33時間序列分析

1、3.3 時間時間序列分析序列分析教學要求教學要求時間序列分析的基本原理時間序列分析的基本原理 趨勢擬合方法趨勢擬合方法 平滑法平滑法 趨勢線法趨勢線法 自回歸模型自回歸模型季節(jié)變動預測季節(jié)變動預測 移動平均法移動平均法滑動平均法滑動平均法一、時間序列分析的基本原理（一）時間（一）時間序序列的概念列的概念時間時間序序列列時間時間序序列的圖示方法列的圖示方法編制時間編制時間序序列的意義列的意義重要概念重要概念 時間序列，是要素（變量）的數(shù)據(jù)按照時間順序變動排列而形成的一種數(shù)列，它反映了要素（變量）隨時間變化的發(fā)展過程。 時間序列（Time series）:在連續(xù)時點或連續(xù)時期上測量的觀測值的集合。

2、(補充) 地理過程的時間序列分析，就是通過分析地理要素（變量）隨時間變化的歷史過程，揭示其發(fā)展變化規(guī)律，并對其未來狀態(tài)進行預測。 年份年份國內(nèi)生產(chǎn)總值國內(nèi)生產(chǎn)總值（億元）（億元）年份年份國內(nèi)生產(chǎn)總值國內(nèi)生產(chǎn)總值（億元）（億元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458

3、478.167884.674462.679395.7時間數(shù)列的要時間數(shù)列的要素之一：時間素之一：時間t時間數(shù)列的要時間數(shù)列的要素之二：變量素之二：變量a時間序列時間序列的要素的要素ta時間數(shù)列的圖示方法時間數(shù)列的圖示方法編制時間數(shù)列的意義編制時間數(shù)列的意義經(jīng)濟周期經(jīng)濟周期:循環(huán)性變動循環(huán)性變動繁榮繁榮拐點拐點繁榮繁榮拐點拐點衰退衰退拐點拐點蕭條蕭條拐點拐點復蘇復蘇拐點拐點（二）時間序列的組合成份（二）時間序列的組合成份 長期趨勢（長期趨勢（T T） 是指時間序列隨時間的變化而逐漸增加或減少的長期變化的趨勢。季節(jié)變動（季節(jié)變動（S S） 是指時間序列在一年中或固定時間內(nèi)，呈現(xiàn)出的固定規(guī)則的變動。

4、 循環(huán)變動循環(huán)變動（C C） 是指沿著趨勢線如鐘擺般地循環(huán)變動，又稱景氣循環(huán)變動(business cycle movement) 。不規(guī)則變動（不規(guī)則變動（I I） 是指在時間序列中由于隨機因素影響所引起的變動。 循環(huán)變動循環(huán)變動C（Cyclical）不規(guī)則變動不規(guī)則變動I（Irregular）季節(jié)變動季節(jié)變動S（Seasonal）長期趨勢長期趨勢T（Trend）（三）時間序列的組合模型（三）時間序列的組合模型 加法模型 假定時間序列是基于假定時間序列是基于4 4種成份相加而成的。種成份相加而成的。長期趨勢并長期趨勢并不影響季節(jié)變動。若以不影響季節(jié)變動。若以Y Y表示時間序列，則加法模型為表

5、示時間序列，則加法模型為Y=T+S+C+IY=T+S+C+I乘法模型 假定時間序列是基于4種成份相乘而成的。假定季節(jié)變動與循環(huán)變動為長期趨勢的函數(shù)。該模型的方程式為ICTYISTYICSTY （3.3.1） （3.3.2） 二、趨勢擬合方法(長期趨勢分析)(一一)平滑法平滑法(二二)趨勢線擬合法趨勢線擬合法(三三)自回歸模型自回歸模型（一）平滑法（一）平滑法 時間序列分析的平滑法主要有三類時間序列分析的平滑法主要有三類 ：移動平均法移動平均法 設某一時間序列為設某一時間序列為 y y1 1，y y2 2，y yt t，則，則t t+1+1時刻的預測值為時刻的預測值為 式中式中: : 為為t t

6、點的移動平均值點的移動平均值; ; n n稱為移動時距。稱為移動時距。 )y(ynynyyyynyntttntttnjjtt1111101ty （3.3.3） 滑動平均法滑動平均法 其計算公式為其計算公式為 式中式中: : 為為t點的滑動平均值點的滑動平均值; ;l為單側(cè)平滑時距。為單側(cè)平滑時距。 若若l=1，則則（3.3.43.3.4）式稱為三點滑動平均，其計算公式式稱為三點滑動平均，其計算公式為為 若若l=2，則則（3.3.43.3.4）式稱為五點滑動平均，式稱為五點滑動平均， 其計算公其計算公式為式為)(12111) 1(lttttltlttyyyyyylyty 3/)(11ttttyy

7、yy5/ )(2112ttttttyyyyyy （3.3.4） （3.3.5） （3.3.6） 通過平均每一個連續(xù)數(shù)列值來修勻時間通過平均每一個連續(xù)數(shù)列值來修勻時間數(shù)列的方法。數(shù)列的方法。移動移動/滑動平均法的概念滑動平均法的概念三項滑動平均線三項滑動平均線移動平均法的計算移動平均法的計算奇數(shù)奇數(shù)項移項移動動偶數(shù)偶數(shù)項移項移動動1t2t3t4t5t6t7t原數(shù)列原數(shù)列移動平均移動平均新數(shù)列新數(shù)列原數(shù)列原數(shù)列移動平均移動平均新數(shù)列新數(shù)列滑動平均法的計算滑動平均法的計算奇數(shù)奇數(shù)項移項移動動偶數(shù)偶數(shù)項移項移動動1t2t3t4t5t6t7t原數(shù)列原數(shù)列滑動平均滑動平均新數(shù)列新數(shù)列原數(shù)列原數(shù)列滑動平均滑

8、動平均移正平均移正平均新數(shù)列新數(shù)列原數(shù)列原數(shù)列三項滑動平均三項滑動平均五項滑動平均五項滑動平均四項滑動平均四項滑動平均例題1表表3.3.1給出了中國給出了中國19901999年的年的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值，試用移動平均法和滑農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值，試用移動平均法和滑動平均法分析其變化趨勢。動平均法分析其變化趨勢。移動平均法移動平均法 滑動平均法滑動平均法 三點移三點移動動 五點移五點移動動三點滑三點滑動動五點滑五點滑動動 - - - -8301.26 -9412.4710329.96 8301.26 -11943.5712865.729412.47 -15695.6315705.0611943.5710329.961

9、9481.7018645.815695.6312865.7222161.0021355.0819481.7015705.0623561.3323108.822161.0018645.824283.13 -23561.3321355.08 - -23108.8 - - -序號序號年份年份農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值119907662.1219918157.0319929084.74199310995.55199415750.56199520340.97199622353.78199723788.49199824541.910199924519.111200024283.1使用移動使用移動/滑動平均法應注

10、意的問題：滑動平均法應注意的問題：可以平滑修勻數(shù)列；可以平滑修勻數(shù)列；對于季節(jié)性數(shù)列，要采用對于季節(jié)性數(shù)列，要采用 4 項或項或 12 項移動項移動/滑滑動平均，方可平滑掉其季節(jié)波動；動平均，方可平滑掉其季節(jié)波動；一般的移動平均方法使原數(shù)列首尾各去除了一般的移動平均方法使原數(shù)列首尾各去除了若干項，因此不能用于外推預測；若干項，因此不能用于外推預測；當數(shù)列沒有明顯的長期趨勢、季節(jié)變動和循當數(shù)列沒有明顯的長期趨勢、季節(jié)變動和循環(huán)變動時，可以用此法進行預測。環(huán)變動時，可以用此法進行預測。指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法 一次指數(shù)平滑一次指數(shù)平滑 為平滑系數(shù)。為平滑系數(shù)。 一般時間序列較平穩(wěn)，一般時間序列較平穩(wěn)，

11、取取值可小一些，一般取值可小一些，一般?。?.05,0.3）；）；若時間若時間序列數(shù)據(jù)起伏波動比較大，則序列數(shù)據(jù)起伏波動比較大，則應取較大的值，應取較大的值，一般取一般?。?.7,0.95）。）。 ttnjjtjtyyyy)1()1(101 （3.3.7） 高次指數(shù)平滑法高次指數(shù)平滑法 一次指數(shù)平滑法不能跨期預測，對其進行改進，可以得到一次指數(shù)平滑法不能跨期預測，對其進行改進，可以得到能夠跨期預測的高次指數(shù)平滑法。令能夠跨期預測的高次指數(shù)平滑法。令 為一次指數(shù)平滑為一次指數(shù)平滑值，即值，即 Tbayttkt（3.3.4）（3.3.8）（3.3.9）)1(tS二次指數(shù)平滑法的預測公式為二次指數(shù)平

12、滑法的預測公式為 )1(1)1()1 (tttSyS對上式再作指數(shù)平滑，可得二次指數(shù)平滑值，即對上式再作指數(shù)平滑，可得二次指數(shù)平滑值，即)2(tS)2(1)1(1)2()1 (ttSSS（3.3.5）（3.3.6）在（在（3.3.63.3.6）式中，）式中，T T代表從基期代表從基期t t到預測期的期數(shù)，到預測期的期數(shù)， )2()1(2tttSSa)2()1(1tttSSb（3.3.7）對二次指數(shù)平滑再作一次指數(shù)平滑，可得三次指數(shù)平滑對二次指數(shù)平滑再作一次指數(shù)平滑，可得三次指數(shù)平滑公式公式 三次指數(shù)平滑法的預測公式三次指數(shù)平滑法的預測公式 為為 式中，式中， 2TcTbaytttkt)3(1)

13、2(1)3()1 (ttSSS)3()2()1(33ttttSSSa)3()2()1(2)34()45(2)56()1 (2ttttSSSb)3()2()1(222)1 (2ttttSSSc（3.3.9）（3.3.10）（3.3.11）（3.3.12）例2：某城市近某城市近6年（年（19941999年）用水量（年）用水量（106t）數(shù)據(jù)如表）數(shù)據(jù)如表3.3.2所示。試用指數(shù)平滑法預測該城市所示。試用指數(shù)平滑法預測該城市2000年的用水量。年的用水量。年份年份1994 1995 1996 1997 1998 1999用水量用水量211.30 260.18 209.10 248.79 241.00

14、 250.00解：取=0.5，將表3.3.2中的數(shù)據(jù)代入公式（3.3.7）計算： =240.85（106t） 預測結果表明，到2000年該城市的用水數(shù)量將達到240.85（106t）。234(2000)(1999)(1998)(1997)(1996)(1995)(1)(1)(1)(1)yyyyyy 趨勢線擬合法：用某種趨勢線趨勢線擬合法：用某種趨勢線（直線或曲線）來對原數(shù)列的長期（直線或曲線）來對原數(shù)列的長期趨勢進行擬合。其主要作用是進行趨勢進行擬合。其主要作用是進行外推預測。外推預測。直線趨勢方程：直線趨勢方程：btay曲線趨勢方程：曲線趨勢方程：taby 2ctbtay（二）趨勢線法（二）

15、趨勢線法趨勢線擬合法的基本程序趨勢線擬合法的基本程序判斷趨勢類型判斷趨勢類型計算待定參數(shù)計算待定參數(shù)利用方程預測利用方程預測判斷判斷趨勢趨勢類型類型繪制散繪制散點圖點圖分析數(shù)分析數(shù)據(jù)特征據(jù)特征當數(shù)據(jù)的一階差分趨當數(shù)據(jù)的一階差分趨近于一常數(shù)時，可以近于一常數(shù)時，可以配合直線方程。配合直線方程。當數(shù)據(jù)的二階差分趨當數(shù)據(jù)的二階差分趨近于一常數(shù)時，可以近于一常數(shù)時，可以配合二次曲線方程。配合二次曲線方程。btaytyi一階差分一階差分yi - yi-11234 na + ba + 2ba + 3ba + 4b a + nbbbb b2ctbtaytyi一階差分一階差分 二階差分二階差分1234 na

16、+ b + ca + 2b + 4ca + 3b + 9ca + 4b + 16c a + nb + n2cb+3cb+5cb+7c b+(2n-1)c2c2c 2ctaby tyiyi / yi-11234 nabab2ab3ab4 abnbbb b2tbtatytbnaybtyattnyttynb22)(用最小二乘法求用最小二乘法求 a、b 的公式：的公式：直線趨勢方程參數(shù)的計算直線趨勢方程參數(shù)的計算btay自相關性判斷自相關性判斷 時間序列的自相關，是指序列前后期數(shù)值之間的相關關系，對這種相關關系程度的測定便是自相關系數(shù)。 測度:設y1，y2，yt，yn，共有n個觀察值。把前后相鄰兩期的

17、觀察值一一成對，便有（n1）對數(shù)據(jù)，即(y1，y2)，(y2，y3)，(yt，yt+1)，(yn-1，yn)。（三）自回歸模型（三）自回歸模型其一階自相關系數(shù)其一階自相關系數(shù)r r1 1為1111211211111)()()(ntntttttntttttyyyyyyyyr二階自相關系數(shù)二階自相關系數(shù)r2為為2121222221222)()()(ntntttttntttttyyyyyyyyrk階自相關系數(shù)為階自相關系數(shù)為 kntkntktktttkntktktttkyyyyyyyyr11221)()()(自回歸模型的建立自回歸模型的建立 常見的線性自回歸模型：常見的線性自回歸模型： 一階線性自回

18、歸預測模型為一階線性自回歸預測模型為 二階線性自回歸預測模型為二階線性自回歸預測模型為 一般地，一般地，p p階線性自回歸模型為階線性自回歸模型為 在以上各式中，在以上各式中， 為待估計的為待估計的參數(shù)值，它們可以通過最小二乘法估計獲得。參數(shù)值，它們可以通過最小二乘法估計獲得。tttyy110ttttyyy22110tptpttyyy110), 2 , 1 , 0(pii例3：某地區(qū)某地區(qū)19881999年年12年自然災害造成的成災面積年自然災害造成的成災面積（102hm2）的時間序列數(shù)據(jù)見表的時間序列數(shù)據(jù)見表3.3.9。試計算該時間。試計算該時間序列的自相關系數(shù)序列的自相關系數(shù)r1和和r2，

19、并用自回歸模型預測并用自回歸模型預測2000年年的成災面積。的成災面積。yt+15253535556585960616162-年年份份198819891990199119921993199419951996199719981999序序號號123456789101112成成災災面面積積505253535656585960616162yt+253535556585960616162 - -9761.0)()()(1111112112111111tttttttttttyyyyyyyyr9062.0)()()(1011012222101222tttttttttttyyyyyyyyr解：將表3.3.9中

20、的數(shù)據(jù)代入公式（3.3.16）和（3.3.17）計算： 說明：說明： 自由度自由度f=11-2=9，在置信度水平在置信度水平=0.001下查相關系數(shù)的臨界下查相關系數(shù)的臨界值檢驗表得值檢驗表得r0.001=0.8471，顯然顯然r1 r0.001。這表明一階自相關這表明一階自相關系數(shù)系數(shù)r1具有高度的顯著性。進一步檢驗發(fā)現(xiàn)，二階自相關系具有高度的顯著性。進一步檢驗發(fā)現(xiàn)，二階自相關系數(shù)數(shù)r2也是高度顯著的。也是高度顯著的。所以，對于該序列可以建立線性自回所以，對于該序列可以建立線性自回歸模型。由于歸模型。由于r1r2，故可以建立一階線性自回歸預測模型。故可以建立一階線性自回歸預測模型。用最小二乘

21、法估計模型參數(shù)，得到如下回歸模型：用最小二乘法估計模型參數(shù)，得到如下回歸模型： 運用該模型進行預測計算：運用該模型進行預測計算：1047455. 18088. 3ttyy13.6162047455. 18088. 3047455. 18088. 319992000yy三、季節(jié)變動預測三、季節(jié)變動預測季節(jié)變動的概念季節(jié)變動的概念季節(jié)變動預測具體步驟季節(jié)變動預測具體步驟 季節(jié)變動（季節(jié)變動（ Seasonal）：）：一年之內(nèi)一年之內(nèi)因純季節(jié)原因造成的數(shù)列的波動，以及因純季節(jié)原因造成的數(shù)列的波動，以及與季節(jié)無關的類似的變動。與季節(jié)無關的類似的變動。飲料的生產(chǎn)量及銷售量在一年內(nèi)的變化飲料的生產(chǎn)量及銷售

22、量在一年內(nèi)的變化蔬菜價格在一年內(nèi)的波動蔬菜價格在一年內(nèi)的波動鮮花銷售每年的幾個旺季鮮花銷售每年的幾個旺季每年旅客運輸?shù)母叻迤诿磕曷每瓦\輸?shù)母叻迤诩竟?jié)變動的概念季節(jié)變動的概念測量季節(jié)變動的意義測量季節(jié)變動的意義btayttyyyy趨勢剔除法的基本過程趨勢剔除法的基本過程趨勢剔除法的假設模型趨勢剔除法的假設模型ICSTy第一步，使用移動第一步，使用移動(滑動滑動)平均法產(chǎn)生新數(shù)列。平均法產(chǎn)生新數(shù)列。CTISICST第二步，用原數(shù)列各值與新數(shù)列各值相除，得到第二步，用原數(shù)列各值與新數(shù)列各值相除，得到相對數(shù)數(shù)列。相對數(shù)數(shù)列。ISCTCIST第三步，計算相對數(shù)數(shù)第三步，計算相對數(shù)數(shù)列的平均水平。列的平均

23、水平。SIIS季節(jié)性預測法的具體步驟步驟（1）對原時間序列求移動/滑動平均，以消除季節(jié)變動和不規(guī)則變動，保留長期趨勢；趨勢剔除法的假設模型趨勢剔除法的假設模型ICSTyCTISICST2）將原序列將原序列y y除以其對應的趨勢方程值除以其對應的趨勢方程值（或平滑值），（或平滑值），得到相對數(shù)數(shù)列得到相對數(shù)數(shù)列, ,從而從而分離出季節(jié)變動（含不規(guī)則變動），即分離出季節(jié)變動（含不規(guī)則變動），即 季節(jié)系數(shù)= TSCI/趨勢方程值（TC或平滑值）=SI （3 3）計算相對數(shù)數(shù)列的平均水平計算相對數(shù)數(shù)列的平均水平.將月度（或季度）的季節(jié)指將月度（或季度）的季節(jié)指標加總，以由計算誤差導致的值去除理論加總值

24、，得到一個標加總，以由計算誤差導致的值去除理論加總值，得到一個校正系數(shù)，并以該校正系數(shù)乘以季節(jié)性指標從而獲得調(diào)整后校正系數(shù)，并以該校正系數(shù)乘以季節(jié)性指標從而獲得調(diào)整后季節(jié)性指標。季節(jié)性指標。 （4 4）求預測模型）求預測模型，若求下一年度的預測值，延長趨勢線即，若求下一年度的預測值，延長趨勢線即可；若求各月（季）的預測值，需以趨勢值乘以各月份（季可；若求各月（季）的預測值，需以趨勢值乘以各月份（季度）的季節(jié)性指標。度）的季節(jié)性指標。 求季節(jié)變動預測的數(shù)學模型（以直線為例）為求季節(jié)變動預測的數(shù)學模型（以直線為例）為 式中：式中： 是是t+k時的時的預測值預測值; ; at、bt為方程系數(shù)為方程系

25、數(shù); ; 為季節(jié)性指標。為季節(jié)性指標。kttktkbay)(ktykSIIS 例題：如表3.3.3所示，下面我們用上述步驟，預測該旅游景點2005年各季度的客流量。 表3.3.3 某旅游景點20022004年各季度客流量 解題步驟：解題步驟： （1 1）求）求時間時間序序列的三次滑動列的三次滑動平均值，見表平均值，見表（2 2） 求季節(jié)性指標：將求季節(jié)性指標：將表表3.3.3中第中第4 4列數(shù)據(jù)列數(shù)據(jù)分別除以第分別除以第5 5列各對列各對應元素，得相應的應元素，得相應的季節(jié)系數(shù)。然后再季節(jié)系數(shù)。然后再把各季度的季節(jié)系把各季度的季節(jié)系數(shù)平均得到季節(jié)性數(shù)平均得到季節(jié)性指標，見表指標，見表. 游客人

26、游客人數(shù)數(shù)y yi i/10/104 4三點滑動平均三點滑動平均季節(jié)性系數(shù)季節(jié)性系數(shù)260375325375/325=1.1538340312.671.08740845223279.330.798338882275303.330.906603369412346.331.189616839352331.671.0612958662312900.796551724287315.330.910157613428359.671.1899797043643451.055072464243 季節(jié)性指標之和理論上應等于4?，F(xiàn)等于 3.951 5，需要進行校正。校正方法是： 先求校正系數(shù)：=4/3.951 5=1.012 3。 然后將表中的第4行，分別乘以，即得校正后的季節(jié)性指標（見表3.3.4第5行）。表3.3.4 季節(jié)性指標及其校正值 高次指數(shù)平滑法高次指數(shù)平滑法 一次指數(shù)平滑法不能跨期預測，對其進行改進，可以得到一次指