連續(xù)時間傅立葉變換與離散時間傅里葉變換之間的關(guān)系

1、連續(xù)時間傅立葉變換與離散時間傅里葉變換之間的關(guān)系對丁連續(xù)限帶(B)的時間信號x(t),在滿足奈奎斯特抽樣定理的條件下進 行抽樣(抽樣頻率fs=1/Ts= 2B'>2B)，其樣點為xn=x(nTs)?？梢杂蓸狱c序列進行 內(nèi)插來恢復(fù)原始信號x(t):x(t) - ' x (nTs) sin c 2 B't - n)證明: 抽樣采用理想沖擊脈沖申：6ts (t ) = £ 6 (t nTxs t =x(t)、Ts t='、x nT、. t - nT其中2B'=1/Ts。由傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)，理想抽樣信號xs(t)的傅里葉變換為：Xs(f

2、) = X(f)一寸、.T kfTs J其中*表示連續(xù)的卷積運算。丁是得到即理想抽樣信號在頻域是原信號x(t)傅里葉變換(頻譜密度)的周期性位移，周 期為1/Ts。其中更詳細(xì)的原理請參看經(jīng)典課本：奧本海姆(信號與系統(tǒng))/樊 昌信先生(通信原理)/周炯盤先生(通信原理)。本文目的是架起連續(xù)時間 傅里葉變換和離散時間傅里葉變換的橋梁，這在很多課本中都是省略掉的；對抽 樣定理不再贅述。在頻域k=0處對抽樣信號進行理想低通濾波，濾波器帶寬為B'>B。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為矩形窗函數(shù) H(f)=ri(f),它對應(yīng)的時域單位沖激響應(yīng)函數(shù)2Bh(t)=2B'sinc(2B'

3、t)為內(nèi)插函數(shù)。其中內(nèi)插函數(shù) sinc函數(shù)的定義為:sin 二 x sin c x =一.x于是有1X ( f) = Xs f H ffs對上式作傅立葉反變換，利用變換的卷積性質(zhì)，以及h(t)的定義，得x(t) =TsXs t h t把 Tsh(t)作為新的 h'(t),即 h'(t)=2B'Tssinc(2B't)= sinc(2B't),則x(t) f t h' t代入xs(t)的表達(dá)式(2),以及h'(t)的表達(dá)式，到(7)中，得x(t) =h'(t) ； x nTs、. t -nTs-n(6)(7')2B'

4、Tssinc 2B't * x nT、. t -ILnnTs=、x nTs sin c 2B' t - nTs n= Zx(nT)sin(c2B2t)n(8)nx(nTs p t(-nTs )(8')n(8)式即為內(nèi)插公式。同(1)。證畢。對(8')式進行傅里葉變換，得0f)=x(nTs)h'(t - nTs) 11-n一心dtV -_j2-ft-'一x(nTs)h'(t -nTs)e dtn二'、' x(nTs) h'(t _nTs)e-j2 = dt n1 _ f x(nTs) 一 :(時延性質(zhì))2B '一 2B'x（nTQeK叫炬釁，|f|：T s n21iff-x（n）e ®，f X；（1°）X ej，而（10）式中的后面的和項就是離散序列 x（n）的離散時間傅里葉變換（DTFT）。 其中. = 2 二 fTs，丘-二，二。而在用快速傅里葉變換FFT算法計算時，計算