高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)第一頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍2第三節(jié)第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)1.1.如果如果 的導(dǎo)數(shù)存在，稱為的導(dǎo)數(shù)存在，稱為 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 記作：記作： ， 或或 )(xfy )(xfy 22dxyd)(dxdydxdy y 2. 2. 仍是仍是x的函數(shù)，還可以進(jìn)一步考慮的函數(shù)，還可以進(jìn)一步考慮 有三階導(dǎo)數(shù)有三階導(dǎo)數(shù) 或或 ， 四階導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù) 或或 ， n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 或或 . .y 33dxyd)4(y44dxyd)(nynndxyd一、基本概念第1頁/共35頁

2、第二頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍33.3.f( (x) )在在x處有處有n階導(dǎo)數(shù)，那么階導(dǎo)數(shù)，那么 在在x的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù)；二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)階的導(dǎo)數(shù)；二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱稱高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))()1(xfn 4.4.問題：如何求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)？問題：如何求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)？一步一步來，利用已知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例0, yay解解 例例1 1 y=ax+b, 求求y 例例2 2 求求,sin ts s 解解 tsts sin,cos2 第2頁/共

3、35頁第三頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍4 例例3 3 證明證明: :函數(shù)函數(shù) 滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式22xxy 013 yy證證 將將 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得22xxy ,21222222xxxxxxy 22222222)1 (2xxxxxxxxy 3222221)2(12)2()1(223yxxxxxxxxx 2、應(yīng)用第3頁/共35頁第四頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍5于是于是013 yy下面介紹幾個(gè)初等函數(shù)的下面介紹幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)例例4 4 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù) 的的n階導(dǎo)

4、數(shù)階導(dǎo)數(shù)xey 解解xxxxeyeyeyey )4(,一般地一般地, ,可得可得,)(xney 即即xnxee )()(例例5 5 求正弦與余弦函數(shù)的求正弦與余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)第4頁/共35頁第五頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍6解解,sin xy ),2sin(cos xxy)22sin()2cos( xxy),22sin( x),23sin()22cos( xxy),24sin()23cos()4( xxy一般地一般地, ,可得可得),2sin()( nxyn即即).2cos()(sin)( nxxn第5頁/共35頁第六頁，編輯于星

5、期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍7用類似方法用類似方法, ,可得可得).2cos()(cos)( nxxn例例6 6 求對(duì)數(shù)函數(shù)求對(duì)數(shù)函數(shù)ln(1+(1+x) )的的n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)解解,11),1ln(xyxy ,)1(321,)1(21,)1(14)4(32xyxyxy 一般地一般地, ,可得可得,)1()!1()1(1)(nnnxny 即即 nnnxnx)1()!1()1()1ln(1)( 通常規(guī)定通常規(guī)定0!=1,0!=1,所以這個(gè)公式當(dāng)所以這個(gè)公式當(dāng)n=1=1時(shí)也成立時(shí)也成立. .第6頁/共35頁第七頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021

6、-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍8例例7 7 求冪級(jí)數(shù)的求冪級(jí)數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式階導(dǎo)數(shù)公式解解),(Rxy 設(shè)設(shè)那么那么1 xy)(1 xy2)1( x)1(2 xy3)2)(1( xnnxny ) 1() 2)(1()(一般地一般地, ,可得可得即即nnxnx )1()2)(1()()(則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n )!()1( nyn. 0 第7頁/共35頁第八頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍9高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則)()()()2(nnCuCu 則則階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù),具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)

7、函數(shù)nvu)()()()()1(nnnvuvu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu (3)(3)稱為萊布尼茲公式稱為萊布尼茲公式第8頁/共35頁第九頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍10例例8 8 .,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 則則設(shè)設(shè),22xveux 解解),20, 4 , 3(0, 2,22)(2)( kvvxveukxkk)20, 2 , 1( k代入萊布尼茨公式代入萊布尼茨公式, ,得得0)()(! 2)120(

8、20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex第9頁/共35頁第十頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍11第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率重點(diǎn)：隱含數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)方法難點(diǎn)：隱含數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)方法的應(yīng)用，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用。特別注意參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)的求法。特別注意參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)的求法。第10頁/共35頁第十一頁，編輯于星期三：八點(diǎn)

9、 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍12第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率四、小節(jié)四、小節(jié)五、作業(yè)五、作業(yè)第11頁/共35頁第十二頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍13一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 1 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): :函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法 1.1.直接表示直接表示: : 解析式解析式 y= =f( (x) ) xD,

10、 , 這樣描述的函數(shù)稱為顯函數(shù)這樣描述的函數(shù)稱為顯函數(shù)2 2 間接表示間接表示 (1)(1)由一個(gè)方程由一個(gè)方程F( (x, ,y)=0 )=0 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) 例例 可確定函數(shù)可確定函數(shù) , , (2) (2)由兩個(gè)方程確定由兩個(gè)方程確定( (帶一個(gè)中間變量帶一個(gè)中間變量) )參數(shù)方程參數(shù)方程: : t t是參數(shù)是參數(shù) 方法方法(1)(1)表示的函數(shù)稱為隱函數(shù)表示的函數(shù)稱為隱函數(shù). .122 yx21xy )()(tyytxx把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù), , 叫做隱函數(shù)的顯化叫做隱函數(shù)的顯化. .第12頁/共35頁第十三頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-

11、12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍142 2 隱函數(shù)的定義隱函數(shù)的定義一般地一般地,如果變量如果變量x和和y滿足一個(gè)方程滿足一個(gè)方程F(x,y)=0,在一定條件下當(dāng)在一定條件下當(dāng)x取取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí),相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y值存值存在在,那么就說方程那么就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)例例1 1 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0 exyeydxdy解解 我們把方程兩邊分別對(duì)我們把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù),注意注意y=y(x), 方程左邊對(duì)方程左邊對(duì)x求導(dǎo)得求

12、導(dǎo)得 ,dxdyxydxdyeexyedxdyy 方程右邊對(duì)方程右邊對(duì)x求導(dǎo)得求導(dǎo)得0)0( 0 dxdyxydxdyey所以所以第13頁/共35頁第十四頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍15從而從而)0)( yyexexydxdy注意注意: :在這個(gè)結(jié)果中在這個(gè)結(jié)果中, ,分式中的分式中的y= =y( (x) )是由方程是由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)0 exyey例例2 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)x=0處處的的 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)03275 xxyy0 xdxdy因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)時(shí),從原方程得從原方程得y=0,所以所以2

13、1 0 xdxdy解解 把方程兩邊分別對(duì)把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),由于方程兩邊的導(dǎo)數(shù)相等由于方程兩邊的導(dǎo)數(shù)相等,02112564 xdxdydxdyy由此得由此得2521146 yxdxdy所以所以 第14頁/共35頁第十五頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍16例例3 求橢圓求橢圓 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線方程處的切線方程(圖圖2-6)191622 yx 323, 2解解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道,所求切線的斜率所求切線的斜率為為2 xyk橢圓方程的兩邊分別對(duì)橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),有有0928 dxdyyx從而從而yxdx

14、dy169 當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)時(shí), 代入上式得代入上式得323 y2 xdxdy43 于是所求的切線方程為于是所求的切線方程為)2(43323 xy即即03843 yx第15頁/共35頁第十六頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍17例例4 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)0sin21 yyx22dxyd解解 應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,得得0cos211 dxdyydxdy于是于是ydxdycos22 上式兩邊再對(duì)上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),得得3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyy

15、dxyd 上式右端分式中的上式右端分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所所確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)0sin21 yyx第16頁/共35頁第十七頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍183. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法*方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)出導(dǎo)數(shù). .-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu下面通過例子來說明這種方法下面通過例子來說明這種方法例例5.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)

16、解解等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)x第17頁/共35頁第十八頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍19xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又第18頁/共35頁第十九頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍20)(ln)()(xfdxdxfxf )()

17、()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 冪指函數(shù)冪指函數(shù) 也可表示成也可表示成)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(xuxvexf 這樣這樣,便可直接求得便可直接求得)()()()(ln)()()(ln)(xuxuxvxuxvexfxuxv )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuxv第19頁/共35頁第二十頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍21例例6 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))4)(3()2)(1( xxxxy解解 用下面方法，使計(jì)算簡(jiǎn)單用下面方法，使計(jì)算簡(jiǎn)單 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)(假定假定

18、x4 ), 得得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo) 41312111211xxxxyy于是于是 413121112xxxxyy第20頁/共35頁第二十一頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍22當(dāng)當(dāng)2x3時(shí)時(shí),)4)(3()2)(1(xxxxy 用直接計(jì)算的方法可得與上面相同的結(jié)果。用直接計(jì)算的方法可得與上面相同的結(jié)果。當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí),)4)(3()2)(1(xxxxy 第21頁/共35頁第二十二頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍23例7 )0(xxyx

19、的二階導(dǎo)數(shù)求解：)1(ln1ln1xlnlnxyyxyyxxyxyx求導(dǎo)得：兩邊對(duì)1) 1(ln1) 1(ln1) 1(ln22xxxxyxyxyxyyx 從而第22頁/共35頁第二十三頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍24二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù).所確定的函數(shù).的函數(shù)為由參數(shù)方程的函數(shù)為由參數(shù)方程則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá), ,間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx確定確定 )()( 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法,)()(中中在方程在方程 tytx ),()(1xtt

20、x 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy 第23頁/共35頁第二十四頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍25, 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即第24頁/共35頁第二十五頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍26,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxd

21、tttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即第25頁/共35頁第二十六頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍27例例8 8 已知橢圓的參數(shù)方程為已知橢圓的參數(shù)方程為 tbytaxsincos求橢圓在求橢圓在 相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程4 t解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),橢圓上的相應(yīng)點(diǎn)橢圓上的相應(yīng)點(diǎn) 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是: 4 t0M224sin224cos00bbyaax 第26頁/共35頁第二十七頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照

22、軍28 4 tdxdy 4)cos()sin( ttatb 4sincos ttatbab 曲線在曲線在 點(diǎn)的切線斜率為點(diǎn)的切線斜率為:0M代入點(diǎn)斜式方程代入點(diǎn)斜式方程,即得橢圓在點(diǎn)即得橢圓在點(diǎn) 處的切線方程處的切線方程0M)22(22axabby 化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得02 abaybx第27頁/共35頁第二十八頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍29例例9 已知拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為已知拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為 ,21,221gttvytvx求拋射體在時(shí)刻求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向解解 先求速度的大小先求

23、速度的大小由于速度的水平分量為由于速度的水平分量為1vdtdx 鉛直分量為鉛直分量為gtvdtdy 2所以拋射體運(yùn)動(dòng)速度的大小為所以拋射體運(yùn)動(dòng)速度的大小為222122)(gtvdtdydtdxvv 第28頁/共35頁第二十九頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍30在求速度的方向在求速度的方向,也就是軌跡的切線方向也就是軌跡的切線方向設(shè)設(shè) 是切線的傾角是切線的傾角,則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得得 12tanvgtvdtdxdtdydxdy 所以所以,在拋射體剛射出在拋射體剛射出(即即t=0)時(shí)時(shí),0tan t 0 tdxdy;12v

24、v 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)gvt2 gvt2tan gvtdxdy2 0 這時(shí)這時(shí),運(yùn)動(dòng)方向是水平的運(yùn)動(dòng)方向是水平的,即拋物體達(dá)到最高點(diǎn)即拋物體達(dá)到最高點(diǎn)第29頁/共35頁第三十頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍31例例10 計(jì)算由擺線的參數(shù)方程計(jì)算由擺線的參數(shù)方程 )cos1()sin(tayttax所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cottdtdxtdtddxyd1)2(cot22)cos1(12sin212tat 2)cos1(1ta ),2(Znnt 第30頁/共35頁第三十一頁，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十四分。2021-12-13泰山醫(yī)學(xué)院信息工程