時域有限差分法發(fā)展綜述7頁

1、時域有限差分法發(fā)展綜述潘忠摘要:時域有限差分法(FDTD)是解決復雜電磁問題的有效方法之一，目前FDTD法的許多重要問題得到了很好的解決，已經(jīng)發(fā)展成為一種成熟的數(shù)值計算方法。隨著計算機數(shù)據(jù)處理性能的快速提高和計算機價格的下降，使得FDTD法的應用范圍越來越廣，而FDTD法本身在應用中又有新的發(fā)展.本文介紹并分析了時域有限差分法，對各種條件的應用進行了比較和分析，給出了具有一定參考價值的結(jié)論。關(guān)鍵詞:時域有限差分法;研究與發(fā)展;比較;分析A Summary of FDTD and Development at Home and Abroad Zhong PanAbstract: The fini

2、te difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDT

3、D method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally,

4、 some valuable conclusions are drawn.Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis 1966年，K.S.Yee首次提出電磁場數(shù)值計算的新方法時域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，簡稱FDTD)。經(jīng)歷了二十年的發(fā)展FDTD法才逐漸走向成熟。上世紀80年代后期以來FDTD法進入了一個新的發(fā)展階段，即由成熟轉(zhuǎn)為被廣泛接受和應用的階段。FDTD法是解決復雜問題的有效方法之一，是一種直接基于時域電磁場微分方程的數(shù)值算法，它直接在時域?qū)axwell

5、旋度方程用二階精度的中心差分近似，從而將時域微分方程的求解轉(zhuǎn)換為差分方程的迭代求解。是電磁場和電磁波運動規(guī)律和運動過程的計算機模擬。原則上可以求解任意形式的電磁場和電磁波的技術(shù)和工程問題，并且對計算機內(nèi)存容量要求較低、計算速度較快、尤其適用于并行算法?，F(xiàn)在FDTD法己被廣泛應用于天線的分析與設計、目標電磁散射、電磁兼容、微波電路和光路時域分析、生物電磁劑量學、瞬態(tài)電磁場研究等多個領域。經(jīng)過了近四十年的發(fā)展，F(xiàn)DTD法在計算方法和應用上取得了大量成果。近幾年來，討論FDTD法的深入發(fā)展和實際應用的文章幾乎按指數(shù)增長。現(xiàn)就幾個主要方面綜述如下:1 FDTD法在計算方法上的發(fā)展狀況1.1吸收邊界條件

6、用FDTD分析電磁散射、輻射等開放或者半開放性質(zhì)問題時,受計算機內(nèi)存容量限制,不可能直接對無限的空間進行計算,因此必須在截斷處設置適當?shù)奈者吔鐥l件,以便用有限網(wǎng)格空間模擬開放的無限空間.目前對吸收邊界條件的比較系統(tǒng)和深入的研究,主要是沿著兩個方向進行的,一是在邊界上引入吸收材料,電磁波在無反射地進入吸收材料后被衰減掉,如PML。二是通過波動方程的因子分解獲得單行波方程并取近似來建立吸收邊界條件。Mur吸收邊界條件以實施方便簡單、吸收效果較好而獲得廣泛應用。然而,在使用中注意到,一階近似的Mur吸收邊界條件雖簡單易行,但直角坐標系下采用Yee網(wǎng)格劃分,在角區(qū)域稱作較大誤差,且不易向三維推廣,而

7、二階近似盡管精度較高,但編程復雜,且對三維情況還可能出現(xiàn)結(jié)果發(fā)散的現(xiàn)象。完全匹配層(PML)首先由Berenger提出1。通過在FDTD區(qū)域截斷邊界處設置一種特殊介質(zhì)層,該層介質(zhì)的波阻抗與相鄰介質(zhì)的波阻抗完全匹配,因而入射波將無反射地穿過分界面而進入PML層。并且,由于PML層為有耗介質(zhì),進入PML層的投射波將迅速衰減,即使PML為有限厚度,它對于入射波仍有很好的吸收效果。廖氏吸收邊界條件可以看作利用Newton后向差分多項式在時空對波函數(shù)進行外插的結(jié)果,是將邊界上的場值用垂直于邊界上采樣點的場值來表達。其在網(wǎng)格外邊界引起的反射比Mur二階吸收邊界條件要小一個數(shù)量級。Tan于2001年提出的駐

8、波-行波邊界條件是在FDTD計算空間的邊界設置理想導體,波到達邊界將發(fā)生全發(fā)射,若邊界是理想導電(磁)壁,則切向電(磁)場為零,切向磁(電)場是入射場的兩倍,同時反射場將向回傳播,在區(qū)域內(nèi)部形成駐波,隨著時間的推移駐波向內(nèi)擴展,而在反射波未到過的區(qū)域場仍呈外行波狀態(tài).要將反射波濾除,只需在每個時間步迭代時將算出的邊界磁場(對理想導電壁而言)或邊界電場對理想導磁壁而言除以二即可2。1.2激勵源設置FDTD法建模中,除了需要在足夠的網(wǎng)格空間中模擬被研究的媒質(zhì)外,合理進行激勵源的建模也十分重要。因此,需要盡可能將源的特性與實際物理模型性質(zhì)一致。根據(jù)激勵源的能量來源不同,可以將激勵源分為外激勵源和內(nèi)激

9、勵源。如果源的能量在計算區(qū)域外部,采用特定極化、給定方向的平面波形式作為激勵源。而對于內(nèi)激勵源,這方面的研究較少。它主要由電壓源或電流源產(chǎn)生。這些內(nèi)部源一般采用理想源模擬,如普遍采用電流密度J,它是麥克斯韋方程中產(chǎn)生電磁場的主要激勵源。由于電流源是個理想源,所以不一定是激勵源的最合理模擬。同樣,采用理想電流源還是采用有限內(nèi)阻的電壓源都會影響被研究物體的近、遠場特性。而且在大多數(shù)EMI/EMC問題中,被研究的激勵源要比偶極子復雜得多,且輻射源的內(nèi)部構(gòu)造也將影響整個輻射特性。因此FDTD法中合理進行激勵源建模很重要。需要根據(jù)具體的物理現(xiàn)象對激勵源建模,從而根據(jù)FDTD方程得到最符合實際的電磁特性預

10、測3。1.3網(wǎng)格剖分技術(shù)傳統(tǒng)的FDTD法都是采用直角坐標系中均勻的巨型網(wǎng)格，差分格式所能模擬的最小尺度為一個網(wǎng)格，對于小于一個網(wǎng)格的尺寸，需要近似為一個網(wǎng)格，這樣會給計算帶來誤差。當用它模擬不規(guī)則的邊界時，就只好用階梯折線來近似代替曲邊.而這種近似只有在計算網(wǎng)格足夠小的情況下才能獲得高精度解，但是這又必然增加計算網(wǎng)格，這將大大增加計算機內(nèi)存和計算時間。另外，對于電大尺寸散射體上的某些電小尺寸的局部(如小孔、窄縫、細線等)，經(jīng)典的FDTD法很難處理。一種改進的方法就是網(wǎng)格剖分技術(shù)4。這些技術(shù)能在整個計算區(qū)域網(wǎng)格保持較大尺寸的同時，通過修正局部網(wǎng)格的差分格式來減小誤差。這些網(wǎng)格剖分技術(shù)包括:(l)

11、亞網(wǎng)格技術(shù):Kasher和Yee提出亞網(wǎng)格技術(shù)。亞網(wǎng)格技術(shù)涉及細導線和窄縫的模擬，在不同的計算區(qū)域使用非均勻網(wǎng)格等。Holand和Simpson提出的細導線的模擬方法;Gillert和Hofand提出的窄縫的模擬技術(shù);王秉中提出的增強細槽縫公式以及他對小孔禍合問題的數(shù)值模擬:Monorehio和Mittra提出的基于FDTD法和TDFEM相結(jié)合的亞網(wǎng)格技術(shù)非常引人注目。(2)共形網(wǎng)格技術(shù):Mei等提出共形網(wǎng)格技術(shù)。共形網(wǎng)格技術(shù)是在一些與被模擬物體表面共形的網(wǎng)格中使用環(huán)路積分來得到場分量方程的差分形式。Taflove從積分形式的Maxwell方程出發(fā)，提出了環(huán)路積分(CP)法，為任意形狀的散射體

12、、輻射體的模擬帶來方便。(3)在計算區(qū)域使用非均勻網(wǎng)格算法:Kunz和Simpson首先提出了局部網(wǎng)格細化技術(shù)，采用這種方法只需在需要細致模擬的部分使用細分網(wǎng)格，而其余部分則可用粗網(wǎng)格。Gao.B.Q等人發(fā)展了擴展網(wǎng)格技術(shù)。王加瑩等人提出了處理復合導體邊界的規(guī)則連接面的子域連接法，以時間的增加來換取計算空間。另外，還出現(xiàn)了三角形網(wǎng)格、六邊形網(wǎng)格以及平面型廣義網(wǎng)格。(4)在提高計算效率方面還有PSTD方法，MRTD方法。2 FDTD法在實際應用上的發(fā)展狀況2.1曲線坐標系中的FDTD經(jīng)典的時域有限差分法都是采用矩形網(wǎng)格，在直角坐標系中把麥克斯韋旋度方程轉(zhuǎn)化為差分形式。在矩形網(wǎng)格構(gòu)成的網(wǎng)格空間中模

13、擬任何彎曲的邊界，只能采用階梯形近似的方法或環(huán)路積分法。若采用階梯近似來擬合表面，則會產(chǎn)生兩個問題:(l)階梯表面可能激勵表面波傳播，引起附加數(shù)值色散。(2)為了擬合曲率半徑小的表面，則要減小網(wǎng)格尺寸，這就會增加計算內(nèi)存和時間。使用環(huán)路積分法時，可能會因為在一些地方破壞了計算穩(wěn)定性條件而導致計算失敗。這兩種方法都存在誤差和穩(wěn)定性方面的缺陷。一般來講，只有在所選坐標系的坐標面與所模擬的電磁系統(tǒng)的表面相一致時，所選擇的網(wǎng)格空間才能簡便而精確的模擬其幾何形體。由于麥克斯韋方程是矢量方程，它在任意坐標系中均成立，因此在任意坐標系中均可建立FDTD算法。圓柱坐標系、球坐標系、拋物線坐標系以及橢圓坐標系都

14、屬于正交坐標系，F(xiàn)DTD法在其中都有應用。為此，Holland(1983年)，Madsen(1988年)，F(xiàn)useo(1990年)等人對非正交曲線坐標系中的FDTD法進行了討論。柱坐標系屬于正交曲線坐標系，F(xiàn)DTD法在其中的應用較為常見。隨著曲線坐標系中FDTD法應用的增多，人們提出了各種相應的吸收邊界條件。2.2表面阻抗邊界條件(SIBC)在FDTD法中，為了保證一定的計算精度和必要的相位信息，所有網(wǎng)格空間的步長與波長之比有一定的限度。在一般情況下要求空間步長不大于波長的十分之一。如果計算空間中包含高介電常數(shù)的媒質(zhì)，由于波長比自由空間中短，使得網(wǎng)格空間步長也要相應變小，如果采用均勻網(wǎng)格空間，

15、則計算時對內(nèi)存的需求大大提高。如果介質(zhì)所占空間內(nèi)的場不必知道，則可用SIBC避免介質(zhì)區(qū)域內(nèi)場分布的計算。從而仍可采用自由空間的網(wǎng)格空間步長，這樣可以大大節(jié)省存儲空間和計算時間。自Maloney和Smith(1992年)以及Beggs等人在FDTD法中引入時域SIBC以來，SIBC在FDTD法分析實際電磁問題時得到了很多應用。2.3適用于色散媒質(zhì)和各向異性媒質(zhì)的FDTD法FDTD法最初主要應用于各向同性的非色散媒質(zhì)。但在實際應用中，經(jīng)常遇到色散媒質(zhì)和各向異性媒質(zhì)，因而研究適用于色散媒質(zhì)和各向異性媒質(zhì)的FDTD法具有極大的實用價值。要得到媒質(zhì)色散特性的時域算法，關(guān)鍵是如何將媒質(zhì)的頻域參量連同相應的

16、頻域場分量變換為時域參量和場分量，以建立起FDTD迭代方程式。Luebbers等(l990年)提出一種卷積的遞歸算法，導出了適用于Debye色散模型的時域有限差分格式，在1992年又把這一方法發(fā)展為適用于N階色散媒質(zhì)的形式。由于媒質(zhì)色散模型的建立與使用較為困難，所以適用于色散媒質(zhì)的FDTD法還有待進一步發(fā)展。肖飛等從頻率空間或者波數(shù)空間中實現(xiàn)對理想偏微分算子的逼近，構(gòu)造一種新的具有低數(shù)值色散關(guān)系的最優(yōu)時域有限差分方法。各向異性媒質(zhì)在微波原件、微波電路及電磁波吸收材料等方面有廣泛應用，因而較好的推動了各向異性媒質(zhì)中FDTD法的研究。隨著FOTD法研究的深入，適合各向異性媒質(zhì)的吸收邊界條件也在不斷

17、發(fā)展，如陳彬等人(l996年)將PML和MPML概念推廣到各向異性媒質(zhì)，楊利霞，葛德彪導出磁化色散介質(zhì)中的磁感應強度B和磁場強度H在離散時域的色散關(guān)系，并將其具體應用于旋磁介質(zhì)，得到了這種磁化色散介質(zhì)的Pade時域有限差分方法的遞推表達幻間，大大提高了FDTD法分析時吸收邊界條件的性能5。2.4交替隱式差分格式算法(ADI)Peaceman和Rachford提出了著名的交變隱式差分方向方法(簡稱ADI法)，這種方法的特點是所求得的解是無條件穩(wěn)定的。為了擺脫FDTD法計算過程中Courant穩(wěn)定性條件的限制，節(jié)約計算時間，日本的NAMIKI(1999年)將此方法應用于FDTD，提出了交替方向隱式

18、FDTD(ADI-FDTD)。該方法采用求解微分方程的交替方向隱格式對FDTD法進行改造，使其能無條件穩(wěn)定，從而極大地節(jié)約計算時間。ADI-FDTD提出后，F(xiàn).zheng針對三維問題報道了一些數(shù)值結(jié)果，并研究了解的穩(wěn)定性和數(shù)值色散。Liu和Gedney(2000年)很快提出了適合ADI-FDTD的完全匹配層吸收邊界條件6。C.P.chen報道了ADI-FDTD法在VLSI互聯(lián)線電磁特性模擬方面的應用。2.5并行計算技術(shù)由前面的分析可知，F(xiàn)DTD法對計算條件的要求較高，因而在處理電大尺寸空間中的電磁場問題時常常受到限制。采用并行FDTD算法是解決這一問題的有效途徑之一。由于目前大規(guī)模并行計算機價

19、格昂貴，用FDTD法計算時希望利用較為經(jīng)濟的高性能PC機，但PC機在CPU計算能力及內(nèi)存容量方面有很大局限。利用網(wǎng)絡并行計算技術(shù)將多臺PC機聯(lián)網(wǎng)工作，可實現(xiàn)使用現(xiàn)有的高性能PC機解決大內(nèi)存的要求，且可大大縮短計算時間。目前，并行FDTD計算涉及MPP、陣列機、工作站集群系統(tǒng)。并行計算技術(shù)在網(wǎng)絡并行計算及區(qū)域分割并行FDTD算法等方面己取得不少進展7。在目前高性能計算機系統(tǒng)中，最廣泛使用的一種標準是MPI，它己成為一種并行程序的標準。MPI的理念是需要將問題的并行求解算法轉(zhuǎn)化為特定的適合并行計算模型的并行算法。2.6減少場量存儲的FDTD算法(R-FDTD)FDTD法對計算機內(nèi)存的要求較高，因而

20、在處理大尺寸空間中的電磁場問題時常常受限。采用并行FDTD算法是解決這一問題的有效途徑之一，但由于目前大規(guī)模并行計算機價格昂貴。為盡量減少FDTD法計算過程中對電磁場量的存儲，從而降低對計算機內(nèi)存的要求，Kondylis等人于2001年發(fā)表的文章中提出了R-FDTD算法8。這種算法只需在每個時間部計算磁場(或電場)分量的過程中，某個電場(或磁場)分量只要在很小的局部區(qū)域進行計算并存儲，而該分量在其他區(qū)域的值是通過分量間的空間關(guān)系式導出的，無需存儲，該算法可將計算區(qū)域內(nèi)電磁場量的存儲減少約三分之一。但其應用僅限于在無耗媒質(zhì)中和直角坐標系的情形。余同彬等人于2003年從FDTD形式的麥克斯韋旋度方

21、程出發(fā)，得出了適用于直角坐標系中有耗媒質(zhì)中的R-FDTD算法，并提出了柱坐標系中的R-FDTD算法，拓展了R-FDTD算法的使用范圍。2.7旋轉(zhuǎn)對稱時域有限差分法(BOR-FDTD)旋轉(zhuǎn)對稱時域有限差分法(BOR-FDTD)是專門用于分析旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)問題的時域有限差分法。該方法將電磁場展開成方位角的傅立葉級數(shù)(角譜)，然后對級數(shù)中的每一項采用時域有限差分法進行計算，從而將三維問題轉(zhuǎn)換成二維問題進行處理。與傳統(tǒng)的頻域方法相比BOR-FDTD具有的優(yōu)勢主要表現(xiàn)在以下幾個方面:(l)提高運算速度。將三維問題轉(zhuǎn)換成二維問題進行，大大減小了對計算機內(nèi)存的要求，使原本無法在PC機上計算的問題轉(zhuǎn)化為可在PC

22、機上計算的問題。若用于計算封閉的導體問題，由于導體內(nèi)部電磁場為零，可采用分區(qū)算法，進一步減小內(nèi)存和計算量。(2)通過一次時域計算，就可以獲得目標的寬頻帶信息。(3)可以方便的處理復雜邊界和電磁介質(zhì)。由于在達到同樣的計算精度的情況下，該方法的計算量較少，因此同樣的計算量，可以處理更復雜、更精細的問題。而且該方法，可以處理大尺寸問題和薄介質(zhì)涂層問題;如果將時域有限差分法中減少計算成本，提高計算效率的諸多方法應用其中，則可進一步提高計算效率，便于處理更加復雜的實際問題。如:T.G.Jurgens把BOR-FDTD方法應用到粒子加速器的設計中;D.W.Prather等人對平面波以對稱軸方向入射情況下，

23、采用二維PML吸收邊界條件，應用BOR-FDTD分析光學器件的衍射問題BOR-FDTD在輻射天線、微帶天線和導波、諧振腔、電纜、電線的分析計算中均得到應用9。3 FDTD法和其他算法的混合運用為了提高FDTD解決復雜問題的能力，充分利用其他數(shù)值算法的長處，發(fā)展了多種混合算法。解決電磁場問題有許多種方法，如:經(jīng)典的解析法、有限元法、FDTD法、矩量法等。每一種算法均有自己的優(yōu)點，因此，我們可以充分利用其他算法的優(yōu)點，克服本身算法的不足。如:將頻域的矩量法和FDTD法結(jié)合構(gòu)成的一種算法，這種算法的優(yōu)點是:計算內(nèi)部場時不需引入Green函數(shù)，并且該方法可以處理結(jié)構(gòu)尺寸比波長大而耦合口徑可與波長比擬的

24、問題.近幾年發(fā)展迅速的半解析數(shù)值方法也是一個典型10，它研究解析與數(shù)值結(jié)合方法的數(shù)學基礎和基本原理，研究所應用的解析解與解析函數(shù)如何與離散化過程相結(jié)合，建立適合上機計算的運算格式，它可達到分析簡便、節(jié)約資源、計算迅速、結(jié)果準確的效果。4 FDTD法的進一步發(fā)展總之，時域有限差分法經(jīng)過了四十年的發(fā)展，現(xiàn)在己日趨成熟并被廣泛應用。目前FDTD法的主要發(fā)展方向是提高計算精度，增加模擬復雜結(jié)構(gòu)的能力，減少計算機內(nèi)存和計算時間，并不斷擴大其應用范圍。參考文獻1 J.P Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromag

25、netic wave J.Comput.Phys.1994,114:185-2002 邵振海，洪偉.幾種新的吸收邊界條件在電磁散射中的應用J.電波科學學報.1994.14(3):287-2943李蓉，張林昌.FDTD法建模中激勵源的選擇與設置J.鐵道學報。2001.23(4):44-474Aramais R. Zakharian,Jerome V. Moloney,Colm Dineen. Application so the finite-difference time-domain(FDTD)method with local grid refinement to nanostructure design. Integrated Optics:Materials,and Technologies IX,2005,3785肖飛，唐小宏，馬海虹. 三維最優(yōu)時域有限差分方法J.微波學報,2006,56Gang Liu and Stephen D. Gedney. Perf