二、隨機(jī)變量及其分布(答案)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題系專業(yè)班姓名學(xué)號第二章隨機(jī)變量及其分布（一）一選擇題：1設(shè) X 是離散型隨機(jī)變量，以下可以作為X 的概率分布是BXx1x2x3x4（ A ）1111p24816Xx1x2x3x4（ C）1111p23412Xx1x2x3（ B）111p248Xx1x2x3（ D ）111p234x418x41122設(shè)隨機(jī)變量的分布列為X0123p0.10.30.4F ( x) 為其分布函數(shù)，則 F ( 2) = C 0.2（ A）0.2（ B） 0.4（ C） 0.8（ D）1二、填空題：X0121 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為a0.20.5p，則 a =0.32 某產(chǎn)品 15 件，其中

2、有次品2 件?，F(xiàn)從中任取3 件，則抽得次品數(shù)X 的概率分布為P( XC13366， P( x1)C21 C13236， P( xC22 C13130)105C1531052)105C153C1533設(shè)射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.7,連續(xù)射擊10 次，則擊中目標(biāo)次數(shù)X 的概率分布為P( Xk ) C10k (0.7)k (0.3)10k (k0,1, 2,L,10)三、計(jì)算題：1同時(shí)擲兩顆骰子，設(shè)隨機(jī)變量X 為“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和”求：（ 1）X 的概率分布；（2） P(X3) ；（3） P(X12)解：（1） P(X2)1P( X3)2，P( X3，P( X5)4，4)，36363636P( X

3、6)5P( X6，P( X5，P( X9)4，7)8)36363636P( X10)3P( X11)2，P( X12)1，363636所以X 的概率分布列：精選文庫X2345678910111212345654321P36363636363636363636363（2） P(X3)36（ 3） P(X>12)=02產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品四種，其中一、二、三等品及廢品率分別為60% ， 10%， 20%及10%，任取一個(gè)產(chǎn)品檢查其質(zhì)量，試用隨機(jī)變量X 描述檢查結(jié)果。解：設(shè) X=1 、 2、 3 及 4 分別表示一、二、三等品及廢品X1234P0.60.10.20.13已知隨機(jī)變量X 只

4、能取1，0， 1， 2 四個(gè)值，相應(yīng)概率依次為1 ,3,5, 7 ，試確定常數(shù)2c4c8c16cc，并計(jì)算 P( X1)解：由于( X1357k ) 1，即4c8c1372c16c所以 C16P( X1) P(X1)P( X0)84123737374一袋中裝有 5 只球編號1，2， 3，4，5。在袋中同時(shí)取3 只，以 X 表示取出的 3 只球中最大號碼，寫出隨機(jī)變量X 的分布律和分布函數(shù)。解： X 的可能取值為3、4、 5。隨機(jī)變量 X 的分布律為：P( X3)114)C3235)C426， P(XC53， P(XC5310C531010X 分布函數(shù)為-2精選文庫0x30.13x4F ( x)

5、4x50.41x555設(shè)隨機(jī)變量X B(2, P) , Y B(3, P) ，若 P X1，求 PY19解：由于所以P X 1 1 P( X 1) 1 P( X 0) 1 C20 p0 (1 p) 2 5 91p3PY 1 1 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 C30 101381911332727概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題系專業(yè)班姓名學(xué)號第二章隨機(jī)變量及其分布（二）一、選擇題：1設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為2x0x 1Af (x)，則下列等式成立的是0其他（A）P(X1)1（） P( X111111)（） P(X)（） P(X)2222222設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為ln xx1,b

6、Af (x)x，則常數(shù) b01,b（ A ） e（ B） e 1（ C） e 1（ D） e23設(shè) XN(,2)，要使 Y N(0,1) ，則CX（B）YX（C） YX（D） YX（A） Y-3精選文庫1xx22（，則下列等式不成立的是C4設(shè) X N (0,1) ，( x)2edtx0)（ A ） (x)1(x) （ B） (0)0.5（C） (x)( x)（D ）P(| x |a) 2(a)15 X 服從參數(shù)1的指數(shù)分布，則P(3X9)C 9（A） F (1)F (1)（ B ）1 ( 11)（ C）11（ D）xe 9 dx9393ee3ee3二、填空題：1設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為

7、f (x)Ax20x1，則常數(shù) A =30其他2設(shè)隨機(jī)變量 X N (2,2)，已知 P(2 X4)0.4 ，則 P(X0)0.1三、計(jì)算題：1設(shè) X U (1,4), 求 P( X5) 和 P(0X2.5)解： P(X5)= 1P(0X2.51dxx2. 50.52.5) =4|1131x0x13)72設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為f (x)axb1x2 ，且 P(0X0其他28求：（ 1）常數(shù) a , b（2） P(1X3)（3） X 的分布函數(shù) F ( x)2213a解：（ 1） 由歸一性f ( x)dx1xdx2b) dxb10(ax22131315ab7又P(0)xdx2 (axb)X

8、0212828解得a1, b2-4精選文庫x0x1由此 得f (x)x21x20 其他13133X2 (x2)0.75（2） P()1 xdx22214（ 3） X 的分布函數(shù)0x0x0x1tdtF ( x)01x2)dt1x2tdt( t011x20x00.5x20x10.5x22x11x21x23設(shè)某種電子元件的使用壽命X （單位： h）服從參數(shù)1的指數(shù)分布，現(xiàn)某種儀器使用三600個(gè)該電子元件，且它們工作時(shí)相互獨(dú)立，求：（ 1）一個(gè)元件時(shí)間在200h 以上的概率；（ 2）三個(gè)元件中至少有兩個(gè)使用時(shí)間在200h 以上的概率。11x1解：（ 1） P( X200)dx e 3e 600200

9、600（2）設(shè) Y 表示“三個(gè)元件中使用時(shí)間在200h 以上元件的個(gè)數(shù)”P(Y 2) P(Y2) P(Y 3)1112C32 ( e 3 )2 (1 e 3 ) (e 3 )33e 32e 1-5精選文庫概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題系專業(yè)班姓名學(xué)號第二章隨機(jī)變量及其分布（三）1已知 X 的概率分辨為X210123，試求：pi2a0.13aaa2a（ 1）常數(shù) a；（2） YX 21 的概率分布。解：由于 2a0.1 3aaa 2a 1 ，所以 a0.1則 X 的概率分布列為：X210123pi0.20.10.30.10.10.2（2） YX 21的概率分布為：即X210123YX 211038Pi0

10、.20.10.30.10.10.2Pi0.30.20.30.2Y X 213010382設(shè)隨機(jī)變量 X 在（ 0， 1）服從均勻分布，求：（1） YeX 的概率密度；（2） Y2ln X 的概率密度。解：（1）當(dāng) y <1 時(shí)， FY ( y)0 ，當(dāng) y e 時(shí)， FY ( y)1當(dāng) 1 ye 時(shí)， FY ( y) P(Y y) P(eXy) P( X ln y)0y1即FY ( y)ln y1 y e1ye-61所以fY ( y )y精選文庫1ye0 其他（ 2）當(dāng) y 0 時(shí)， FY ( y)0 ， f ( y) 0當(dāng) y > 0時(shí)，yF ( y)P(Y y)P(2ln X

11、y) P( X e 2 )Yyy1 P(Xe 2)1 e 2dF ( y)f ( y)dy0即f ( y)1e2y1 e 22y0y2y03設(shè) X N (0,1) ，求：（ 1） Y 2X 2 1的概率密度；（ 2） Y | X | 的概率密度。解：（ 1） FY ( y) P(Yy)P(2X 21y)P( X 2 y 1)2P(y1Xy1)222 (y 1) 1（ y > 1 ）2dFY ( y)2y111f ( y)222y1dy-7精選文庫y 1211 e21y 11)2e 22( y22 ( y1)0y1即 f ( y)1y1e 2y12( y1)（ 2） F ( y)P(Yy)P( Xy)P( y Xy) 2 ( y ) 1（ y > 0）dF1y22y2f ( y)2（ y > 0 ）dye2e220y0即f ( y)y22 e 2y02x0xsin X 的概率密度。4設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f (x)2，求 Y0其他解： FY ( y)P(Y y) P(