幾種特殊類型函數(shù)的積分PPT學習教案

1、會計學1幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分2021年12月9日星期四2(Integration of Rational Function)兩個多項式的商表示的函數(shù)兩個多項式的商表示的函數(shù).mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：第1頁/共33頁2021年12月9日星期四3假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項式除法）利用多項式除法, 假分式可以

2、化成一個多項式和一個真分式之和假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例如，例如，我們可將我們可將1123 xxx.112 xx化為多項式與真分式之和化為多項式與真分式之和第2頁/共33頁2021年12月9日星期四4kaxA)( 2）在實數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個最簡式之和）在實數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個最簡式之和最簡分式是下面兩種形式的分式最簡分式是下面兩種形式的分式;)(kqpxxBAx 2042 qpk，為正整數(shù)第3頁/共33頁2021年12月9日星期四5（1）分母中若有因式分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 3）有理函

3、數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：（2）分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(第4頁/共33頁2021年12月9日星期四6 為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法待定系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.362

4、5 xx例例1)3)(2()2()3( xxxBxA)3)(2()23()( xxBAxBA第5頁/共33頁2021年12月9日星期四72)1(1 xx,1)1(2 xCxBxAAxCABxCA)2()(12.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2通分以后比較分子得：通分以后比較分子得： 1020ACABCA1, 1, 1 CBA第6頁/共33頁2021年12月9日星期四8)()(1112 xCxBxxA 我們也可以用我們也可以用賦值法賦值法來得到最簡分式，比如前面的來得到最簡分式，比如前面的例例2，兩端去分母后得到，兩端去分母后得到 :值代入特殊的x; 11Bx令.11)1(112

5、xxx2)1(1 xx; 10Ax令; 12Cx令第7頁/共33頁2021年12月9日星期四9例例3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得第8頁/共33頁2021年12月9日星期四10例例4 求積分求積分 .2123dxxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.| 1|ln11|lnCxxx解：解： dxxxx2321例例2第9頁/共33

6、頁2021年12月9日星期四11例例5 求積分求積分 解：解：.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 例例3dxxxx2151522154第10頁/共33頁2021年12月9日星期四12.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求?d)32(222xxxx提示提示:變形方法同變形方法同例例

7、6, 并利用并利用 第三節(jié)第三節(jié) 例例9 . 例例6 求第11頁/共33頁2021年12月9日星期四13注意：注意：有理函數(shù)的積分就是對下列有理函數(shù)的積分就是對下列三類函數(shù)三類函數(shù)的積分：的積分：)1(多項式；多項式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 主要討論（主要討論（3）積分）積分, 1)1 n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 第12頁/共33頁2021年12月9日星期四14,422pqa ,2MpNb 其中其中,222atqpxx , bMtNMx 并記并記令令tpx 2,42222pqpxqpxx , 1)2( n dxqp

8、xxNMxn)(2第13頁/共33頁2021年12月9日星期四15122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22第三節(jié)第三節(jié) 例例9結(jié)論：結(jié)論：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).第14頁/共33頁2021年12月9日星期四16xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:說明說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式

9、進行積分雖可行,但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構被積函數(shù)的結(jié)構尋求簡便的方法. 例例7（補充題）（補充題） 求第15頁/共33頁2021年12月9日星期四17解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁例例8 （補充題）（補充題） 求點擊看點擊看“常規(guī)解法常規(guī)解法”第1

10、6頁/共33頁2021年12月9日星期四181d4xx第一步第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步第三步 分項積分 .此解法較繁此解法較繁 !按常規(guī)方法解按常規(guī)方法解:第17頁/共33頁2021年12月9日星期四19設)cos,(sinxxR表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換萬能代換t 的有理函數(shù)的積分1. 三角函數(shù)有

11、理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則第18頁/共33頁2021年12月9日星期四202cos2sin2cos2sin2sin 22xxxxx這是因為2tan12tan22xx xcos2tan12tan122xx 22tan2tan 1tan2xxx2122tanuuxu 22112tanuuxu 2122tanuuxu 第19頁/共33頁2021年12月9日星期四21令令2tanxu uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 第20頁/共33頁2021年12月9日星期四22例例9 （課本例（課本例5）求求.)cos1(sinsin

12、1 dxxxx解：解：令,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx duuuu 12212 dxxxx)cos1(sinsin1Cuuu )ln22(212Cxxx 2tanln212tan42tan2,2tanxu 則第21頁/共33頁2021年12月9日星期四23例例10（補充題）（補充題） 求.sin1cos dxxx解：解：22221211211uduuuuu dxxxsin1cosduuuu )1)(1()1(22 一直做下去，一定可以積出來，只是一直做下去，一定可以積出來，只是太麻煩太麻煩。 dxxxsin1cos xxdsin1)sin1(Cx )sin1ln

13、( 由此可以看出，萬能代換法不是最簡方法，由此可以看出，萬能代換法不是最簡方法，能不用盡量不用。能不用盡量不用。第22頁/共33頁2021年12月9日星期四24.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC說明說明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時,xttan往往更方便 .的有理式用代換例例11（1987.III) 求第23頁/共33頁2021年12月9日星期四25,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函

14、數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp2. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分第24頁/共33頁2021年12月9日星期四26.21d3xx解解: 令,23xu則,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC例例12（課本課本 例例7）求第25頁/共33頁2021年12月9日星期四27.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的最小公倍數(shù) 6 ,6tx

15、則有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令例例13 求（自學課本（自學課本 例例8）第26頁/共33頁2021年12月9日星期四28.d11xxxx解解: 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln例例14 求（自學課本（自學課本 例例9）第27頁/共33頁2021年12月9日星期四29本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)有理函數(shù)分解分解多項式及部分分式之和多項式及部分分式之和

16、三角函數(shù)有理式三角函數(shù)有理式萬能代換萬能代換簡單無理函數(shù)簡單無理函數(shù)三角代換三角代換根式代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定但不一定 要注意綜合使用基本積分法要注意綜合使用基本積分法 ,簡便計算簡便計算 .簡便簡便 , 第28頁/共33頁2021年12月9日星期四30習題習題4-4 奇數(shù)題奇數(shù)題思考與練習思考與練習1. 如何求下列積分更簡便如何求下列積分更簡便 ?)0(d1662axxax）（xxxcossind23）（解解: （1）23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln61（2

17、） 原式原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121第29頁/共33頁2021年12月9日星期四31. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos2. 求第30頁/共33頁2021年12月9日星期四32xbxacossin)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1