雙曲線高考知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)(共28頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上雙曲線高考知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)(最新最全)目 錄知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)三：雙曲線在實(shí)際中的應(yīng)用-13專心-專注-專業(yè)雙曲線知識(shí)點(diǎn)1 雙曲線定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（為常數(shù)）這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對(duì)值.（2）2a|F1F2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌

2、跡不存在.動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.5.曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)=1（a0，b0）

3、范圍：|x|a，yR對(duì)稱性：關(guān)于x、y軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)A1（a，0），A2（a，0）漸近線：若雙曲線方程為漸近線方程若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）特別地當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；y=x，y=x準(zhǔn)線：l1：x=，l2：x=，兩準(zhǔn)線之距為焦半徑：，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)（略）與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是6曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.7曲線的方程

4、與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）.8雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.9線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式 若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長(zhǎng) ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；雙曲線高考知識(shí)點(diǎn)題型一雙曲線定義的應(yīng)用已知定點(diǎn)A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A，B的橢圓，求另一焦點(diǎn)的軌

5、跡方程解設(shè)F(x，y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上|FA|CA|FB|CB|，|FA|FB|CB|CA|2F的軌跡方程為：y21 (y1)知識(shí)點(diǎn)二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)雙曲線與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解方法一設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，由題意知c236279，c3.又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則橫坐標(biāo)為±，于是有解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二將點(diǎn)A的縱坐標(biāo)代入橢圓方程得A(±，4)，又兩焦點(diǎn)分別為F1(0,3)，F(xiàn)2(0，3)所以2a|4，即a2，b2c2a2945，所以雙曲

6、線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法三若考慮到雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則可設(shè)雙曲線為1(27<<36)，再將點(diǎn)A(±，4)代入求，進(jìn)而求方程，不過(guò)這種解題方法有一定的技巧性知識(shí)點(diǎn)三雙曲線在實(shí)際中的應(yīng)用A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B正東6 km，C在B的北偏西30°相距4 km，P為敵炮陣地，某時(shí)刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于B、C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此4 s后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角解以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(3,0)，A(3,0)，C(5,2)|PB|PC|，

7、點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上kBC，BC中點(diǎn)D(4，)直線PD：y(x4)又|PB|PA|4，P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上設(shè)P(x，y)則雙曲線方程為1(x0)聯(lián)立、式得x8，y5，P(8,5)，因此kPA.故炮擊的方位角為北偏東30°.知識(shí)點(diǎn)四雙曲線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用已知雙曲線漸近線的方程為2x±3y0.(1)若雙曲線經(jīng)過(guò)P(，2)，求雙曲線方程；(2)若雙曲線的焦距是2，求雙曲線方程；(3)若雙曲線頂點(diǎn)間的距離是6，求雙曲線方程解(1)設(shè)雙曲線的方程為4x29y2(0)，雙曲線過(guò)點(diǎn)P(，2)，4×69×4，即12雙曲線的方程為：y21.(2)設(shè)雙

8、曲線方程為1，或1(a>0，b>0)c2a2b2，13a2b2.由漸近線斜率得，或，故由或解得或所求雙曲線方程為1，或1.(3)由(2)所設(shè)方程可得：或解得或故所求雙曲線方程為1，或1.知識(shí)點(diǎn)五求雙曲線的離心率 (1)已知雙曲線的漸近線方程為y±x，則雙曲線的離心率為_(kāi)；(2)設(shè)雙曲線1(b>a>0)的半焦距為c，直線l過(guò)(a,0)、(0，b)兩點(diǎn)已知原點(diǎn)到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為_(kāi)解析(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，其漸近線方程為y±x，依題意，e21，e；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，其漸近線方程為y±x，依題意，e21，e.(2)直線l的方程

9、為1，即bxayab0.于是有c，即abc2.兩邊平方得16a2b23c4，16a2(c2a2)3c4.即3c416a2c216a40，3e416e2160.解得e24，或e2，b>a>0，>1，e21>2，故e24，e2.答案(1)或(2)2知識(shí)點(diǎn)六直線與雙曲線直線l在雙曲線1上截得的弦長(zhǎng)為4，其斜率為2，求直線l在y軸上的截距m.解設(shè)直線l的方程為y2xm，由得10x212mx3(m22)0.設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由韋達(dá)定理，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，|AB|2(x1x

10、2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24×(m22)|AB|4，m26(m22)16.3m270，m±.直線l在y軸上的截距為±.考題賞析1(全國(guó)高考)設(shè)a>1，則雙曲線1的離心率e的取值范圍是()A(，2) B(，)C(2,5) D(2，)解析雙曲線方程為1，c.e.又a>1，0<<1.1<1<2.1<2<4.<e<.答案B2(重慶高考)已知雙曲線1 (a>0，b>0)的一條漸近線為ykx (k>0)，離心率ek，則雙曲線方程為()A.1 B.1C.1 D

11、.1解析雙曲線的漸近線方程可表示為y±x，由已知可得k.又離心率ek，所以k.即，故a2b.答案C3(湖北高考)如圖所示，在以點(diǎn)O圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，ODAB，P是半圓弧上一點(diǎn)，POB=30°.曲線C是滿足|MA| |MB|為定值的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，且曲線C過(guò)點(diǎn)P.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)D的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F.若OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍解(1)方法一以O(shè)為原點(diǎn)，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-2,0)，B(2,0)，P(,1)，依題意得|MA|-|MB

12、|=|PA |PB| = <|AB|=4.曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線設(shè)實(shí)半軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，則c=2,2a=2，a2=2，b2 = c2 a2=2.曲線C的方程為.方法二同方法一建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得|MA|MB|=|PA|PB|<|AB|=4.曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線設(shè)雙曲線的方程為 (a>0，b>0)，則由解得a2 = b2 = 2，曲線C的方程為(2)方法一依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得(1k2)x2-4kx6=0.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，k(，1)(

13、1,1)(1，)設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則由式得x1x2，x1x2，于是|EF|··.而原點(diǎn)O到直線l的距離d，SOEFd·|EF|···.若OEF的面積不小于2，即SOEF2，則有2k4k220，解得k.綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為，1)(1,1)(1，方法二依題意，可設(shè)直線l的方程為ykx2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1k2)x24kx60.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，k(，1)(1,1)(1，)設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則由式得|x1x2|，當(dāng)E，F(xiàn)在同一支上時(shí)(如圖(1)所示)，

14、SOEF|SODFSODE|OD|·(|x1|x2|)|OD|·|x1x2|；當(dāng)E，F(xiàn)在不同支上時(shí)(如圖(2)所示)，SOEFSODFSODE|OD|·(|x1|x2|)|OD|·|x1x2|.綜上得SOEF|OD|·|x1x2|.于是由|OD|2及式，得SOEF.若OEF面積不小于2，即SOEF2，則有2k4k220，解得k.綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為，1)(1,1)(1，.1實(shí)軸長(zhǎng)為4且過(guò)點(diǎn)A(2，5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由題意知2a4，a220，若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，則可設(shè)方程為1，代入點(diǎn)

15、A(2，5)，得：1，即，矛盾因此設(shè)雙曲線的方程為1.代入A(2，5)，得：1，b216.故選B.2如果雙曲線1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為()A. B2 C. D2答案A解析因兩條漸近線互相垂直所以兩漸近直線的傾斜角為、.漸近線的方程為y±x，1，即ab，ca，e.3雙曲線與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線為yx，則雙曲線方程為()Ax2y296 By2x2160Cx2y280 Dy2x224答案D解析由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為(0，±4)，即c248，又因一條漸近線方程為yx.所以1.即ab，482a2，a2b224.故選D.4F1、F2為雙曲線y21的兩個(gè)焦

16、點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF290°，則F1PF2的面積是()A2 B4 C8 D16答案B解析方程變形為y21，由題意由式兩邊平方得：202|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|·|PF2|×84.5若方程1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()Ak<2，或2<k<5 B2<k<5Ck<2，或k>5 D2<k<2，或k>5答案D 解析由題意知：(|k|2)(5k)<0，即或解得：k>5，或2<k<2.故選D.6已知雙曲線1(a>0，b>0)

17、的兩條漸近線方程為y±x，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為_(kāi)答案y21解析雙曲線頂點(diǎn)為(a,0)，漸近線為xy0，1，a2.又，b，雙曲線方程為y21.7已知圓C：x2y26x4y80.以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案1解析由題意知雙曲線僅與x軸有交點(diǎn)，即x26x80，x2或x4，即c4，a2.1.8如圖，已知定圓F1：x2y210x240，定圓F2：x2y210x90，動(dòng)圓M與定圓F1、F2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程解圓F1：(x5)2y21，圓心F1(5,0)，半徑r11.圓F2：(x5)2y242.設(shè)動(dòng)圓M

18、的半徑為R，則有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|3.M點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線(左支)，且a，c5.則有b2.動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x2y21(x)9橢圓y21(m>1)與雙曲線y21(n>0)有公共焦點(diǎn)F1、F2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，求F1PF2的面積解根據(jù)橢圓與雙曲線焦點(diǎn)都在x軸上，不妨設(shè)P在第一象限，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，則由橢圓與雙曲線定義有可解得|PF1|mn，|PF2|mn，即|PF1|2|PF2|22(m2n2)又兩者有公共焦點(diǎn)，設(shè)半焦距為c.則m21c2，n21c2，m2n22c2.|F1F2|24c22(m2n2)，|F1F2|

19、2|PF1|2|PF2|2，F(xiàn)1PF290°.又m21n21c2，m2n22.SF1PF2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)2(m2n2)1.所以F1PF2的面積為1.10已知雙曲線x2y2a2及其上一點(diǎn)P，求證：(1)離心率e，漸近線方程y±x；(2)P到它兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方；(3)過(guò)P作兩漸近線的垂線，構(gòu)成的矩形面積為定值證明(1)由已知得ca，e，漸近線方程y±x.(2)設(shè)P(x0，y0)，則xya2，又F1(a,0)、F2(a,0)，|PF1|PF2|··|x0a|x0a|2xa

20、2|xy|PO|2.P到它兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方(3)設(shè)垂足分別為Q、R，則由點(diǎn)到直線距離公式知|PQ|，|PR|，SPQOR|PQ|PR|xy|a2.該矩形的面積為定值.講練學(xué)案部分 23.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一雙曲線定義的應(yīng)用如圖所示，在ABC中，已知|AB|=4，且三內(nèi)角A、B、C滿足2sinA+sinC=2sinB，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程解如圖所示，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(2,0)、B(2 , 0 )由正弦定理得sinA = ，sinB =，sinC =.2sinA+sinC=2sin

21、B，2a+c=2b，即ba=.從而有|CA| |CB|=|AB|=2<|AB|.由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支a=，c=2，b2= c2 a2 = 6.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為 (x>)【反思感悟】使用雙曲線的定義時(shí)易漏掉“差的絕對(duì)值”，即|PF1|PF2|=2a，而|PF1|-|PF2|=2a表示一支P是雙曲線1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF1|9，求|PF2|的值解在雙曲線1中，a4，b2.故c6.由P是雙曲線上一點(diǎn)，得|PF1|PF2|8.|PF2|1或|PF2|17.又|PF2|ca2，得|PF2|17.知識(shí)點(diǎn)二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件，求雙

22、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)過(guò)點(diǎn)P，Q，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；(2)c，且過(guò)點(diǎn)(5,2)，焦點(diǎn)在x軸上；(3)與雙曲線1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，2)解(1)設(shè)雙曲線方程為1，P、Q兩點(diǎn)在雙曲線上，解得，所求雙曲線方程為1.(2)焦點(diǎn)在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線方程為：1(其中0<<6)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2)，1，解得5或30(舍去)所求雙曲線方程是y21.(3)設(shè)所求雙曲線方程為：1 (其中4<<16)雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，2)，1，解得4或14(舍去)，所求雙曲線方程為1.【反思感悟】用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要定型，即確定雙曲線的類型，看焦點(diǎn)位置(如果焦點(diǎn)位置不確定，要分類

23、討論或設(shè)一般式Ax2By21其中AB<0)設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)形式，再定量即確定方程中的參數(shù)的值已知雙曲線過(guò)P1和P2兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)位置不確定，所以設(shè)雙曲線方程為mx2ny21 (mn<0)，因P1、P2在雙曲線上，所以有，解得.所求雙曲線方程為1，即1.知識(shí)點(diǎn)三雙曲線的實(shí)際應(yīng)用一炮彈在A處的東偏北60°的某處爆炸，在A處測(cè)到爆炸信號(hào)的時(shí)間比在B處早4秒，已知A在B的正東方、相距6千米，P為爆炸地點(diǎn)，(該信號(hào)的傳播速度為每秒1千米)求A、P兩地的距離解以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(3,0)、B(3,0)|PB|PA|4

24、×1<6a2，b，c3P是雙曲線1右支上的一點(diǎn) P在A的東偏北60°方向，kAPtan60°.線段AP所在的直線方程為y(x3)解方程組 得即P點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,5)A、P兩地的距離為|AP|=10(千米)【反思感悟】解答此類題首先應(yīng)建立平面直角坐標(biāo)系，取兩定點(diǎn)所在的直線為x軸，以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；然后根據(jù)雙曲線的定義求出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由標(biāo)準(zhǔn)方程解有關(guān)問(wèn)題已知A、B兩地相距800 m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程解如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)O與線段A

25、B的中點(diǎn)重合設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|PB|=340×2=680，即2a=680，a=340.又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2a2=44 400.因?yàn)閨PA|PB|=340×2=680>0，所以x>0.因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡(雙曲線)的方程為 （x>0.）. 課堂小結(jié)：1.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a（0<2a<|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫雙曲線的焦距.2.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（a>0,b>0），其焦點(diǎn)為

26、 F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.3.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（a>0,b>0），其焦點(diǎn)為F1（0，-c），F(xiàn)2（0,c）.4.c2=a2+b2，焦距| F1F2 |=2c.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1若ax2by2b(ab<0)，則這個(gè)曲線是()A雙曲線，焦點(diǎn)在x軸上B雙曲線，焦點(diǎn)在y軸上C橢圓，焦點(diǎn)在x軸上D橢圓，焦點(diǎn)在y軸上答案B解析原方程可化為y21，因?yàn)閍b<0，所以<0，所以曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙線，故選B.2一動(dòng)圓與兩圓：x2y21和x2y28x120都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為()A拋物線 B圓C雙曲線的一支 D橢圓答案C解析由題意兩定圓的圓心坐標(biāo)

27、為O1(0,0)，O2(4,0)，設(shè)動(dòng)圓圓心為O，動(dòng)圓半徑為r，則|OO1|r1，|OO2|r2，|OO2|OO1|1<|O1O2|4，故動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線的一支3雙曲線8kx2ky28的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)，則k的值是()A1 B1 C. D答案B解析原方程可化為1，由一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)可知c3，且焦點(diǎn)在y軸上，c2()()9，所以k1，故選B.4已知雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F1(，0)，點(diǎn)P位于該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則該雙曲線的方程是()A.y21 Bx21C.1 D.1答案B解析設(shè)雙曲線方程為1，因?yàn)閏，c2a2b2，所以b25a2，所

28、以1.由于線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)代入雙曲線方程得1，解得a21或a225(舍去)，所以雙曲線方程為x21.故選B.5雙曲線y21(n>1)的左、右兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，P在雙曲線上，且滿足|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積為()A. B1 C2 D4答案B解析不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則|PF1|PF2|2，由|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，|F1F2|2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以F1PF290°.所以SPF1F2|PF1|·|PF2|1.二、填空題6P是雙曲線1上一點(diǎn)，F(xiàn)1

29、、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF1|17，則|PF2|的值為_(kāi)答案33解析在雙曲線1中，a8，b6，故c10.由P是雙曲線上一點(diǎn)，得|PF1|PF2|16.因?yàn)閨PF1|17，所以|PF2|1或|PF2|33.又|PF2|ca2，得|PF2|33.7.1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案t>4或t<1解析由題意知：(4t)(t1)<0，即(t4)(t1)>0，t>4或t<1.8F1、F2是雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是雙曲線上一點(diǎn)，且|MF1|·|MF2|32，求F1MF2的面積為_(kāi)答案16解析由題意可得雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(0，5)、F2(0,

30、5)，由雙曲線定義得：|MF1|MF2|6，聯(lián)立|MF1|·|MF2|32得|MF1|2|MF2|2100|F1F2|2，所以F1MF2是直角三角形，從而其面積為S|MF1|·|MF2|16.三、解答題9某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A是雙曲線的頂點(diǎn)，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知AA14 m，CC18 m，BB22 m，塔高20 m建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程解(1)如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，以AA為x軸，AA的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CC與BB平行于x軸設(shè)雙曲線方程為(a>

31、0，b>0)，則a=，AA=7.又設(shè)B(11，y1)，C(9，y2)，因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以有1，由題意知y2y120.由、得y112，y28，b7.故雙曲線方程為1.10已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，直線yx1與其相交于M，N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，且c，則a2b27.由MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為知，中點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由得b2(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0.，且1，2b25a2.由，求得a22，b25.所求方程為1.23.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一由方程研究幾何性質(zhì)求雙

32、曲線9y216x2144的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程1.由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a4，虛半軸長(zhǎng)b3；c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，(0,5)；離心率e；漸近線方程為y±x.【反思感悟】求雙曲線的幾何性質(zhì)可先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式1 (或1)，再根據(jù)它確定a，b的值，進(jìn)而求出c.求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程，并作出草圖解將9y24x236變形為1，即1，a3，b2，c，因此頂點(diǎn)為A1(3,0)，A2(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，實(shí)軸長(zhǎng)是2a6，虛軸長(zhǎng)是2b4，離

33、心率e，漸近線方程y±x±x.作草圖：知識(shí)點(diǎn)二由幾何性質(zhì)求方程求與雙曲線1共漸近線且過(guò)點(diǎn)A(2，3)的雙曲線方程解設(shè)與雙曲線1共漸近線的雙曲線方程為(0)因?yàn)辄c(diǎn)A(2，3)在所求的雙曲線上，所以，所以所求雙曲線方程為，即1.【反思感悟】本題解法有兩種，一是按焦點(diǎn)位置分類討論，二是設(shè)共漸近線方程為(0)已知雙曲線的兩條漸近線方程為x±y0，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，求此雙曲線的方程解因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是x±y0，所以可設(shè)雙曲線方程為3x2y23(0)，當(dāng)>0時(shí)，方程為1，所以a2，b23，c2.焦點(diǎn)(±2，0)到x±y0的距離

34、是3，解得3，所以雙曲線方程為1.當(dāng)<0時(shí)，方程為1，a23，b2，c2，焦點(diǎn)(0，±2)到x±y0的距離是3，解得9.所以雙曲線方程為1.知識(shí)點(diǎn)三求離心率或離心率的取值范圍雙曲線1 (a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過(guò)點(diǎn)(a,0)和(0，b)，且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(1，0)到直線l的距離之和sc，求雙曲線的離心率e的取值范圍解直線l的方程為1，即bxayab0.由點(diǎn)到直線的距離公式，且a>1，得到點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1，同理得到點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d2，sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是得52e2，即4e42

35、5e2250.解不等式，得e25.e>1，e的取值范圍是e.【反思感悟】求雙曲線離心率的常見(jiàn)方法：一是依條件求出a、c，再計(jì)算e；二是依據(jù)條件提供的信息建立參數(shù)a、b、c的等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為離心率e的方程，再解出e的值已知雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，F(xiàn)1MF2120°，則雙曲線的離心率為_(kāi)答案解析由題意知tan60°，即cb.所以有13(1)，解之得：e.課堂小結(jié)：1.雙曲線 (a>0,b>0)既關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,又關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱;其頂點(diǎn)為(±a,0),實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b;其上任一點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)均滿足|x|a.2

36、.雙曲線的離心率e = 的取值范圍是(1,+),其中c2=a2+b2,且=,離心率e越大,雙曲線的開(kāi)口越大.3.雙曲線 (a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,也可記為;與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線的方程可表示為 (0).課時(shí)作業(yè)一、選擇題1頂點(diǎn)為A1(0，2)，A2(0,2)，焦距為12的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析頂點(diǎn)在y軸上，a2，c6，得b4.標(biāo)準(zhǔn)方程為1.2雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.答案C解析由2a·2c(2b)2及b2c2a2，得c2aca20，e2e10，解

37、得e，由e>1得，e.3經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3，1)，且對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程是()Ay2x28 Bx2y2±8Cx2y24 Dx2y28答案D解析設(shè)雙曲線方程為x2y2k，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入得k8.所以雙曲線方程為x2y28.4已知雙曲線1 (a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A. B. C2 D.答案B解析|PF1|PF2|2a，即3|PF2|2a，所以|PF2|ca，即2a3c3a，即5a3c，則.二、填空題5雙曲線x2y21的兩條漸近線的夾角為_(kāi)答案90°解

38、析兩條漸近線方程為y±x，它們相互垂直，故夾角為90°.6若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，則雙曲線的虛軸長(zhǎng)為_(kāi)答案4解析以雙曲線1 (a>0，b>0)的焦點(diǎn)(c,0)與漸近線yx為例，得2，故b2，虛軸長(zhǎng)為2b4.7雙曲線的漸近線方程是3x±4y0，則雙曲線的離心率e_.答案或解析若焦點(diǎn)在x軸上，則，e ；若焦點(diǎn)在y軸上，則，e .8設(shè)圓過(guò)雙曲線1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_答案解析由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3,0)，(5,0)，由題意知圓心的橫坐標(biāo)為4.代入雙曲線方程，得圓心縱坐標(biāo)

39、y±，圓心到點(diǎn)(0,0)的距離d .三、解答題9根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且一條漸近線為4x3y0；(2)P(0,6)與兩個(gè)焦點(diǎn)連線互相垂直，與兩個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為.解(1)因直線x與漸近線4x3y0的交點(diǎn)坐標(biāo)為，而3<|5|，故雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為1，由解得故所求的雙曲線方程為1.(2)設(shè)F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)依題意，它的焦點(diǎn)在x軸上因?yàn)镻F1PF2，且|OP|6，所以2c|F1F2|2|OP|12，所以c6.又P與兩頂點(diǎn)連線夾角為，所以a|OP|·tan2，所以b2c2a224.故所求的雙曲線方程為1.10設(shè)雙曲線1的焦點(diǎn)分別

40、為F1、F2，離心率為2.(1)求此雙曲線的漸近線l1、l2的方程；(2)設(shè)A、B分別為l1、l2上的動(dòng)點(diǎn)，且2|AB|5|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線解(1)已知雙曲線離心率e2，解得a21，所以雙曲線方程為y21，漸近線方程為x±y0.(2)因?yàn)閨F1F2|4,2|AB|5|F1F2|，所以|AB|10.又因?yàn)锳、B分別為l1、l2上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)A(y1，y1)，B(y2，y2)，所以|AB|10.設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x，y)，則x，y.所以y1y2x，y1y22y，代入得12y2x2100，即1為中點(diǎn)M的軌跡方程中點(diǎn)M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸

41、上的橢圓§2.3習(xí)題課. 對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一直線與雙曲線的位置關(guān)系已知雙曲線x2y24，直線l：yk(x1)，試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)解由消去y，得(1k2)x22k2xk240(*)(1)當(dāng)1k20，即k±1，直線l與雙曲線漸近線平行，方程化為2x5，故此方程(*)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線相交，且只有一個(gè)公共點(diǎn)(2)當(dāng)1k20，即k±1時(shí)，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k，且k±1時(shí)，方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線

42、有兩個(gè)公共點(diǎn)即k±時(shí)，方程(*)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線有兩重合的公共點(diǎn)即k或k時(shí)，方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)綜上所述，當(dāng)k1或1k1或1k時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k±1或k±時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k或k時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)【反思感悟】討論直線和雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，常常歸結(jié)為討論含參數(shù)的一元二次方程在特定區(qū)間內(nèi)是否存在實(shí)根或討論實(shí)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，但要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性過(guò)雙曲線x21的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|4，這樣的直線有()A1條B2條C3條 D4條答案C解析右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，把x

43、代入雙曲線方程得：y±2，即當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)垂直于x軸時(shí)，l與雙曲線交的弦長(zhǎng)|AB|4，當(dāng)l與x軸重合時(shí)，|AB|2.由數(shù)形結(jié)合知，還存在兩條直線，使得|AB|4，故選C.知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的實(shí)際應(yīng)用如圖，某村在P處有一堆肥料，今要把這堆肥料沿道路PA，PB送到大田ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，BC=60 m，APB=60°，試在大田中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路PA送肥較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿PB送肥較近，請(qǐng)說(shuō)明這一界線是一條什么曲線？試求出其方程解大田中的點(diǎn)可分為三類，第一類沿PA送肥較近，第二類沿PB送肥較近，第三類沿PA和PB送肥一樣遠(yuǎn)近依題

44、意，界線是第三類點(diǎn)的軌跡設(shè)M為界線上的任一點(diǎn)，則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，即|MA|MB|=|PB|PA|=50(定值)所以界線是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支的一部分以AB所在直線為x軸，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則所求雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為a=25，2c=|AB|=50，c=25，b2=3 750，注意到點(diǎn)C的坐標(biāo)為(25,60)，故界線的曲線方程為：(25x35)【反思感悟】本題由題意能獲得所求分界線是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線，但由于|MA|>|MB|故為右支由于沒(méi)有坐標(biāo)系因此需建系，并確定方程的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法解方程，此題極易忽略x和y的取值范圍，因此

45、在實(shí)際問(wèn)題中，要注意由問(wèn)題的實(shí)際意義確定變量范圍某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到該巨響的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4 s已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1 020 m試確定該巨響發(fā)生的位置(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340 m/s；相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)解如圖所示，以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向分別為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)則A(1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)設(shè)P(x，y)為巨響發(fā)生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO

46、上PO的方程為y=x.因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4 s聽(tīng)到爆炸聲，故|PB|PA|=1 360.P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，依題意a=680，c=1 020，b2=c2a2=5×3402.故雙曲線方程為，用y=x代入上式，得x=±680.|PB|>|PA|，x=680，y=680，即P(680，680)故|PO|=680 (m)該巨響發(fā)生的位置離中心的距離為680 m.課堂小結(jié)：1.雙曲線的定義在解題中有廣泛的應(yīng)用，常用于解決有關(guān)雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)間關(guān)系的習(xí)題.2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中“標(biāo)準(zhǔn)”的含義有兩層：其一是兩個(gè)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其二是兩個(gè)焦點(diǎn)的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.3.一般地

47、，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程 (0).求雙曲線方程較為方便.然后根據(jù)題設(shè)中的另一條件確定參數(shù)的值.4.直線和雙曲線的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種，可通過(guò)根的判別式來(lái)判定，需要注意的是當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，除直線和雙曲線相切外，還有一種情況，那就是直線與雙曲線的漸近線平行，這也是極易忽視的地方.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1是第三象限角，方程x2y2sincos表示的曲線是()A焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線答案D解析方程可化為1，是第三象限角，cos<0，>0，故選D.2已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線的左支上有一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是MF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|NO|等于()A. B1C2 D4答案D解析NO為MF1F2的中位線，所以|NO|MF1|，又由