多目標規(guī)劃Pareto最優(yōu)解的幾個充分條件

1、1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 多目標規(guī)劃Pareto最優(yōu)解的幾個充分條件a 要 討論了當目標函數(shù)或約張兼件是擬凹的和溝足臥劭淞條件的多目標規(guī)劃最盎解 的幾個充分條件.羌鍵詞去冃標孩劃；充分殺件；最憂解;捏凸區(qū)域申圖分堯號如o前 言在多田標數(shù)學(xué)規(guī)劃的立蔽中，許多柞者在研究多日標規(guī)劃的pareio最優(yōu)解時,都假定 了旦標函數(shù)或約束條件的凹性和可微性，但是在經(jīng)矯領(lǐng)域或其它研究領(lǐng)域，許多函數(shù)是 擬凹的而不是凹的也是非光滑的本文給出了目標函數(shù)或約束聶件是擬凹或満足 Hp

2、srhiU 件的多目標規(guī)劃pareta最優(yōu)解的幾牛充分贛件.1預(yù)備細識定義1設(shè)SC2R'是凸集,ACK-是凸錐一午實值向量函數(shù)用稱為&上 A 凹*如果：s (AX| +( A)!)(1i)(? (xi) A對于H工g"和入E (0,1)定義2設(shè)SU0是凸集 AU腐是凸錐*亍實值向量函數(shù)稱為&上A擬凹+如皋曾(加+ £ 人工J ming O J叩GtE A對于¥工“*占和7丘(氛1)成立這里定艾3設(shè)p©)是定義在&U用上的實值亟數(shù)，如果存在常數(shù)G便得對任意廠E辦，有 If (z»)(r3)I ijii h 則稱 g

3、 &)在辦上禱足 lipschitz 條件，皂為 Vpschilz牧稿日期J 99601-18引理】設(shè)g 5)為非空凸集SU丈上滿足lipschitz條件擬凹函數(shù)鳳下面幾個命題 等價.1、若gGO為冷上的上次可微函數(shù)氛若野W禺，乃尿且*<203甯<乩巧一巧>黑0 其中計心)3、若雷1心EE、且V切心工*>0疋】白勺G】)則叩(Xj)>j (rt>引理2設(shè)占U用是凸集AU臚是凸錐.心7”是實值向撬函數(shù)，如果對于任意 c6fi- £ =任&冷|yG：)|o卜A )是凸集側(cè)g是£上人擬凹函數(shù).定5U 令1 = 1嚴7痕£

4、;個實值函數(shù)伉©*/乍為且標函數(shù)* 一個實值向量9 G)右血)wCO尸為約朿函數(shù)，凸集EUE是(Mr) her和g")的定義域*凸錐 KUP是約束錐,g(/O = HERbEK沖0是約束集，那么多目標規(guī)劃問題"一 P)為(max) >-*/)(H Z、res(.K)企義名 設(shè)點es(K)稱為CK-P)的pareto 優(yōu)解.如果不存在任何點誓GW 梗 S5) )r(f i (S嚴“©汽f理琢)對于在討論中記：代 k = G W 臚 Rd。 踴=旅/?”|心02幾個結(jié)論首先考慮M下問題的最優(yōu)解的充分條件：max V fXx)(P) 皿工 E £

5、;其中 2用是凸集，且假定存在匚的一午剖分U|i=lr»g)t便得Y幾GO是擬凹函數(shù)注 =1 *卜定理1設(shè)。和$是凸集用UMfjG)科在一個包含D的開集上滿足lfpsehitz 件，設(shè)i=l,2r是L的一個剖分，使得對每T i E/A)在D上是擬凹的，設(shè)庶 躍如果對于每個對所有疋也討幾丫且至少存在一 個t'eo使得多 釈nvo&EfG兒那么；是(巧的一個解”f證明 對于工C斥和滿足0£曲總110£此£1 (fli 1 *"§) *0十幾=的E *(?. Cm «i 1f3嚴q)，令$ (60 =氐+工%：r

6、J則H* 69 -S CT （工 3） I） = S <J 伽i） H- S （z * a ） 定叫"圧耳-Im ） + 遲4 EijG'f =）g-I g J_f_茅Gr幻十積于一£）+ Xf兔乙打©"h）VQ jT 審孑 WT*«« I gvil jGT J對于也>0 Ww計于心）襯"即然乞門G）是擬凹的、由引理2知心#Sf/zWxS/Xi）,對心 >0j",法外令BL有XGOf £ I由f/z）沖的連續(xù)性有S/r）f習(xí)_fjGh因比JT;堆片jS/j（!人對每個H W念Jt

7、r；JET（fI從而 另幾a）=R2門Yjy；）心i-a jer；i-i >Erri=S fiCx對于所有h G &成立>et故；是“）的一個解.定理2考堆幺一門訶（Q是使得機F）是一小凸彙的函數(shù)/ 6（鳴”和=肌工0設(shè)對某個£Eh是叫嚴格擬凹的且玄C機巧是max S匕f心 EtEHK、的局部解那么；是（尺一卩）的一個pareto最優(yōu)解"1EL證明 假設(shè)相反強不是也一小的一個paieto最優(yōu)解，即存在工駅JO變得 九6）»幾&人對所有送丄由的嚴格擬凹性知,對任何o<a<i>有za+aCi-x）»j-/x）&l

8、t;對所有，因此 .jPjfjCx 4-/X<1 X ）> S P>/j（x ）這與”是max工FJ心）&r丘鞏尺）的局部解矛盾，故工是Of P）的一個pAido蠱 優(yōu)解.定理3考慮（K-P兒U是便得&（疋）是凸集的向量值函數(shù)（略:T和/= （il?oa<i<i 設(shè)對于某個）心是滿足ijpschitz條件 略嚴格擬凹 的.且r（|i=h-fl是乙的一牛剖分，使得對于每個訶1«。鳥33 是擬凹的-設(shè) X如果對于每個心底力袒尸怎&一7£幾2斥滬心&人對于所有主。賦n且存在一個淇W0便得為尸念3；）<0冷jE尹；

9、人那么；是（A -?）的一個 用©-70 paieto最優(yōu)解*證明 由于磯壯是一個凸躺且AlAt宀咄是乙的一牛剖分使得對每個K10 擬凹的，故由定理1知匸是m的一個局部KT(Jtt解収由定理2知T是(K P的一個ggg最優(yōu)解+卷考文抵拔杖齡尊+數(shù)學(xué)規(guī)劃引論北京:紈空就天大學(xué)岀版杜J剜C23 Dkwert MEfA.vtiCl Mard Zng T, Nine kiukj of Quasiconcavity fu«t CaciCfitityn Journal of EconomicThwry J$&(25)SEVERAL SUFFICIENT CONDITIONSOF

10、 PARETO OPTIMUM SOLUTIONOF MULTI OBJECTIVE PROGRAMMINGPan Shaping Geng Rciping(Dtpftrtment of Ruic Sciences)Abitmct Several (UfUciitiit conditions of optimum solution cf multiobjectiy pfogTaintnin a« discussed W：t®n the objects* functions Cf binding condition; are convex fl nd con 桂nt with lipsthitz Candjlions， Key word muiiiple一objective p