圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題和周期性問題(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題和周期性問題一、圓周運(yùn)動(dòng)問題的解題步驟：1、確定研究對(duì)象2、畫出運(yùn)動(dòng)軌跡、找出圓心、求半徑3、分析研究對(duì)象的受力情況，畫受力圖4、確定向心力的來源5、由牛頓第二定律列方程求解二、臨界問題常見類型：1、按力的種類分類：（1）、與彈力有關(guān)的臨界問題：接觸面間的彈力：從有到無,或從無到有 繩子的拉力：從無到有，從有到最大，或從有到無（2）、與摩擦力有關(guān)的彈力問題：從靜到動(dòng)，從動(dòng)到靜，臨界狀態(tài)下靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦2、按軌道所在平面分類：（1）、豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（2）、水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)三、豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題1、單向約束之繩、外軌道約束下的豎

2、直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題：特點(diǎn)：繩對(duì)小球，軌道對(duì)小球只能產(chǎn)生指向圓心的彈力 mgO軌道m(xù)gO 臨界條件：繩子或軌道對(duì)小球沒有力的作用：mg=mv2/Rv臨界= （可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好轉(zhuǎn)不過的速度） 即此時(shí)小球所受重力全部提供向心力能過最高點(diǎn)的條件：v，當(dāng)v時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力不能過最高點(diǎn)的條件：vV臨界（實(shí)際上球還沒到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道做斜拋運(yùn)動(dòng)）例1、繩子系著裝有水的木桶，在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，水的質(zhì)量m=0.5kg，繩子長度為l=60cm，求：（g取10m/s2）A、最高點(diǎn)水不留出的最小速度？B、設(shè)水在最高點(diǎn)速度為V=3m/s，求水對(duì)桶底的壓力？答案：（1） （2）2.5

3、NmgO變式1、如圖所示，一質(zhì)量為m的小球，用長為L細(xì)繩系住，使其在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng).(1)若過小球恰好能通過最高點(diǎn)，則小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度分別是多少？小球的受力情況分別如何？(2)若小球在最低點(diǎn)受到繩子的拉力為10mg，則小球在最高點(diǎn)的速度及受到繩子的拉力是多少？2、單向約束之內(nèi)軌道約束下（拱橋模型）的豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題：汽車過拱形橋時(shí)會(huì)有限速，是因?yàn)楫?dāng)汽車通過半圓弧頂部時(shí)的速度時(shí)，汽車對(duì)弧頂?shù)膲毫N=0，此時(shí)汽車將脫離橋面做平拋運(yùn)動(dòng)，因?yàn)闃蛎娌荒軐?duì)汽車產(chǎn)生拉力例2、半徑為 R 的光滑半圓球固定在水平面上，頂部有一小物體，如圖所示。今給小物體一個(gè)水平初速度，則小物體將（ ）

4、A.沿球面下滑至 M 點(diǎn) B.先沿球面下滑至某點(diǎn)，然后便離開斜面做斜下拋運(yùn)動(dòng).按半徑大于 R 的新的圓弧軌道做圓周運(yùn)動(dòng) D.立即離開半圓球做平拋運(yùn)動(dòng)3、雙向約束之輕桿、管道約束下的豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題物體(如小球)在輕桿作用下的運(yùn)動(dòng)，或在管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著速度的變化，桿或管道對(duì)其彈力發(fā)生變化這里的彈力可以是支持力，也可以是壓力，即物體所受的彈力可以是雙向的，與輕繩的模型不同因?yàn)槔K子只能提供拉力，不能提供支持力；而桿、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中運(yùn)動(dòng)，物體速度較大時(shí)可對(duì)上壁產(chǎn)生壓力，而速度較小時(shí)可對(duì)下壁產(chǎn)生壓力在彈力為零時(shí)即出現(xiàn)臨界狀態(tài)（一）輕桿模型如圖所示，輕桿一端連一

5、小球，在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)(1)能過最高點(diǎn)的臨界條件是：這可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好不能轉(zhuǎn)過最高點(diǎn)的臨界條件，此時(shí)支持力(2)當(dāng)時(shí)，N仍為支持力，且N隨v的增大而減小，(3)當(dāng)時(shí)，N0，此為輕桿不受彈力的臨界條件 (4)當(dāng)時(shí)，N隨的增大而增大，且N為拉力指向圓心，例3、如圖所示，有一長為L的細(xì)線，細(xì)線的一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)使小球恰好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。已知水平地面上的C點(diǎn)位于O點(diǎn)正下方，且到O點(diǎn)的距離為1.9L。不計(jì)空氣阻力。(1)求小球通過最高點(diǎn)A時(shí)的速度vA;(2)若小球通過最低點(diǎn)B時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力T恰好為小球重力的6倍，且小球經(jīng)過B點(diǎn)的瞬間讓細(xì)線斷裂，求

6、小球落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離。解：(1)小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小球通過A點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力剛好為零，根據(jù)向心力公式有：mg=解得:。(2)小球在B點(diǎn)時(shí)根據(jù)牛頓第二定律有T-mg=m其中T=6mg解得小球在B點(diǎn)的速度大小為vB=細(xì)線斷裂后，小球從B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，則由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得:豎直方向上1.9L-L=(2分)水平方向上x=vBt(2分)解得:x=3L(2分)即小球落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為3L。答案:(1)(2)3L管道模型質(zhì)點(diǎn)(小球)在光滑、豎直面內(nèi)的圓管中作圓周運(yùn)動(dòng)(圓管截面半徑r遠(yuǎn)小于球的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R)，如圖所示小球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力有三種情況：(1)剛好對(duì)管壁無壓力，此時(shí)重力

7、為向心力，臨界速度為(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)下管壁有壓力，此時(shí)，故。(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)上管壁有壓力，此時(shí)。實(shí)際上，輕桿和管道兩種約束情況可化歸為同類的物理模型，即雙向約束模型例4、一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多），圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2。它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0。設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么m1，m2，R與v0應(yīng)滿足關(guān)系式是 。解：首先畫出小球運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力圖，如圖4-1所示。A球在圓管最低點(diǎn)必受向上彈力N1，

8、此時(shí)兩球?qū)A管的合力為零，m2必受圓管向下的彈力N2，且N1=N2。據(jù)牛頓第二定律A球在圓管的最低點(diǎn)有： 同理m2在最高點(diǎn)有： m2球由最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒： 由上述方程可得：【小結(jié)】 比較復(fù)雜的物理過程，如能依照題意畫出草圖，確定好研究對(duì)象，逐一分析就會(huì)變?yōu)楹唵螁栴}。找出其中的聯(lián)系就能很好地解決問題。四、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題：解決圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問題的一般方法1、對(duì)物體進(jìn)行受力分析2、找到其中可以變化的力以及它的臨界值3、求出向心力（合力或沿半徑方向的合力）的臨界值4、用向心力公式求出運(yùn)動(dòng)學(xué)量（線速度、角速度、周期、半徑等）的臨界值OOA例5、水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物快，當(dāng)物塊到

9、轉(zhuǎn)軸的距離為r時(shí),若物塊始終相對(duì)轉(zhuǎn)盤靜止，物塊和轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是正壓力的倍，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度是多大？ 解：由 得： 點(diǎn)評(píng)：提供的向心力的臨界值決定了圓周運(yùn)動(dòng)角速度的臨界值變式5、物體與圓筒壁的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，圓筒的半徑為R，若要物體不滑下，圓筒的角速度至少為多少？ 解： 得30°45°ABC例6、如圖所示，兩繩系一質(zhì)量為m0.1kg的小球，上面繩長L2m，兩端都拉直時(shí)與軸的夾角分別為30°與45°，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊，當(dāng)角速度為3 rads時(shí)，上、下兩繩拉力分別為多大？解：當(dāng)漸大，AC繩與桿夾角變大，但BC繩還沒拉直。當(dāng)AC

10、繩與桿夾角為30°時(shí)，BC繩處在虛直狀態(tài)。之后再增大，BC繩上也會(huì)有拉力。所以BC繩虛直為臨界狀態(tài)。30°45°ABC，BC繩上有拉力。分析小球，由牛頓第二定律：變式6-1：如圖，長為L的繩子，下端連著質(zhì)量為m的小球，上端接于天花板上，當(dāng)把繩子拉直時(shí)，繩與豎直方向夾角=60°。此時(shí)小球靜止于光滑水平面上。（1）當(dāng)小球以 做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力多大？桌面支持力多大？（2）當(dāng)小球以 做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力多大？桌面受到的壓力多大？答案：（1）T=mg (2)T=4mg mgNT變式6-2、如圖所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與

11、軸線之間的夾角為30°，一條長度為L的繩（質(zhì)量不計(jì)），一端的位置固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小物體（物體可看質(zhì)點(diǎn)），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)v時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力；當(dāng)v時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力。解：物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，當(dāng)角速度很小時(shí)，物體在圓錐體上運(yùn)動(dòng)。由（2）得：代入（1）得：由此可得，當(dāng)v增大時(shí)，N減少。當(dāng)大到一定值時(shí)，物體將離開錐面，繩與豎直方向的夾角將變大。顯然當(dāng)球與錐面虛接觸（即N=0，=30°）時(shí)的線速度值為物體的臨界速度。對(duì)球分析，由牛頓第二定律：當(dāng)，所以N>0。由（

12、2）得：代入（1）得：當(dāng)，此時(shí)N=0，但夾角變大，不為30°由（6）得：（7），代入（5）得：代入（7）得：例7、如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量m0.3kg的物體，M的中與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度在什么范圍m會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？（g10ms2）Mrom（的范圍是：即 2.9 rads6.5 rads）變式7：在以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)臺(tái)上放著一質(zhì)量為M的物體，通過一條光滑的細(xì)繩，由轉(zhuǎn)臺(tái)中央小孔穿下，連接著一m的物體，如圖所示。設(shè)M與轉(zhuǎn)臺(tái)平面間的最大靜摩擦力為壓力的k倍

13、，且轉(zhuǎn)臺(tái)不轉(zhuǎn)時(shí)M不能相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止。求：（1）如果物體M離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離保持R不變，其他條件相同，則轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿足什么條件，物體M才能隨轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)？（2）物體M隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的最大距離和最小距離。Mm答案：（1）（2）例8、 如圖所示，在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有A、B兩個(gè)小物塊，它們距離軸心O分別為，它們與臺(tái)面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的0.4倍，取。（1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要使兩物塊都不發(fā)生相對(duì)于臺(tái)面的滑動(dòng)，求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的范圍；（2）要使兩物塊都對(duì)臺(tái)面發(fā)生滑動(dòng)，求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度速度應(yīng)滿足的條件。答案：（1） （2）變式8：如圖，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向

14、放置用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的A、B兩個(gè)小物塊。A離軸心的距離r1=20cm，B離軸心的距離r2=30cm，A和B與盤面間相互作用的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，求：OOB A（1）若細(xì)線上沒張力，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)該滿足什么條件？（2）欲使A、B與盤間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為多少？（3）當(dāng)A即將滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線，A、B運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？答案：（1） （2）4rad/s（3）A繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，B做離心運(yùn)動(dòng)五、圓周運(yùn)動(dòng)的周期性問題：利用圓周運(yùn)動(dòng)的周期性把另一種運(yùn)動(dòng)（例如勻速直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)）聯(lián)系起來。圓周運(yùn)動(dòng)是一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，而另一個(gè)運(yùn)動(dòng)通常也是獨(dú)立的，分別明確兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，注意用時(shí)

15、間相等來聯(lián)系。在這類問題中，要注意尋找兩種運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，往往是通過時(shí)間相等來建立聯(lián)系的。同時(shí)，要注意圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性，因此往往有多個(gè)答案。例9：如圖所示，半徑為R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其正上方h處沿OB方向水平拋出一個(gè)小球，要使球與盤只碰一次，且落點(diǎn)為B，則小球的初速度v_，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度_?！緦忣}】小球做的是平拋運(yùn)動(dòng)，在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)，圓盤做了一定角度的圓周運(yùn)動(dòng)。解：小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上：hgt2則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t又因?yàn)樗轿灰茷镽， 所以球的速度 vR·在時(shí)間t內(nèi)，盤轉(zhuǎn)過的角度n·2，又因?yàn)閠則轉(zhuǎn)盤角速度：2n(n1，2，3)【總結(jié)】上

16、題中涉及圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)這兩種不同的運(yùn)動(dòng)，這兩種不同運(yùn)動(dòng)規(guī)律在解決同一問題時(shí)，常常用“時(shí)間”這一物理量把兩種運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來。變式9-1：如圖所示，小球Q在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時(shí)，有另一小球P在距圓周最高點(diǎn)為h處開始自由下落.要使兩球在圓周最高點(diǎn)相碰，則Q球的角速度應(yīng)滿足什么條件？【審題】下落的小球P做的是自由落體運(yùn)動(dòng)，小球Q做的是圓周運(yùn)動(dòng)，若要想碰，必須滿足時(shí)間相等這個(gè)條件。解：設(shè)P球自由落體到圓周最高點(diǎn)的時(shí)間為t，由自由落體可得gt2=h 求得t=Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的時(shí)間也是t，但做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，有t=(4n+1)(n=0，1，2，3) 兩式聯(lián)立再由T

17、=得 (4n+1)=所以=(4n+1) (n=0，1，2，3)【總結(jié)】由于圓周運(yùn)動(dòng)每個(gè)周期會(huì)重復(fù)經(jīng)過同一個(gè)位置，故具有重復(fù)性。在做這類題目時(shí)，應(yīng)該考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性六、圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題練習(xí)：ro1、如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時(shí)，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是其下壓力的倍。求：當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度1時(shí)，細(xì)繩的拉力T1。當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度2時(shí)，細(xì)繩的拉力T2。答案：（1）0 （2）2、 （ABD）3、( BD )4、在質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)飛輪上，固定著一個(gè)質(zhì)量為m的重物，重物到軸的距離為R，如圖所示，為了使電動(dòng)機(jī)不從地面上跳起，電動(dòng)機(jī)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度不能超過（ B ）ABCD5、A B在光滑的水平面上釘有兩個(gè)釘子A和B.相距20cm.用一根長度為1m的細(xì)繩.一端系一個(gè)質(zhì)量為0.4kg的小球.另一端栓在釘子A上.使小球開始位于A的左邊.并以2m/s的速率在水平面上繞A做勻速圓周運(yùn)動(dòng).若繩子承受4N的拉力就會(huì)斷.那么從開始運(yùn)動(dòng)到繩被拉斷.小球轉(zhuǎn)的半圓周數(shù)（ B ）A.2 B.3 C.4 D.56.如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，盤上疊放著