第三章、動(dòng)量.牛頓運(yùn)動(dòng)定律.動(dòng)量守恒定律

1、第1章第2章第3章第4章第5章第6章第7章第8章第9章第10章第11章第12章第三章 動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒定律（習(xí)題） 3.5.1 質(zhì)量為 2kg 的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 (t 為時(shí)間，單位為 s ；長度單位為 m). 求證質(zhì)點(diǎn)受恒力而運(yùn)動(dòng)，并求力的方向大小。 解 : （恒量） 3.5.2 質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)在oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 為正常數(shù)，證明作用于質(zhì)點(diǎn)的合力總指向原點(diǎn)。 解 : 3.5.3 在脫粒機(jī)中往往裝有振動(dòng)魚鱗篩，一方面由篩孔漏出谷粒，一方面逐出秸桿，篩面微微傾斜，是為了從較底的一邊將秸桿逐出，因角度很小，可近似看作水平，篩面與谷粒發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)才可能將谷粒篩出，若谷粒與篩面

2、靜摩擦系數(shù)為 0.4，問篩沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和篩面發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)。 解 :以谷篩為參照系，發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)的條件是 最小值為 以地面為參照系：靜摩擦力使谷粒產(chǎn)生最大加速度為 發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)的條件是篩的加速度 ， 最小值為 3.5.4 桌面上疊放著兩塊木板，質(zhì)量各為 如圖所示。 和桌面間的摩擦系數(shù)為 ， 間的靜摩擦系數(shù)為 。問沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出來。解，對于： 對于 ： 和 發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)的條件是： 3.5.5 質(zhì)量為 的斜面可在光滑的水平面上滑動(dòng)，斜面傾角為 ，質(zhì)量為 的運(yùn)動(dòng)員與斜面之間亦無摩擦，求運(yùn)動(dòng)員相對斜面的加速度及其對斜面的壓力。 解，隔離體： 對于 ： 對

3、于 ： 聯(lián)立求解： ， 3.5.6 在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為 。物體之間及物體與桌面間的摩擦系數(shù)都為 。求在力 的作用下兩物體的加速度及繩內(nèi)張力。不計(jì)滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦 , 繩不可伸長。解 :對于 ： 對于 ： 解方程得： 3.5.7 在圖示的裝置中，物體 A 、 B 、 C 的質(zhì)量各為 且兩兩不等。若物體 A 、 B 與桌面間的摩擦系數(shù)均為 。求三個(gè)物體的加速度及繩內(nèi)張力。不計(jì)滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦 , 繩不可伸長。解 : 由（ 1 ）、（ 2 ）得： 由（ 3 ）得： （ 5 ）代入（ 6 ）：   3.5.8 天平左端掛一定滑輪，一輕繩跨過定滑輪，繩的兩端分別系上

4、質(zhì)量為 的物體 ，天平右端的托盤內(nèi)放有砝碼，問天平托盤和砝碼共重若干，才能保持天平平衡？不計(jì)滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦 , 繩不可伸長。解 : （ 1 ） ， （ 2 ） 解方程得： 3.5.9 跳傘運(yùn)動(dòng)員初張傘時(shí)的速度為 ，阻力大小與速度平方成正比： ，人傘總質(zhì)量為 m 。求 的函數(shù)。 提示：積分時(shí)可利用式 解 : 設(shè) ，上式寫成 積分 ， ，代入 ， ， , 3.5.10 一巨石與斜面因地震而分裂，脫離斜面下滑至水平石面之速度為 ，求在水平面上巨石速度與時(shí)間的關(guān)系，摩擦系數(shù)為 （注：不必求 v 作為 t 的顯函數(shù)）。解 : ， ， ， ，積分 ， ，代入 3.5.11 棒球的質(zhì)量為 0.14

5、kg ，用棒擊棒球的力隨時(shí)間的變化如圖所示。設(shè)棒球被擊前后速度增量 大小為 70m/s ，求力的最大值。打擊時(shí)，不計(jì)重力。解 : 0-0.05s 階段： ，   ， 0.050.08s 階段： ， ， 3.5.12 沿鉛直向上發(fā)射玩具火箭的推力隨時(shí)間變化如圖所示?；鸺|(zhì)量為 2kg，t=0時(shí)處于靜止，求火箭發(fā)射后的最大速率和最大高度（注意，推力>重力時(shí)才起作用）。解 :以地面為參照系，因推力>重力時(shí)才起作用，所以 ， 由動(dòng)力學(xué)方程 ， 積分得 ， 速率的最大值為 t=20s的速率 當(dāng)速度達(dá)到最大時(shí)即 t=20s,從此時(shí)開始火箭失去推力，開始自由上拋，速率為零時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)。

6、3.5.13拋物線形彎管的表面光滑，繞鉛直軸以勻角速率轉(zhuǎn)動(dòng)，拋物線方程為 a 為正常數(shù)。小環(huán)套于彎管上。（ 1 ）彎管角速度多大，小環(huán)可在管上任意位置相對彎管靜止？（ 2 ）若為圓形光滑彎管，情況如何？解 :（ 1 ）設(shè)彎管轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 時(shí)，小環(huán)可在管上任意位置相對彎管靜止。小環(huán)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足的關(guān)系式為： 小球在豎直方向上滿足的關(guān)系式為： 由（ 1 ）、（ 2 ）式得： 再由拋物線方程 得 由（ 3）、（4）得 。 （ 2 ）同上：得 由圓的方程 由（ 3 ）、（ 4 ）得 ， 3.5.14 北京設(shè)有供實(shí)驗(yàn)用高速 列車環(huán)形鐵路，回轉(zhuǎn)半徑為 9km 。將要建設(shè)的京滬列車時(shí)速 250km/h

7、, 若在環(huán)路上作次項(xiàng)列車實(shí)驗(yàn)且欲鐵路不受側(cè)壓力，外軌應(yīng)比內(nèi)軌高多少？設(shè)軌距 1.435m.解 : ， ， 3.5.15 汽車質(zhì)量為 1.2 × 10kN, 在半徑為 100m 的水平圓形彎道上行駛。公路內(nèi)外側(cè)傾斜 15 0 , 沿公路取自然坐標(biāo)，汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 ，自 t=5s 開始勻速運(yùn)動(dòng)。問公路面作用于汽車與前進(jìn)方向垂直的摩擦力是由公路內(nèi)側(cè)指向外側(cè)還是由外側(cè)指向內(nèi)側(cè)？解 :以地面為參照系。汽車受力如圖，摩擦力的方向設(shè)為沿路面指向內(nèi)側(cè)。 f 為正，表示假設(shè)摩擦力的方向與實(shí)際的方向相同，指向內(nèi)側(cè)。 3.5.16 速度選擇器原理如圖，在平行板電容器間有勻強(qiáng)電場 ，又有與之垂直的勻強(qiáng)磁場

8、 ，現(xiàn)有帶電粒子以速度 ，進(jìn)入場中。問具有何種速度的粒子方能保持沿 x 軸運(yùn)動(dòng)。此裝置用于選出具有特定速度的粒子，并用量綱法則檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果。解 :帶電粒子在磁場中受力： 帶電粒子在電場中受力： 粒子能保持沿 x 軸運(yùn)動(dòng)的條件： 。 3.5.17 帶電粒子束經(jīng)狹縫 s 1 和 s 2 之選擇，然后進(jìn)入速度選擇器（習(xí)題 3.5.16 ），其中電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度各為 和 ，具有“合格”速度的粒子再進(jìn)入與速度垂直的磁場 中，并開始作圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半周后打在熒光屏上。試證明粒子質(zhì)量為 ， r 和 q 分別表示軌道半徑和粒子電荷。該裝置能檢查出 0.01% 的質(zhì)量差別，可用于分離同位素，檢測雜質(zhì)或污染物。

9、 解 :由上題： 粒子進(jìn)入與速度垂直的磁場 中時(shí)，根據(jù) ，得 （ 1 ）代入（ 2 ） 3.5.18 某公司欲開設(shè)太空旅館，其設(shè)計(jì)為用 32m 長的繩連接質(zhì)量相同的兩個(gè)客艙，問兩客艙圍繞兩艙中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度多大，可使旅客感到和在地面上那樣受重力作用，而沒有“失重”的感覺。解 :旅客在太空旅館不受重力作用，使旅客感到和在地面上那樣受重力作用，而沒有“失重”的感覺。就是艙底版對人的支持力和人在地面上所受的重力相同。 ，或 得 3.5.20 圓柱A重500N，半徑 ，圓柱B重1000N，半徑 ,都放在寬度為L1.20m的槽內(nèi)。各接觸都是光滑的，求A、B柱間的壓力及與槽壁和槽底間的壓力。 解： 因：

10、又 ，聯(lián)立求解可得。 3.5.21 圖表示哺乳動(dòng)物的下頜骨。假如肌肉提供的力 和 均與水平方向成 45 0 , 食物作用于牙齒的力為 ，假設(shè) 、 和 共點(diǎn)。求 和 的關(guān)系以及與 的關(guān)系。解，平衡問題。 3.5.22 四根等長且不可伸長的輕線端點(diǎn)懸于水平面正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處。另一端固結(jié)于一處懸掛重物，重量為 W ，線與鉛垂線夾角為，求各線內(nèi)張力。若四根均不等長，知諸線之方向余弦，能算出線內(nèi)張力嗎？解 :（ 1 ） ， （ 2 ）四線均不等長，則運(yùn)用平衡方程不足以確定線內(nèi)張力。這種用靜力學(xué)方程不足以解決的問題稱靜不定問題。 3.6.1 小車以勻加速度 a 沿傾角為的斜面向下運(yùn)動(dòng)，擺錘相對于小車保持

11、靜止，求懸線與豎直方向的夾角（分別自慣性系和非慣性系中求解）。  解 :（ 1 ）坐標(biāo)系 ox y 建立在慣性系上，如圖。 解方程 （ 2 ）坐標(biāo)系 建立在非慣性系上，如圖。  解方程 3.6.2 升降機(jī) A 內(nèi)有一裝置如圖示。懸掛的兩物體的質(zhì)量各為 m 1 ,m 2 且 m 1 m 2 ，若不計(jì)繩及滑輪質(zhì)量，不 計(jì)軸承處的摩擦，繩不可伸長，求當(dāng)升降機(jī)以加速度 a （方向向下）運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩物體的加速度各為多少？繩內(nèi)的張力是多少？解 :以升降機(jī)A為參照系，建立坐標(biāo)系 ，如圖所示。 受力分析如圖（包括慣性力）。 它們本身含有符號(hào)。 解方程得： 相對地面的加速度 相對地面的加速度

12、， 3.6.3圖示柳比莫夫擺，框架 上懸掛小球，將擺移開平衡位置而后放手，小球隨即擺動(dòng)起來。（ 1）當(dāng)小球擺至最高位置時(shí)，釋放框架使它沿導(dǎo)軌自由下落，如圖（a）。問框架自由下落時(shí)，擺錘相對于框架如何運(yùn)動(dòng)？（2）當(dāng)小球擺至平衡位置時(shí)，釋放框架。如圖（b）。小球相對于框架如何運(yùn)動(dòng)？小球質(zhì)量比框架質(zhì)量小得多。 解 : （ 1）當(dāng)小球擺至最高位置時(shí)，釋放框架使它沿導(dǎo)軌自由下落。 當(dāng)小球擺至最高位置時(shí)相對框架速度為零，即 。 ， 結(jié)果表明：小球開始時(shí)相對框架的速度為零，且相對框架的加速度為零，則小球相對框架靜止。（ 2）當(dāng)小球擺至平衡位置時(shí)，釋放框架。 此時(shí)小球相對框架的速度為 ， 結(jié)果表明：小球的切向

13、加速度為零，則小球相對框架作勻速直線運(yùn)動(dòng)。 以上兩種情況，實(shí)質(zhì)上是小球在非慣性系中所受的合力（包括慣性力）為繩對小球的拉力 T，若開始時(shí)小球具有初速度，則作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若開始靜止，以后也靜止。 3.6.4摩托車選手在豎直放置圓筒壁內(nèi)在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)。筒內(nèi)壁半徑為3.0m，輪胎與壁面靜摩擦系數(shù)為0.6，求摩托車最小線速度（取非慣性系作）。解 :取勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參照系為非慣性系，摩托車和人相對非慣性系靜止。 3.6.5一雜技演員令雨傘繞鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一小圓盤在傘面上滾動(dòng)但相對地面在原地轉(zhuǎn)動(dòng)，即盤中心不動(dòng)。（1）小盤相對雨傘如何運(yùn)動(dòng)？（2）以傘為參照系，小球受力如何？若保持牛頓第二定律形式不變，應(yīng)如何解釋小

14、球的運(yùn)動(dòng)？解 :（1）小盤相對雨傘作圓周運(yùn)動(dòng)。 （ 2）以傘為參照系，小球受力如圖。其中慣性離心力： 科里奧利力（小盤相對傘的速度向里） 若保持牛頓第二定律形式不變，在非慣性系中因入慣性力，小盤的動(dòng)力學(xué)方程為： 3.7.1 就下面兩種受力情況： （力： N ，時(shí)間： s ）分別求出 時(shí)的力并用圖表示；再求自 t=0 至 t=1 時(shí)間內(nèi)的沖量，也用圖表示。 解 : （ 2 ）方法同上。 3.7.2 一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在 o-xy 平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為 求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。 解 : 與 x 軸夾角 3.7.3 自動(dòng)步槍連發(fā)時(shí)每分鐘可射出 120 發(fā)子彈，每顆子彈的質(zhì)量為 7.9g ，出口速度為 7

15、35m/s. 求射擊時(shí)所需的平均力。 解， m=0.0079kg,v=735m/s, 3.7.4棒球的質(zhì)量為0.14kg。棒球沿水平方向以速率50m/s投來，經(jīng)棒擊球后，球沿與水平成 飛出，速率為80m/s，球與棒接觸時(shí)間為0.02s，求棒擊球的平均力。      解 :根據(jù)動(dòng)量定理 平均力與水平夾角：  3.7.5 質(zhì)量為 M 的滑塊與水平面間的靜摩擦系數(shù)為 ，質(zhì)量為 m 的滑塊與 M 均處于靜止。繩不可伸長，繩與滑輪質(zhì)量可不計(jì)，不計(jì)滑輪軸摩擦。問將 m 托起多高，放手后可利用繩對 M 沖力的平均力拖動(dòng) M ？設(shè)當(dāng) m 下落 h 后經(jīng)過極短的時(shí)間 后與

16、繩的鉛直部分相對靜止。 解 :先研究滑塊 m ，它被托起 h ，再回原靜止位置時(shí)，速度大小為 ，若 M 尚未被拖動(dòng)，則由繩不可伸長知， m 在極短時(shí)間 內(nèi)，速度又變?yōu)榱?，因此，其?dòng)量變化為 ，在 內(nèi)繩對 m 的平均沖力為 ，這是繩子對滑塊 M 也同時(shí)作用以這樣大的平均沖力。 再研究滑塊 M, 它在水平方向僅受繩拉力和摩擦力 ，依題意，能利用繩對 M 的平均沖力拖動(dòng) M 的條件是： 即 ， 3.7.6 質(zhì)量 m 1 =1kg,m 2 =2kg,m 3 =3kg,m 4 =4kg;m 1 、 m 2 和 m 4 四質(zhì)點(diǎn)形成的質(zhì)心坐標(biāo)順次為（ x,y ） =(-1,1) 、 (-2,0) 、和（ 3

17、 ， -2 ）。質(zhì)心位于（ x,y ） =(1-1). 求 m 3 的位置。 解 :由 得 以下三題用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理兩種方法作。 3.8.1 質(zhì)量為 1500kg 的汽車在靜止的駁船上在 5s 內(nèi)自靜止加速至 5m/s 。問纜繩作用于駁船的平 均力有多大？（用牛頓定律作出結(jié)果，并以此驗(yàn)證你的計(jì)算）解 :(1)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 ， （ 2）質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理 （ 3）牛頓定律對于汽車： 3.8.2若上題中駁船的質(zhì)量為 6000kg ，當(dāng)汽車相對船靜止時(shí)，由于船尾螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)，可使船載著汽車以加速度 0.2m/s 2 前進(jìn)。若正在前進(jìn)時(shí)，汽車自靜止開始相對船以加速度 0.5m/s 2 與船前

18、進(jìn)相反方向行駛，船的加速度如何？解，（ 1）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 以駁船前進(jìn)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向。 系統(tǒng)在水平方向所受外力為 又由于作用于系統(tǒng)的外力不變，所以系統(tǒng)質(zhì)心速度不變，即 得 （ 2）質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理 則 在水平方向的分量式： 又 得： 結(jié)果同上。 3.8.3 氣球下懸軟梯，總質(zhì)量為 M ，軟梯上站一質(zhì)量為 m 的人，共同在氣球所受浮力 F 作用下加速上升。人以相對于軟梯的加速度 a m 上升，問氣球加速度如何？解 :（1）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 系統(tǒng)受外力：重力、浮力 設(shè)氣球的加速度 a ，則 得： （ 2 ）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理 因 得： 結(jié)果同上。 3.8.4 水流沖擊在靜止的渦輪葉片上，水流沖擊葉片曲面

19、前后的速率都等于 v ，每單位時(shí)間投向葉片的水的質(zhì)量保持不變且等于 u ，求水作用于葉片的力。解 :取質(zhì)量為 的一部分水流作為隔離體。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有： 對于 時(shí)間內(nèi)沖擊葉片的整個(gè)水流應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理 即 根據(jù)牛頓第三定律水作用于葉片的力為 3.8.5 70kg 重的人和 210kg 重的小船最初處于靜止。后來人從船后向船頭勻速走了 3.2m 停下來。問船向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)了幾米？不計(jì)船所受的阻力。解 :以地面為參照系，人的前進(jìn)方向?yàn)樽?標(biāo)軸的正方向。系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。 ， ， ， 3.8.6炮車固定在車廂內(nèi)，最初均處于靜止。向右發(fā)射一枚彈丸，車廂則向左運(yùn)動(dòng)。彈丸射在對面墻上后隨即順

20、墻壁落下。問此過程中車廂移動(dòng)的距離是多少？已知炮車和車廂總質(zhì)量為 M ，彈丸質(zhì)量為 m, 炮口到對面墻上的距離為 L 。不計(jì)鐵軌作用于車廂的阻力。解 :以地面為參照系，水平向右為坐標(biāo)軸正方向。 系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒。 設(shè)彈丸的速度為 v, 車廂的速度為 V ，車廂移動(dòng)的距離為 s ，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t ，則得 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：水平方向系統(tǒng)的質(zhì)心不動(dòng)。 得， ，結(jié)果同上。 3.8.7 載人的切諾基和桑塔納汽車質(zhì)量各為 m 1 =165 × 10kg 和 m 2 =115 × 10kg, 各以速率 v 1 =90km/h 和 v 2 =108km/h 向東和向北行駛。相撞后聯(lián)在一起滑出。求滑出的速度。不計(jì)摩擦（請用質(zhì)心參照系求解）。  解 :用質(zhì)心參照系求，質(zhì)點(diǎn)組對