復(fù)變函數(shù)華中科技大學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)華中科技大學(xué)復(fù)變函數(shù)華中科技大學(xué) 復(fù)變函數(shù)的 理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問(wèn)題的有力工具。 復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展 。第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1復(fù)數(shù)及其表示法 一對(duì)有序?qū)崝?shù)（ ）構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，記為 .iyxzyx, 自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù), 它是本課程的研究對(duì)象.由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算,本章將在原有的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充; 然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念, 為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ).x

2、, y 分別稱為 Z 的實(shí)部和虛部, 記作x=Re(Z), y=Im(Z), .1i zxiy稱為 Z 的共軛復(fù)數(shù)。第1頁(yè)/共44頁(yè)與實(shí)數(shù)不同, 一般說(shuō)來(lái), 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等他們的實(shí)部和虛部都相等特別地，00yxiyxz1.代數(shù)形式 :iyxz復(fù)數(shù)的表示法1)點(diǎn)表示iyxz復(fù)數(shù)( , )XOYz x y平面上的點(diǎn)yz(x,y)xx0yr復(fù)平面實(shí)軸虛軸第2頁(yè)/共44頁(yè)2) 向量表示-復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的輻角的輻角(argument) 記作Arg z= .任何一個(gè)復(fù)數(shù)z0有無(wú)窮多個(gè)幅角,將滿足 p p 0 p p 的的 0 稱為稱為Arg z的主值的主值, 記作0=arg z .則A

3、rg z=0+2kp =arg z +2kp (k為任意整數(shù))復(fù)數(shù)z=x+iy矢徑z0 xyxyz=x+iy|z|=rz22zzrxy-復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的模的模zx與 軸正向的夾角|,|,| |,|22zzz zyxzzyzx第3頁(yè)/共44頁(yè)在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanargpp當(dāng) z = 0 時(shí), | z | = 0, 而幅角不確定. arg z可由下列關(guān)系確定:arctan22yxpp其中說(shuō)明：當(dāng) z 在第二象限時(shí)，arg022zpppptan()tan()tanyxpparctanyxp arctan.yxp第4頁(yè)/共44頁(yè)2

4、.指數(shù)形式與三角形式),(zArgzr)sin(cosirzirez 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系: x = r cos, y = r sin, 可以將z表示成三角表示式:利用歐拉公式 e i = cos + i sin 得指數(shù)表示式:例1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.1)122 ;2)sincos.55zizipp 解1)|1244.rzz在第三象限, 因此235arctanarctan.3612ppp 因此56554 cos()sin()466izieppp第5頁(yè)/共44頁(yè)2) 顯然, r = | z | = 1, 又3sincoscos,525103cossinsin.52510

5、pppppppp因此31033cossin1010izieppp練習(xí)練習(xí)：寫出 的輻角和它的指數(shù)形式。132iz解：3 22argarctanarctan3,1 233zppppp 2arg22,3ArgzzkkkZppp1,rz23.izep第6頁(yè)/共44頁(yè)1.2復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算222111,iyxziyxz設(shè))0()()()(22222211222222121211221212121212121zyxyxyxiyxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzzz1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3

6、; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律,結(jié)合律和分配律:1 . 四則運(yùn)算第7頁(yè)/共44頁(yè)加減法與平行四邊形法則的幾何意義:乘、除法的幾何意義:111izr e222izr e12()121 2iz zrr e,121 2121212rgz zr rzzArgz zAzArgz,1z2z12zz12zz,定理定理1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積, 兩個(gè)復(fù) 數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.第8頁(yè)/共44頁(yè) 等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,的意思是等式的兩 邊都是無(wú)限集合, 兩邊的集合相等, 即每給定等式左邊 的一個(gè)數(shù), 就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對(duì)

7、應(yīng), 反之亦然.幾何上 z1z2 相當(dāng)于將 z2 的模擴(kuò)大 |z1| 倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Arg z1 .011z2z1 2z z1r2r1 2rr12112 xy1iz12z第9頁(yè)/共44頁(yè)例2：設(shè)121,.zzi 求：1 2;1 2.z zArgz z21 2;iz ziep 12,Argznpp22,2Argzmpp解：1 21222,Argz zArgzArgzkk m nZpp 若取1,k 則1,1,;nmnm 若取0,mn則1.k 第10頁(yè)/共44頁(yè)22112211122110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr22112211zzzzzArgArg

8、zArgzz;按照乘積的定義, 當(dāng)z10時(shí), 有定理定理2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商, 兩個(gè)復(fù)數(shù) 的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.第11頁(yè)/共44頁(yè)2 . 乘方與開(kāi)方運(yùn)算1）乘方cossinnninnzr erninDe Moivre 公式：cossincossinninin第12頁(yè)/共44頁(yè)2 ）開(kāi)方: 若滿足，則稱w為z的n次方根，nwz記為 .nwzziArgwinArgnezew2(0,1,2,1)nwzargzkArgwnknp于是推得第13頁(yè)/共44頁(yè)2122cossin(0,1,1)arg zkinnnnzzeargzkargzkrinnknppp從而幾何解釋：z1

9、/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心, r1/n為半徑的圓 的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。例2 求41. i解 因?yàn)?2 cossin,44iipp 所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiikpppp 第14頁(yè)/共44頁(yè)即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwipppppppp四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).2821+iw0w1w2w3Oxy第15頁(yè)/共44頁(yè)1.31.3復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(

10、或不等式)來(lái)表 示; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定 它所表示的平面圖形.例3 將通過(guò)兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方 程來(lái)表示.解 通過(guò)點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此, 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2z1). (t+)第16頁(yè)/共44頁(yè) 由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成z=z1+t(z2z1). (0t1)取12t 得知線段1 2z z的中點(diǎn)為122zzz 例4 求下列方程所表示的曲線:1)| 2;2)|2 | |2|;3)Im()4.

11、ziziziz第17頁(yè)/共44頁(yè)解：1)| 2zi設(shè)設(shè) z = x + i y , 方程變?yōu)?222|(1) | 2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy2)|2 | |2|ziz 幾何上, 該方程表示到點(diǎn)2i和2的距離相等的點(diǎn)的軌跡, 所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和2的線段的垂直平分線, 方程為 y x , 也可用代數(shù)的方法求出。第18頁(yè)/共44頁(yè)Oxy22iyx3)Im()4.iz設(shè)設(shè) z = x + i y , 那末(1)Im()1izxy iizy 可得所求曲線的方程為 y 3 .Oyxy3第19頁(yè)/共44頁(yè)1.4 復(fù)數(shù)域的幾何模型-復(fù)球面 0N第20頁(yè)/共44頁(yè)x1x2x3oz

12、(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點(diǎn), 則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 記作.這樣的球面稱作復(fù)球面.第21頁(yè)/共44頁(yè)擴(kuò)充復(fù)數(shù)域-引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù): 擴(kuò)充復(fù)平面-引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”: 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) .約定: ),0(0aa),(0aa)(aa)0( aaa)(aaa第22頁(yè)/共44頁(yè) 1.4 區(qū)域1. 區(qū)域的概念 平面上以 z0為中心, d (任意的正數(shù))為半徑的圓: |zz0|d 內(nèi)部的點(diǎn)的

13、集合稱為z0的鄰域鄰域, 而稱由不等式 0|zz0|M 的所有點(diǎn)的集合, 其中實(shí)數(shù) M0 , 稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域域. 即它是圓 |z|=M 的外部且包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身. 不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿足 |z|M 的所有點(diǎn)稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域, 也記作 M|z|M第23頁(yè)/共44頁(yè) 設(shè)G為一平面點(diǎn)集, z0為G中任意一點(diǎn). 如果存在z0的一個(gè)鄰域, 該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G, 則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn). 如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), 則稱G為開(kāi)集開(kāi)集 平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域區(qū)域, 如果它滿足下列兩個(gè)條件:1) D是一個(gè)開(kāi)集;2) D是連通連通的。就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以

14、用完全屬于D 的一條折線連接起來(lái). 設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, 如果點(diǎn)P不屬于D, 但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn), 這樣的點(diǎn)P稱為D的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn). D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界. 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.第24頁(yè)/共44頁(yè) 區(qū)域 D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域, 記作D.如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面, 即存在正數(shù) M, 使區(qū)域 D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足 |z|M, 則稱 D為有界的, 否則稱為無(wú)界的.2. 單連通域與多連通域平面曲線 在數(shù)學(xué)上, 經(jīng)常用參數(shù)方程來(lái)表示各種平面曲線. 如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù), 則方程組x=x(

15、t), y=y(t), (atb)代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)則此曲線可用一個(gè)方程z=z(t)(atb)來(lái)代表. 這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.第25頁(yè)/共44頁(yè) 設(shè)C: z=z(t) (atb)為一條連續(xù)曲線, z(a)與z(b)分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn). 對(duì)于滿足 at1b, at2b 的 t1與 t2, 當(dāng) t1t2而有 z(t1)=z(t2) 時(shí), 點(diǎn) z(t1)稱為曲線 C的重點(diǎn). 沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線 C, 稱為簡(jiǎn)單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線. 如果簡(jiǎn)單曲線 C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合, 即 z(a)=z(b) , 則曲線 C 稱為簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉

16、曲線.z(a)=z(b)簡(jiǎn)單,閉z(a)z(b)簡(jiǎn)單,不閉z(a)=z(b)不簡(jiǎn)單,閉不簡(jiǎn)單,不閉z(a)z(b)第26頁(yè)/共44頁(yè) 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集, 其中除去 C 外, 一個(gè)是有界區(qū)域, 稱為 C 的內(nèi)部, 另一個(gè)是無(wú)界區(qū)域, 稱為 C 的外部, C 為它們的公共邊界. 簡(jiǎn)單閉曲線的這一性質(zhì), 其幾何直觀意義是很清楚的.內(nèi)部外部C第27頁(yè)/共44頁(yè)定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 B, 如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為單連通域單連通域, 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域多連通域.單連通域多連通域第28頁(yè)/共44

17、頁(yè)1.5 復(fù)變函數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的定義定義 設(shè) D 是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集, wzDf復(fù)數(shù) ,wf zf xiyu x yiv x y稱為復(fù)變函數(shù).其確定了自變量為x和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù) u ,v .例如, 考察函數(shù) w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 則u+iv = (x+iy)2 = x2y2+i2xy ,因而函數(shù) w = z2 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù):u = x2y2, v = 2xy第29頁(yè)/共44頁(yè) 在以后的討論中, D常常是一個(gè)平面區(qū)域, 稱之為定義域, 并且, 如無(wú)特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).2. 映射的概念 函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是

18、把 z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D(定義集合)變到 w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G (函數(shù)值集合)的映射(或變換). 如果 D 中的點(diǎn) z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的點(diǎn) w, 則 w 稱為 z 的象(映象), 而 z 稱為 w 的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW第30頁(yè)/共44頁(yè)設(shè)函數(shù)w = z =x iy ; u=x , v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw1w2第31頁(yè)/共44頁(yè)設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有 u = x2y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz 1231341wwiw Im0Re01zy

19、zxz22Im201wxywuv第32頁(yè)/共44頁(yè) 函數(shù) w=z2 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù): u=x2y2, v=2xy 把 z 平面上的兩族雙曲線 x2y2 = c1 , 2xy = c2 分別映 射成w平面上的兩族平行直線 u=c1 , v=c2 .10111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010第33頁(yè)/共44頁(yè) 如果函數(shù)(映射) w=f (z) 與它的反函數(shù)(逆映射) z =j (w)都是單值的, 則稱函數(shù)(映射) w =f (z)是一一的. 此時(shí), 我們也稱集合D與集合G是一一對(duì)應(yīng)的.舉例：曲線在映射下的像 例題1 ?8:122zwyxC11

20、zxiywuiv22vuivu2222,vuvyvuux81:22vu第34頁(yè)/共44頁(yè)?:2bzwRzC例題2Rbwzbw2:2例題3?)2(:2zwtizC22)43 ()2(titiwuv34:例題4 ?: izwxyC)(ixxiwixx uv:第35頁(yè)/共44頁(yè)1.6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限定義 設(shè)函數(shù) w = f (z)定義在 z0的去心鄰域 0|zz0|0, 相應(yīng)地必有一正數(shù)d (e) (0 d r), 使得當(dāng) 0 |zz0|d 時(shí)有| f (z)A |e ,則稱A為f (z)當(dāng) z趨向于z0時(shí)的極限, 記作Azfzz)(lim0或記作當(dāng) zz0 時(shí) , f (z)

21、A.第36頁(yè)/共44頁(yè)幾何意義幾何意義: : xyOz0dzOuvAef(z)0lim( )zzAf z意味著：0( )zzf z當(dāng) 從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近于 時(shí)，均以A為極限。第37頁(yè)/共44頁(yè)等價(jià)定義： 設(shè) f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 則0000000lim( ,)lim( ).lim( ,)xxyyzzxxyyu x yuf zAv x yv運(yùn)算性質(zhì)： )(lim)(lim)()(lim)1(000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzfzzzzzz0)(lim)(lim)