為(2, 2), 1為半徑的圓在斜坐標系 xOy中的方程。(答：(1) 2； (2)一、4 447.向量的運算律 ：(1 )交換律：a亠b=b亠a，門.a - a , ab=ba4444444呻 寸 -*444a bc=a b

15、c, abc=ab c, a b= ab=a b; ( 3| ABxOy中，.xOy二60；，平面上任一點P關(guān)于q,e2分別為與x軸、y軸同方向的單位向量, 求P到O的距離| PO|； (2)2 2x y求以O(shè)為圓心,(2)結(jié)合律:分配律：i亠 打aa - ,a a b = - a b a ba *c b *c 。 如口 下 歹U 命2 a (b -c) = a b - a c; a (b c) = (a b) c :(a-b)-21 a | | b | |b |2: 若 a b =0，則 a =0或 b =0；若 a b*2 r 2=|a|題中：眾b,則；® T鳥2，字2 ；a a

16、(a b)2 =a b ;(a-b)2 =a -2a b b。其中正確的是提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、 兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約 去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的"乘法”不滿足結(jié)合律，即a(bc) = (a b)c ,為什么？8. 向量平行(共線)的充要條件：44如(1)若向量 a =(x,1),b =(4, x)，當 x =T 44* T雪(1,1),b= (4x ) u * 2b ,PA =(k,12),PB =(4,5), PC

17、=(10,k),則 k =9. 向量垂直的充要條件：a _ b ：= a b = 0= | a b |=| a b |= x1x2 y1 y2 = 0 .特別地A CV(答：)2 2:a/b：= a = b：= (.b) j(|a|b|)二 Ny2丫必2 = 0。時a與b共線且方向相同(答：2) ； (2)已知+v =2a +b ,且 u/v ,貝U x = (答：4 )；( 3 )設(shè)_時，A,B£共線(答: 2 或 11)A。如(1)已知 OA = (-1,2), oB =(3, m)，若 OA_OB，則 m =A C(答:33 )( 2)以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角

18、三角形2(1,3)或(3, 1 ); ( 3)已知 n= (a, b),向量 n丄 m (b, -a)或(七,a)10.線段的定比分點：(1 )定比分點的概念OAB Z B =90 ,則點B的坐標是，且 n=m，貝U m的坐標是(答:(答:PP =PF2，則丸叫做點(2)的符號與分點(教材未有內(nèi)容，適度補充):設(shè)點P是直線P1 P2上異于P1、P2的任意一點，若存在一個實數(shù)，使P分有向線段PP2所成的比，P的位置之間的關(guān)系的延長線上時= < 1;的比為，則點P分有向線段P點在線段P2 P1 IPR所成的比為P點叫做有向線段 PP2的以定比為的定比分點； :當P點在線段P 1P2上時>

19、;0;當P點在線段P的延長線上時二-1： ：0，若點P分有向線段PP2所成13一。如若點P分AB所成的比為-九41P2，則A分BP所成的比為(答: -7)3片 x2x 二2標公式時，應(yīng)明確 應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，特別地，當 = 1時，就得到線段 P,P2的中點公式力 y2。在使用定比分點的坐(x, y), (X1,yJ、(X2,y2)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時 靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比 ，。如(1)若M( -3 , -2 ), r 17N( 6, -1 )，且 MP二MN,則點 P 的坐標為 (答:(-6, )； (2)已知 A(a,0), B

20、(3,2+a),3 31(答：2或4)直線y =_ax與線段AB交于M，且AM，=2MB，則a等于_211.向量中一些常用的結(jié)論：(1) 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；(2) |a|_|b|_|a=b|a| |b |，特別地，當 a、b 同向或有 0 = | a b |=| a | b |4 44444彳T 呻 彳*444444工 | .1ab；當 a、b 反向或有 0 = |ab|=|a|+|b|a 卜 b；| 當 a、b 不共線= 舊 卜b鬧a±b <j a +1 b這些和實數(shù)比較類似).心的坐標為(3) 在 ABC 中，若 A X1,% ,B X2

21、,y2 ,C X3,y3 ，則其重。如若NABC的三邊的中點分別為(2, 1 )、(-3 , 4)、(-1 , -1 )，則G Xt X2 X3 y1 y2 y33ZABC的重心的坐標為仆 2 4(答：(一；，；)；3 3，一 _,P為CABC的重:a ：丿r r t T PG=1(PA PB PC)二 G 為 ABC 的重心，特別地 PA PB PC =0二3心；,-,T rT T r PA卩BPCPC PA = P為 ABC的垂心； 向量，(-AB=0)所在直線過 ABC的內(nèi)心(是.BAC的角平分線所在直線)；驢acj-斗MP =MP MP2，特別地 P1+Z | AB|PC |BC| P

22、A |CA|PB =0 = P ABC 的內(nèi)心；(3) 若P分有向線段PP2所成的比為，點M為平面內(nèi)的任一點，貝UMP1 MP2為RF2的中點二MP -2 ；2(4)向量PA PB、PC中三終點A、B C共線=存在實數(shù)：使得PA" PB : PCM 二 -1 .如平面直角坐標系中，0為坐標原點，已知兩點A(3,1) , B(-1,3),若點C滿足(答：直線AB)0C二器0A 2 OB ,其中d'2，R且2=1,則點C的軌跡是例題1x,sin3x【二 fcossinX,且 xJ|0,- - 2 丿 1 2(1) a b 及 a +b ；-3 若f (x )=a b 2化a+b的

23、最小值是一，求實數(shù)丸的值.2錯誤分析：(1)求出a+b =丿2+2 cos2x后，而不知進一步化為 2 cosx,人為增加難度化為關(guān)于COSX的二次函數(shù)在 0,1 1的最值問題,不知對對稱軸方程討論答案：(1) 易求 a，b=cos2x, a+b=2cosx ；(2)f (x )=a b 2h a + b =cos2x 2九 2cosx = 2cos x 4九cosx 1=2 cos x -，- 2 -1x 0,cosx 0,111 2從而：當 <0時，f Xmin 1與題意矛盾，乞0不合題意；2 31當 0 £ 丸 £ 1 時，f(X hin = 2& 1

24、= 一一 二九=一;2 23 5當，_1時，f X min =1 -4,解得，不滿足/ -1 ；281綜合可得：實數(shù)的值為1.2例題2在：ABC中，已知AB =：2,3 , AC =1, k ,且:ABC的一個內(nèi)角為直角，求實數(shù)k的值錯誤分析：是自以為是，憑直覺認為某個角度是直角，而忽視對諸情況的討論答案：若.BAC =90 ,即 AB _ AC,2一 2故 AB AC = 0,從而 230,解得 k =3若.BCA =90 ,即 BC _ AC ,也就是 BC AC = 0 ,而 BC = AC - AB - - 1,k - 3 ,*3 十故-1 kk-3=0,解得"寧若.ABC

25、=90 ,即BC _ AB ,也就是BC AB =0,而 BC - -1,k -3 ,故 11-233 =0 ,解得 k 二一3綜合上面討論可知，k = -2或k = 3一丄3或k = 113例題4 已知向量 m=(1,1)，向量n與向量m夾角為冬:，且m'4n =-1，(1)求向量n ;若向量n'與向量q=(1,0)的夾角為'，22 c向量p=(cosA,2cos )，其中A、C為 ：ABC的內(nèi)角，且 A、B、C依次成等差數(shù)列，試求 n + p的取值范圍。解：(1)設(shè) n =(x,y)則由 <m', n >=3二 得:4cos< m，>

26、=m = x y n >=于是有f( a*b)-f(c *d )=2m(cos 詁-sin %=2mcos2由 m n =_1 得 x+y=-1聯(lián)立兩式得*x =0或丿y =1X = 1y =0 n =(0,-1)或(-1,0).T T 兀 /白 T(2)- <n,q>=2得 n-q =0若 n =(1,0)則 n q=-1=0 故 n (-1,0) n =(0,-1)/ 2B=A+C A+B+C=B= C=_A332 cn + p =(cosA,2cos 1) =(cosA,cosC)2 R+胃 Hcos2 A +cos2 CJ+cos2A +1 +cos2C =V 22c

27、os2A cos2Ci,4兀cos 2 A cos(-2 A)3-12cos2A-cos2A- 3sin2A2+1 = ”1 3cos2A sin 2A2 212cos(2A )3_陽22A 二333 -1<cos(2A+)< -3 2/ 0<A< 0<2A< 33例題5已知函數(shù)f(x)=mx-1 (m R 且 m-0)設(shè)向量 a=(1,cos2v)， b =(2,1)， c =(4s in v,1)， d=(gsi n v,1),當丁 (0 ,)時，比較f( a «b )與f( c n + P (乎，弓)2 2d )的大小。 4解：a b =2+

28、cos2 耳 c *d =2sin仁2-cos2 vf( a *b )=m 1+cos=2mcos K f( c *d )=m1-cos2 <=2msin vn (0, 0)4 2 r(0,) cos2 ->02當 m0時，2mcos27>0,即 f( a *b )>f( c *d)當m0時，2mcos2子0,即 f( a *b )<f( c *d )例題6 已知.A、.B . C為.:ABC的內(nèi)角，且 f(A、B)=sin 2A+cos 2B- . 3 sin2A-cos2B+2當f(A、B)取最小值時，求.C(2)當A+B二丄時，將函數(shù)f(A、B)按向量p&#

29、39;平移后得到函數(shù)f(A)=2cos2A求p' 2解： f(A 、B)=(sin mxa b =xmx -1x (mx-1) >01當m > 0時x<0或x m2A- . 3 sin2A+? )+(cos 22B-cos2B+丄)+144眉21 2=(si n2A-) +(si n2B- ) +12 2當sin2A=3 ,sin2B=-時取得最小值，2 2 A=30 或 60 , 2B=60 或 120C=180-B-A=120 或 90(2) f(A 、B)=sin 22A+cos22(A)- .3 sin2Acos2(A) 22 2sin 2 2 a 亠cos

30、2 2a ：；3sin 2a 亠cos 2a 亠22cos(2A ") 3 =2cos(2A 三)333p=(2k:,3)3例題7已知向量a =(mx2,-1),b1=(,x) (m為常數(shù))mx-1，且a , b不共線，若向量a , b的夾角落a ,0b為銳角，求實數(shù) x的取值范圍.解：要滿足 a , b 為銳角只須 a b >0且amx2 _mx2 xmx 1m<0時，x ( -mx+1) <0,x：或 x 0 m綜上所述：x > 0時,時,時,1X ( _： ：,0)(，":i)mx 三(-：,0)1x 三(-：,)(0, -)m例題8 已知a=

31、 (cos asin a),b= (cos 3 ,sin 3 ), a 與 b 之間有關(guān)系 |k a+b|= J3 | a kb|，其中 k>0,(1 )用k表示a b;(2)求a b的最小值，并求此時 a b的夾角的大小。解 (1)要求用k表示a b,而已知|ka+b|= . 3 | a kb|，故采用兩邊平方，得2 K2|k a+b| =(3 | a kb|)2 2 2 2 2 2k a +b +2ka b=3( a +k b 2ka b)2 2 2 2 8k a b=(3 k ) a +(3k 1)ba b = (3-k2)a2 +(3k2 -1)b28k/ a=(cos a ,

32、sin a ), b=(cos 3 ,sin2 23 ) , a=1, b =1,2 2 2 3_k2+3k21 k2 十1 a b =-4k8k22k2 +1 2k(2)T k+1 > 2k,即卩 k1 > 仝4k 4k 21-b的最小值為一，2又T a b =| a | | b | cos , |a|=|b|=1 -=1x 1X cos 。2=60°，此時a與b的夾角為60°。錯誤原因：向量運算不夠熟練。實際上與代數(shù)運算相同,有時可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且有2 2 2 2 2 2| a+b| =|( a+b) |= a +b +2a b 或| a|

33、 +| b| +2a b。例題 9 已知向量 a = (cos,sin : ) , b = (cos : ,sin ：),(i)求 cos(-)的值;(n)若 0 ：250,且sin，求sint的值.213解(i) ； a 二 cos： ,sin = cos :,sin ：,ab 二 cos；：-cos :,sin -sin :cos： -cos . i 亠 isin： -sin ： ? = 55即 2 _2cos 0 - P )=電.；cos(a_P)=3.55(u) ： 0,0,. 0 ： ：- 一 ：二.2 2；cos ： - - 3 , . sin ： - - 4.5 5512.sin

34、, cos.1313.sin ： =sin:一：=sin |*cos ： cosi x sin :4 12 3 f 5 335 13 5 J 13丿 65例題10已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為（-1 ,0）、（ 1,0），動點A、M N滿足|KE|=m|EF|(m>1), MN 東 =0, ON= (OA+OF) , AM / ME . 2(I)求點M的軌跡W的方程；（n）點p（ , y°）在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點Q,且PF - 'FQ'，若1 < < 2，求實數(shù)m的范圍.1解：（I）：MN AF -0 , ON (OA OF),2

35、MN垂直平分 AF.又AM/ME，點M在AE上,|AM| |ME|=|AE5|K=2m, |MA冃 MF | ,|ME | |MF | = 2m | EF | ,點M的軌跡W是以E、F為焦點的橢圓，且半長軸a =m，半焦距c=1 ,b2 = a2 -c2 = m2 -1 .2 2點M的軌跡W的方程為J 三 1 （ m 1）.m m -1(n)設(shè) Q(X1, y1)PFP(2,y0)，m1 W(X T),y。二 y1.片1 if),J h21y1y。.L k由點P、Q均在橢圓W上,J2l+4=i,4 m-11mt 2('1) m222，札廠1.消去y并整理，得2 /m -m 1-1m m

36、 +1由 1 <2 w 2 及 m . 1，解得 1 m w 2 .m -1基礎(chǔ)練習(xí)題1.設(shè)平面向量a=（ 2, 1） , b=（入，一1），若a與b的夾角為鈍角，貝U入的取值范圍是（1A、（- ,2）（2cj）B、（2,=）211C、（廠）D、（-：,）22答案：A點評：易誤選C,錯因：忽視a與b反向的情況。2.O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 -AB ACOP =0A （）, 0：），則 P的軌跡一定通過厶 ABC的（）I AB| |AC|（A）外心 （B） 內(nèi)心 （C） 重心 （D） 垂心正確答案：B。-ABACAB錯誤原因：對OP =OA -Aj),

37、 0, V)理解不夠。不清楚 -AB-|AB|AC|AB|AC與/ BAC的角平分線有關(guān)。I AC |3.若向量 a=(cos : ,sin :),b = cos :, sin ： , a與b不共線，則a與b 一定滿足（A. a與b的夾角等于:-B. a / b正確答案：C 錯因：學(xué)生不能把 a、b的終點看成是上單位圓上的點，用四邊形法則來處理問題。C. ( a + b) _( a - b )D.O(0,0) , A(3, 0) , B(0 , 3)，是 P 線段 AB上且 AP =t AB (0 w t w 1)4.已知O A、B三點的坐標分別為則OA OP的最大值為（）B.6C. 9D.

38、12正確答案：C錯因：學(xué)生不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當OPcos、£最大時，OA OP即為最大。5.在二ABC 中，a = 5,b = 8,C = 60 ,則 BC CA 的值為 ()A 20-20 C20 . 3 D一 203由題意可知= 120 ,* * 故 BC CA = BC匸沖 cos BC,CA"5 8- -20T-TF6.已知向量 a =(2cos :, 2sin )，門三(,二),2b=（0,-1），則a與b的夾角為（）A.B.-+22D.錯誤分析：錯誤認為 BC,CA二C =60 ,從而出錯.答案：B略解:正確答案：A 錯因：學(xué)生忽略考慮 a與b夾角的取值范

39、圍在0,二。7.如果a二ac,且仁0，那么Jrc- LRb.4C-LRbC . b_c D . b,c在a方向上的投影相等正確答案：Db8.已知向量 OB=(2,0), OC =(2, 2),CA=(邁cosa, ,2錯誤原因：對向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠。sin a）則向量OA,OB的夾角范圍是（）A、 n /12 , 5n /12 B 、 0 , n /4 C 、 n 14 , 5n /12 D 、5 n /12 , n /2正確答案：A錯因：不注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。9.設(shè)a =（x 1, yj , b =（x2, y2），則下列a與b共線的充要條件的有（） 存在一個實數(shù)入，使a =

40、b或b= a ；| a b |=| a| | b | ；（a + b）/（ a 一 b）x2y2A、1個 B 、2個 C 、3個D 、4個答案：C點評：正確，易錯選Db10.以原點O及點A （5, 2）為頂點作等腰直角三角形OAB使N A =90 則AB的坐標為（A、（ 2, -5 ）B、（ -2 , 5）或（2, -5 ）C 、（ -2 , 5）D、（ 7, -3 ）或（3, 7）正解：B設(shè) AB =（x,y），則由 |OA|=|ABF 52 22 二.x2 y2 由聯(lián)立得 x =2, y - 一5或x - -2,5。.AB=（2,-5）或（一2,5）誤解：公式記憶不清，或未考慮到聯(lián)立方程組

41、解。X iy i11.設(shè)向量a =任，yj, b = （x2, y2），則是a / b的（）條件。X2 yA、充要B、必要不充分C充分不必要D、既不充分也不必要正解：C卄 x1y1右一 一則x1yx2y1 =0, a/b，若a b，有可能x?或 y為0，故選G X2y?誤解：ab= x°2 -x2y一 =0= 乞=_y一，此式是否成立，未考慮，選aX2 y212.在.：OAB中，OA = (2cos ,2sin ： ),OB = (5cos ： ,5sin ：)，若 OA OB = -5，則 S OAB =()A、3B、C、53D5、3、 22正解：D。/ OA OB-5 |OA|

42、|OB| cosV - -5（LV為OA與OB的夾角）cos。予 +(2sina)2 J(5cos0)2 +(5sin P 予 cosV = -5 cosV =丄 si nV 二二 S oab =丄 |OA| |OB | si nV2 2 2 2誤解：C。將面積公式記錯，誤記為 SOAB =|OA| |OB| si nV13. 設(shè)平面向量a =（-2,1）,b= （'1）,（' R），若a與b的夾角為鈍角，貝的取值范圍是（A）111A、（，2）（2, ：） B 、（ 2，+-） C 、（_ ，：） D、（ -：，-222錯解：C錯因：忽視使用a b ：0時，其中包含了兩向量反向

43、的情況正解：A14. 設(shè)a, b, c是任意的非零平面向量且互不共線，以下四個命題：!tt!屯 tfe-(ab)c - cab= 0b c a 一 c a b不與C垂直其中正確命題的個數(shù)是A 1個 B 、2個 C 、3個正確答案：(B)錯誤原因：本題所述問題不能全部搞清。15.若向量 a = x, 2x ， b = ：；：3x,2，且 a若a _b,則a b與c不平行( )D 、4個b的夾角為鈍角，貝y x的取值范圍是錯誤分析：只由a,b的夾角為鈍角得到a b : 0,而忽視了 a b ： 0不是a,b夾角為鈍角的充要條件正確解法：幕a , b的夾角為鈍角.a b = x - 3x 2x 2

44、- -3x2 4x ： 0因為a,b的夾角為180時也有a b : 0,從而擴大x的范圍，導(dǎo)致錯誤.(1)4 解得x 0或x3_ - 1又由a,b共線且反向可得x3由得x的范圍是答案：叫丄,0 iJ 4嚴1<3丿i 3丿<3丿16. 已知平面上三點 A B、C滿足| AB|=3,|BC |=4 ,| CA| = 5,則AB BC BC CA CA AB的值等于(C )A. 25B. 24C. 25D. 24217. 已知AB是拋物線x =2py(p 0)的任一弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，I為準線.m是過點A且以向量v = (0,-1)為方向向量的直線.(1) 若過點A的拋物線的切線與 y

45、軸相交于點C,求證：|AF|=|CF| ;(2) 若OA OB p2 =0(A,B異于原點)，直線OB與m相交于點P,求點P的軌跡方程；(3) 若AB過焦點F,分別過A, B的拋物線兩切線相交于點T,求證：AT _ BT,且T在直線l上.解：()設(shè)A (捲，yj，因為導(dǎo)數(shù)y =仝,所以kAc二互,PP則直線AC的方程：y - y1 =互(x - xj,令x = 0得:C(0,-y1).P由拋物線定義知，|AF|= yj + P，又 |CF|= 2 ( y1 ) =y1+B，故 |AF|=|CF|. 2 2 2(2) 設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2 )，P(x, y),由 OA OB p2 = 0,