一次函數(shù)與三角形面積

1、.一次函數(shù)相關(guān)的面積問題思路：畫出草圖，把要求的圖形構(gòu)建出來，根據(jù)面積公式，把直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)計(jì)算出來，把坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成線段，代入面積公式求解。規(guī)則圖形（公式法）不規(guī)則圖形（切割法）不含參數(shù)問題含參數(shù)問題（用參數(shù)表示點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化成線段）注意：坐標(biāo)的正負(fù)、線段的非負(fù)性。求面積時，盡量使底或高中的一者確定下來（通過對圖像的觀察，確定底和高），然后根據(jù)面積公式，建立等式。1、求直線 y = -2x +4 ，y = 2x -4 及 y 軸圍成的三角形的面積。2、已知正比例函數(shù)y = 2x 與一次函數(shù) y = x +2 相交于點(diǎn) P，則在 x 上是否存在一點(diǎn)A ，使 SPOA=4?若存在，求出點(diǎn)有坐標(biāo)；若

2、不存在，請說明理由。3、如下圖，一次函數(shù)的圖像交正比例函數(shù)的圖像于M 點(diǎn)，交 x 軸于點(diǎn) N（ -6，0），已知點(diǎn) M在第二象限，其橫坐標(biāo)為-4，若 SNOM=15，求正比例函數(shù)的解析式。yMNOx4、如圖，直線 l1 的解析表達(dá)式為y=-3x+3，且 l1 與 x 軸交于點(diǎn) D ，直線 l 2 經(jīng)過點(diǎn) A，B ，直線 l1 ，l 2 交于點(diǎn) C l1yl 2（1）求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（2）求直線 l 2的解析表達(dá)式；OD 3x3（4，0）（3）求 ADC 的面積；A2BC（4）在直線 l 2 上存在異于點(diǎn) C 的另一點(diǎn) P ，使得圖 11;. ADP 與 ADC 的面積相等，請直接 寫出點(diǎn) P

3、 的坐標(biāo)15、如圖，直線 L 的解析表達(dá)式為y = -x +2，且與 x 軸、 y 軸交于點(diǎn) A、 B，在 y 軸上有一點(diǎn) C（0，4），動點(diǎn) M 從 A 點(diǎn)以每秒 1 個單位的速度沿 x 軸向左移動。（1）求 A 、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2） COM的面積 S 與 M的移動時間 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)何值時 COM AOB，并求出此時 M點(diǎn)的坐標(biāo)。yCBOAxM一次函數(shù)（動態(tài)問題）舉一反三： 如圖（十二），直線 l 的解析式為 y=-x+4，它與 x 軸、 y 軸分別相交于A、 B 兩點(diǎn)平行于直線 l 的直線 m 從原點(diǎn) O 出發(fā)，沿 x 軸的正方形以每秒1 個單位長度的速度運(yùn)動，它與x

4、 軸、 y 軸分別相交于 M 、N 兩點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t 秒（ 0<t 4）（ 1）求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）用含 t 的代數(shù)式表示 MON 的面積 S1 ；（ 3）以 MN 為對角線作矩形OMPN ，記 MPN 和 OAB 重合部分的面積為S2 ，當(dāng) 2<t 4 時，試探究 S2 與 t 之間lyly的 函 數(shù)關(guān)系式；BmBmE P值 時 ，在直線 m 的運(yùn)動過程中， 當(dāng) t 為何NNPPFS2 為 OAB 面積的5 ？OMAxOMAx16圖十二;.【答案】解（ 1）當(dāng) x=0 時， y=4；當(dāng) y=0 時， x=4 A(4，0)，（B 0，4）；（ 2）MN AB， OM

5、OA1， OMON t， S11 OM·ON1 t 2 ；ONOB22（ 3）當(dāng) 2t 4 時，易知點(diǎn) P 在 OAB 的外面，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (t， t) ,F 點(diǎn)的坐標(biāo)滿足xt，即 F (t，4t ) ，同理 E(4t， t) ，則PFPEt (4- t ) 2t 4， 所以yt，4S2 SMPNS PEFS OMNS PEF1 t 21 PE·PF1 t 21( 2t 4)( 2t 4)3 t 28t 8 ；22222當(dāng) 0t 2時， S21212514550，t25 2，兩個都不合題意，t ， t164，解得 t12222舍去；當(dāng) 2t 4 時， S23 t28

6、t85，解得 t33，t 47，223綜上得，當(dāng) t7或 t3 時， S2 為 OAB 的面積的5 316模仿操練： 如圖，直線 yx4 與兩坐標(biāo)軸分別相交于A.B 點(diǎn)，點(diǎn) M 是線段 AB 上任意一點(diǎn)（ A.B 兩點(diǎn)除外），過 M 分別作 MC OA 于點(diǎn) C，MD OB 于 D（ 1）當(dāng)點(diǎn) M 在 AB 上運(yùn)動時，你認(rèn)為四邊形OCMD 的周長是否發(fā)生變化？并說明理由；（ 2）當(dāng)點(diǎn) M 運(yùn)動到什么位置時，四邊形OCMD 的面積有最大值？最大值是多少？（ 3 ）當(dāng)四邊形OCMD 為正方形時，將四邊形OCMD沿著x 軸的正方向移動，設(shè)平移的距離為a（0 a 4)，正方形 OCMD 與 AOB 重

7、疊部分的面積為S試求 S 與 a 的函數(shù)關(guān)系式并畫出該函數(shù)的圖象6、在ABC 中，CRt, AC4cm, BC5cm, 點(diǎn) D 在 BC 上，且以 CD 3cm, 現(xiàn)有兩個動點(diǎn)P、 Q分別從點(diǎn)A 和點(diǎn) B 同時出發(fā)，其中點(diǎn)P 以 1cm/s 的速度，沿AC 向終點(diǎn) C 移動；點(diǎn)Q 以 1.25cm/s 的速度沿 BC 向終點(diǎn) C 移動。過點(diǎn)P 作 PE BC 交 AD 于點(diǎn) E，連結(jié) EQ。設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為x 秒。;.（ 1）用含 x 的代數(shù)式表示AE 、DE 的長度；（ 2）當(dāng)點(diǎn) Q 在 BD （不包括點(diǎn)B、 D）上移動時，設(shè)EDQ 的面積為 y(cm2 ) ，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，

8、并寫出自變量x 的取值范圍；（ 3）當(dāng) x 為何值時，EDQ 為直角三角形。APEBQDC7、如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，4 3) ，點(diǎn) B 在 x 正半軸上，且 ABO 30動點(diǎn) P 在線段 AB 上從點(diǎn) A 向點(diǎn) B 以每秒 3 個單位的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t 秒在 x 軸上取兩點(diǎn)M，N 作等邊 PMN （ 1）求直線 AB 的解析式；（ 2）求等邊 PMN 的邊長（用 t 的代數(shù)式表示） ，并求出當(dāng)?shù)冗?PMN 的頂點(diǎn) M 運(yùn)動到與原點(diǎn) O 重合時 t 的值；（ 3）如果取 OB 的中點(diǎn) D ，以 OD 為邊在 Rt AOB 內(nèi)部作如圖 2 所示的矩形 ODCE ，點(diǎn)

9、C 在線段 AB上設(shè)等邊 PMN 和矩形 ODCE 重疊部分的面積為S ，請求出當(dāng)0 t 2 秒時 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S 的最大值yyAPACEMO NBxODBx（圖 1）（圖 2）;.8、兩塊完全相同的直角三角板ABC 和 DEF 如圖 1 所示放置，點(diǎn)C、 F 重合，且BC、DF 在一條直線上，其中 AC=DF =4，BC=EF=3 固定 Rt ABC 不動，讓 Rt DEF 沿 CB 向左平移，直到點(diǎn)F 和點(diǎn) B 重合為止設(shè)FC =x，兩個三角形重疊陰影部分的面積為y（ 1）如圖 2，求當(dāng) x= 1 時， y 的值是多少？2（ 2）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) E 移動到 AB 上時

10、，求 x、 y 的值；（ 3）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；9、（重慶課改卷）如圖1 所示，一張三角形紙片ABC ， ACB=90°,AC=8,BC=6. 沿斜邊 AB 的中線 CD 把這張紙片剪成AC1D1 和BC2 D2 兩個三角形 （如圖 2 所示） .將紙片AC1D1 沿直線 D 2 B（ AB ）方向平移（點(diǎn) A, D1, D2 , B 始終在同一直線上） ，當(dāng)點(diǎn) D1 于點(diǎn) B 重合時，停止平移.在平移過程中，C1 D1 與 BC2交于點(diǎn) E, AC1 與 C2 D2、BC 2 分別交于點(diǎn)F、P.（ 1）當(dāng)AC1D1 平移到如圖3 所示的位置時，猜想圖中的D1E 與

11、D2 F 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（ 2）設(shè)平移距離D 2 D1 為 x ，AC1D1 與BC2 D 2 重疊部分面積為y ，請寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；;.（ 3）對于（ 2）中的結(jié)論是否存在這樣的x 的值；使得重疊部分的面積等于原ABC 面積的 1 ？若不存在，CC1 C24C2請說明理由 .C1PFEADB AD1D2BA D2D1B圖 1圖 2圖 3A10、已知：如圖， ABC 是邊長 3cm 的等邊三角形，動點(diǎn)P、 Q 同時從 A 、 B 兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿 AB 、 BC 方向勻速移動，它們的速度都是 1cm/s，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) B 時， P、Q 兩

12、點(diǎn)停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動時間為 t（ s），解答下列問題：（ 1）當(dāng) t 為何值時， PBQ 是直角三角形 ?（ 2）設(shè)四邊形 APQC 的面積為 y（cm2 ），求 y 與 t 的關(guān)系式；是否存在某一時刻 t，使四邊形 APQC 的面積是t 值；不存在，說明理由；PBQCABC 面積的三分之二？如果存在，求出相應(yīng)的;.三角形面積與函數(shù)解析式的幾種題型一、利用面積求解析式1、直線 y2xb 與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是9, 則 b =_.（分類討論）2、已知直線 y=x+3 的圖象與 x 軸、 y 軸分別交于 A、 B 兩點(diǎn)，直線 經(jīng)過原點(diǎn)，與線段 AB 交于點(diǎn) C，把 , AOB的面積分為

13、 2： l 兩部分，求直線 名的解析式3、如圖 , 已知直線PA： y xn(n 0) 與 x 軸交于 A, 與 y 軸交于 Q,另一條直線 y2x m(m n)與 x軸交于 B, 與直線PA交于 P求 : (1)A,B,Q,P四點(diǎn)的坐標(biāo) ( 用 m 或 n 表示 )5, 求兩個函數(shù)的解析式 .(2) 若 AB=2,且 S 四邊形 PQOB=64、已知直線yx2 與 x 軸、 y 軸分別交于A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)，另一條直線ykxb (k0) 經(jīng)過點(diǎn) C (1,0) ，且把AOB 分成兩部分（ 1）若AOB 被分成的兩部分面積相等，則k 和 b 的值（ 2）若AOB 被分成的兩部分面積比為1： 5，

14、則 k 和 b 的值;.5、已知一次函數(shù) y3 x 3的圖象與 y 軸、 x 軸分別交于點(diǎn) A、 B，直線 y kx b 經(jīng)過 OA 上的三分之2一點(diǎn) D，且交 x 軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，如果 S AOBS DOC ，求直線 y kx b 的解析式二、利用解析式求面積1、直線 ykxb過點(diǎn) A（ 1， 5）和點(diǎn) B(m, 5) 且平行于直線yx ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB 的面積 .2、 如圖，所示，一次函數(shù)ykxb 的圖像經(jīng)過A ， B 兩點(diǎn)，與 x 軸交于 C求：（ 1）一次函數(shù)的解析式；（ 2）AOC 的面積3、已知 : 直線 y2x4 與直線 yx3 , 它們的交點(diǎn)C的坐標(biāo)是 _, 設(shè)兩

15、直線與x 軸分別交于 A,B,則 S ABC=_,設(shè)兩直線與 y 軸交于 P,Q, 則 S PCQ=_.4、一次函數(shù) y1 k1 x4 與正比例函數(shù) y2k2 x 的圖象都經(jīng)過 (2,-1),則這兩個函數(shù)的圖象與x 軸圍成的三角形面積是 _.5、已知，直線y=2x+3 與直線 y=-2x-1.(1) 求兩直線交點(diǎn) C的坐標(biāo) ;(2) 求 ABC的面積 .(3) 在直線 BC上能否找到點(diǎn) P, 使得 SAPC=6，若能，請求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不能請說明理由。;.6、如圖，直線y -43x+4 與 y 軸交于點(diǎn) A，與直線 y 4 x+ 4 交于點(diǎn) B，且直線 y 4 x+ 4 與 x 軸交于點(diǎn)

16、5555C，求 ABC的面積。ABCO7、已知直線ykx b 經(jīng)過點(diǎn) A （ 0， 6），且平行于直線 y2 x .（ 1）求該函數(shù)的解析式，并畫出它的圖象；（ 2）如果這條直線經(jīng)過點(diǎn) P（ m， 2），求 m的值；（ 3）若 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線 OP解析式；（ 4）求直線ykxb 和直線 OP與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積。三、關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系1、已知點(diǎn) A （ x， y）在第一象限內(nèi)，且x+y=10 ，點(diǎn) B（ 4， 0）， OAB 的面積為S.（ 1）求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出x 的取值范圍，并畫出函數(shù)的圖像；（ 2） OAB 的面積為6 時，求 A 點(diǎn)的坐標(biāo)；2、如圖，直線

17、ykx6 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ -8，0），點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ -6，0）。（ 1）求 k 的值；（ 2）若點(diǎn) P（ x ， y ）是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點(diǎn)，在點(diǎn)P 的運(yùn)動過程中，試寫出OPA 的面積 S與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x 的取值范圍；;.（ 3）探究：當(dāng)點(diǎn)P 運(yùn)動到什么位置時，OPA 的面積為 278，并說明理由。yFEoAx4、如圖 (1), 在矩形 ABCD中 ,AB=10cm,BC=8cm,點(diǎn) P 從 A 出發(fā) , 沿 AB CD路線運(yùn)動 ,到 D停止 ; 點(diǎn) Q從 D出發(fā) , 沿 DCBA路線運(yùn)動 , 到 A停止. 若點(diǎn) P

18、、點(diǎn) Q同時出發(fā) , 點(diǎn) P的速度為 1cm/s, 點(diǎn) Q的速度為 2cm/s,as時點(diǎn) P、點(diǎn) Q 同時改變速度 , 點(diǎn) P 的速度變?yōu)?bcm/s, 點(diǎn) Q的速度變?yōu)?dcm/s . 圖 (2) 是點(diǎn) P 出發(fā) x 秒后 APD的面積 S1(cm2) 與 x(s)的函數(shù)關(guān)系圖象 ; 圖 (3)是點(diǎn) Q出發(fā) x 秒后 AQD的面積 S2(cm2) 與 x(s)的函數(shù)關(guān)系圖象 .(1)參照圖 (2), 求 a、 b 及圖 (2)中 c 的值 ;(2)求 d 的值 ;(3)設(shè)點(diǎn) P 離開點(diǎn) A 的路程為 y1(cm), 點(diǎn) Q到 A 還需走的路程為y2 (cm), 請分別寫出動點(diǎn)P、 Q改變速度后 y1、 y2 與出發(fā)后的運(yùn)動時間x(s) 的函數(shù)關(guān)系式 , 并求出 P、 Q 相遇時 x 的值 ;(4)當(dāng)點(diǎn) Q出發(fā) _s 時 , 點(diǎn) P、點(diǎn) Q在運(yùn)動路線上相距的路程為25cm.D QCS1(cm2)S2(cm2)404020A PBOa 8c x( 秒)Ox( 秒)(2)22(1)(3)8如圖，直線 l 1過 A （ 0， 2），B（ 2，0）兩點(diǎn)，直線 l 2 ： ymx b 過點(diǎn)（ 1，0），且把 AOB 分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)的那部分是一個三