高數(shù)符號(hào)總結(jié)（合集）

1、高數(shù)符號(hào)總結(jié)（合集）簡(jiǎn)介第一篇：高數(shù)符號(hào)總結(jié)數(shù)量符號(hào) 如：i，2+i，a，x，自然對(duì)數(shù)底e，圓周率。運(yùn)算符號(hào) 除號(hào)（÷或） 兩個(gè)集合的并集（） 交集（） 根號(hào)（） 對(duì)數(shù)（log，lg，ln），比（：） 微分（dx） 積分（） 曲線積分（）等。結(jié)合符號(hào) 如小括號(hào)“（）”中括號(hào)“”，大括號(hào)“”橫線“”省略符號(hào) 三角形（） 直角三角形（rt） x的函數(shù)（f(x)） 極限（lim） 角（），因?yàn)椋ㄒ粋€(gè)腳站著的，站不?。┧?，（兩個(gè)腳站著的，能站?。┛偤停ǎ?連乘（） 從n個(gè)元素中每次取出r個(gè)元素所有不同的組合數(shù)（c(r)(n) ） 冪（a，ac，aq，xn）等。排列組合符號(hào) c-組合數(shù)a-

2、排列數(shù) n-元素的總個(gè)數(shù) r-參與選擇的元素個(gè)數(shù) !-階乘 ，如5！=5×4×3×2×1=120 c-combination- 組合a-arrangement-排列離散數(shù)學(xué)符號(hào)（未全） 全稱量詞 存在量詞 斷定符（公式在l中可證） 滿足符（公式在e上有效，公式在e上可滿足） 命題的“非”運(yùn)算 命題的“合取”（“與”）運(yùn)算 命題的“析取”（“或”，“可兼或”）運(yùn)算 命題的“條件”運(yùn)算? 命題的“雙條件”運(yùn)算的ab 命題a 與b 等價(jià)關(guān)系 a=>b 命題 a與 b的蘊(yùn)涵關(guān)系a* 公式a 的對(duì)偶公式wff 合式公式iff 當(dāng)且僅當(dāng) 命題的“與非” 運(yùn)算（

3、 “與非門” ） 命題的“或非”運(yùn)算（ “或非門” ） 模態(tài)詞“必然” 模態(tài)詞“可能” 空集 屬于（?不屬于）p（a） 集合a的冪集 |a| 集合a的點(diǎn)數(shù) r2=rr rn=r(n-1)r 關(guān)系r的“復(fù)合” 阿列夫 包含 （或下面加 ） 真包含 集合的并運(yùn)算 集合的交運(yùn)算 - （） 集合的差運(yùn)算 限制 x(右下角r) 集合關(guān)于關(guān)系r的等價(jià)類a/ r 集合a上關(guān)于r的商集a 元素a 產(chǎn)生的循環(huán)群 i (i大寫) 環(huán)，理想 z/(n) 模n的同余類集合r(r) 關(guān)系 r的自反閉包s(r) 關(guān)系 的對(duì)稱閉包 cp 命題演繹的定理（cp 規(guī)則） eg 存在推廣規(guī)則（存在量詞引入規(guī)則）es 存在量詞特指

4、規(guī)則（存在量詞消去規(guī)則）ug 全稱推廣規(guī)則（全稱量詞引入規(guī)則）us 全稱特指規(guī)則（全稱量詞消去規(guī)則）r 關(guān)系r 相容關(guān)系 rs 關(guān)系 與關(guān)系 的復(fù)合domf 函數(shù) 的定義域（前域）ranf 函數(shù) 的值域 f:xy f是x到y(tǒng)的函數(shù)gcd(x,y) x,y最大公約數(shù) lcm(x,y) x,y最小公倍數(shù) ah(ha) h 關(guān)于a的左（右）陪集 ker(f) 同態(tài)映射f的核（或稱 f同態(tài)核）1，n 1到n的整數(shù)集合d(u,v) 點(diǎn)u與點(diǎn)v間的距離 d(v) 點(diǎn)v的度數(shù)g=(v,e) 點(diǎn)集為v，邊集為e的圖w(g) 圖g的連通分支數(shù)k(g) 圖g的點(diǎn)連通度（g) 圖g的最大點(diǎn)度a(g) 圖g的鄰接矩陣

5、p(g) 圖g的可達(dá)矩陣m(g) 圖g的關(guān)聯(lián)矩陣c 復(fù)數(shù)集 n 自然數(shù)集（包含0在內(nèi)）n* 正自然數(shù)集p 素?cái)?shù)集q 有理數(shù)集r 實(shí)數(shù)集z 整數(shù)集set 集范疇 top 拓?fù)淇臻g范疇ab 交換群范疇grp 群范疇 mon 單元半群范疇 ring 有單位元的（結(jié)合）環(huán)范疇rng 環(huán)范疇 crng 交換環(huán)范疇 r-mod 環(huán)r的左模范疇mod-r 環(huán)r的右模范疇field 域范疇poset 偏序集范疇 數(shù)學(xué)符號(hào)的意義 符號(hào)(symbol) 意義(meaning) >> 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于號(hào)?) 求極限 f(z) f關(guān)于z的m階導(dǎo)函數(shù)c(n:m) 組合數(shù),n中取m p(n:m) 排列數(shù)m|n m整除

6、n mn m與n互質(zhì)a a a屬于集合a#a 集合a中的元素個(gè)數(shù) 第二篇：高一數(shù)學(xué)集合符號(hào)總結(jié)高一集合符號(hào)總結(jié) 定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來看待，就叫做集合，簡(jiǎn)稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡(jiǎn)稱元。任何集合是它自身的子集. 元素與集合的關(guān)系： 元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。 集合的分類: 并集：以屬于a或?qū)儆赽的元素為元素的集合稱為a與b的并（集），記作ab（或ba），讀作“a并b”（或“b并a”），即ab=x|xa,或xb 交集： 以屬于a且屬于b的元素為元素的集合稱為a與b的交（集），記作ab（或ba），讀作“a交b”（或“b交a”），即ab=x|xa,

7、且xb 例如，全集u=1，2，3，4，5 a=1，3，5 b=1，2，5 。那么因?yàn)閍和b中都有1,5，所以ab=1，5 。再來看看，他們兩個(gè)中含有1,2,3,5這些個(gè)元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么說ab=1，2，3，5。 圖中的陰影部分就是ab。 無限集： 定義：集合里含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集 有限集：令n+是正整數(shù)的全體，且nn=1，2，3，n,如果存在一個(gè)正整數(shù)n，使得集合a與nn一一對(duì)應(yīng)，那么a叫做有限集合。 差：以屬于a而不屬于b的元素為元素的集合稱為a與b的差（集） 注:空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”. 補(bǔ)集：屬于全集u不屬于集合a的元素組成的

8、集合稱為集合a的補(bǔ)集，記作cua，即cua=x|xu,且x不屬于a 空集也被認(rèn)為是有限集合。 例如，全集u=1，2，3，4，5 而a=1，2，5 那么全集有而a中沒有的3，4就是cua，是a的補(bǔ)集。cua=3，4。 在信息技術(shù)當(dāng)中，常常把cua寫成a。 某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，含有有限個(gè)元素叫有限集，含有無限個(gè)元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做?？占侨魏渭系淖蛹侨魏畏强占恼孀蛹?，任何集合是它本身的子集，子集，真子集都具有傳遞性。 說明一下：如果集合 a 的所有元素同時(shí)都是集合 b 的元素，則 a 稱作是 b 的子集，寫作 a b。若 a 是 b 的子集，且 a

9、不等于 b，則 a 稱作是 b 的真子集，寫作 a b?；卮鹑说难a(bǔ)充 2009-07-17 16:29 集合的表示方法：常用的有列舉法和描述法。1.列舉法常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來寫在大括號(hào)內(nèi)這種表示集合的方法叫做列舉法。1，2，3， 2.描述法常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字符號(hào)或式子等描述出來寫在大括號(hào)內(nèi)這種表示集合的方法叫做描述法。x|p（x為該集合的元素的一般形式，p為這個(gè)集合的元素的共同屬性）如：小于的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為：x|0 3.圖式法（venn圖）為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個(gè)集合。 4.

10、自然語言 常用數(shù)集的符號(hào)： （1）全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作n （2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作n+（或n*） （3）全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作z （4）全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集，記作q （5）全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集，記作r （6）復(fù)數(shù)集合計(jì)作c 第三篇：高數(shù)總結(jié)高數(shù)總結(jié) 公式總結(jié)： 1.函數(shù)定義域 值域 y=arcsinx -1,1 -/2, /2 y=arccosx -1,1 0, y=arctanx (-，+) （-/2, /2） y=arccotx (-，+) (0, ) y=shx (-，+) (-，+)奇函數(shù)，遞增

11、 y=chx (-，+) 1, +)偶函數(shù)，(-，0)遞減 y=thx (-，+) (-1,1)奇函數(shù)，遞增 y=arshx (-，+) (-，+)奇函數(shù)，遞增 y=archx 1，+) 0，+)遞增y=arthx (-1,1) 奇函數(shù)，遞增 2.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)： shx = (ex - e(-x)/2, sh(x+y)=shxchy+chxshy (shx) ' =chx sh(x-y)=shxchy-chxshy chx = (ex + e(-x)/2 ch(x+y)=chxchy+shxshy , (chx) ' =shx ch(x-y)=chxchy-shxshy

12、 thx = shx / chx, (chx)2-(shx)2=1 (thx) ' = 1/(chx)2 sh2x=2shxchx arsh x = ln x+ (x2+1)(1/2) ch2x=(chx)2+(shx)2 , (arsh x) ' = 1/ (x2+1)(1/2) arch x = ln x+ (x2-1)(1/2) , (arch x) ' = 1/ (x2-1)(1/2) arth x =(1/2) ln(1+x)/(1-x) , (arth x) ' = 1/(1-x2) 我只記得考了幾個(gè)這里的公式，不過不記得是哪次考試了，所以就給你們寫

13、上咯3.對(duì)于x趨近于，f(x)/g(x)的極限，f(x)和g(x)均為多項(xiàng)式時(shí)，分子分母同時(shí)除以其中x的最高次項(xiàng)，利用x趨近于時(shí)，由1/(xk)的極限為0（k>0）,可以求得結(jié)果。 4.極限存在準(zhǔn)則： 夾逼準(zhǔn)則:證明極限存在并求得極限 單調(diào)有界準(zhǔn)則：僅用于證明極限存在，對(duì)于有遞推式的數(shù)列比較常用。一般都是先根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存在 p54例3 p55例5 5.兩個(gè)重要極限： （1）當(dāng)x趨近于0時(shí)，sinx/x的極限等于1 （2）當(dāng)x趨近于時(shí)，（1+1/x）x的極限為e,也可以說當(dāng)x趨近于0時(shí)，(1+x)(1/x)的極限為e,但是不能說當(dāng)x趨近于0時(shí)，（1+1/x）x的極限為e.要求（

14、1+在x趨近于或0時(shí)，該部分極限為0），指數(shù)部分為 6.無窮小的比較： b/a的極限為0，則稱b是比a高階的無窮小，b=o(a) b/a的極限為，則稱b是比a低階的無窮小 b/a的極限為常數(shù)，則為同階無窮小，常數(shù)為1，為等價(jià)無窮小，記作ab b/ak的極限為常數(shù)（k>0）,則稱b是a的k階無窮小 7.等價(jià)無窮?。?sinxx tanxx arcsinxx arctanxx 1-cosx(1/2)x2 ln(1+x)x ex-1x ax-1xlna (1+x)a-1ax (1+ax)b-1abx tanx-x(1/3)x3 x-sinx(1/6)x3 loga(x+1)x/lna 加減運(yùn)算

15、時(shí)不能用等價(jià)無窮小，乘除的時(shí)候可以。如p61例5 8.函數(shù)的連續(xù)與間斷： 函數(shù)f(x)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件為f(x)在該點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)。 函數(shù)的各種間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的條件要記住。 我們上一年有考這種題。p64-p68 9.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)均存在且相等。如果函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)處連續(xù)。逆命題不成立。 10.熟記函數(shù)的求導(dǎo)法則： p96-97初等函數(shù)的求導(dǎo)法則。 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。 會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 11.n階導(dǎo)： x ln(1+x)的n階導(dǎo)=(-1)(n-1)(n-1)!/(1+x)n sinkx =(kn)sin(kx+n/2)

16、coskx =(kn)cos(kx+n/2) 1/x =(-1)nn!/x(n+1) xa =a(a-1)(a-n+1)x(a-n) ax =ax(lna)n ex =ex lnx =(-1)(n-1)(n-1)!/xn 1/(ax+b) =(-1)nn!an/(ax+b)(n+1) u(ax+b) =an(ax+b)u(n) u(n)為u的n階導(dǎo) cu(x) =cu(x)(n) u(x)(n)為u(x)的n階導(dǎo) u(x)+-v(x) =u(x)(n)+-v(x)(n) v(x)(n)為v(x)的n階導(dǎo) xn =n! xn的（n+1）階導(dǎo)為0 至于萊布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心還是

17、背會(huì)吧，同情你們。 12.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將確定隱函數(shù)的方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)。 （1） 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：注意x=e(lnx)的化簡(jiǎn) （2） 參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)和二階導(dǎo)的公式都要記住。 （3） 極坐標(biāo)表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：同參數(shù)都需把公式記住或者自己會(huì)推導(dǎo)。 （4） 相關(guān)變化率：以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，看一下書上的例題p111-112。 13.函數(shù)的微分：重要 熟記基本初等函數(shù)的微分公式，考試會(huì)考，而且同求導(dǎo)法則一樣，在下學(xué)期的高數(shù)中可能會(huì)有用。p117 應(yīng)用題中，可用微分 da近似代替a。 復(fù)合函數(shù)的微分：dy=f(u)du 14.函數(shù)的線性化： l(x)=f(x0)

18、+f(x0)(x-x0)稱為f(x)在點(diǎn)x0處的線性化。近似式f(x)l(x)稱為f(x)在點(diǎn)x0處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似，點(diǎn)x0稱為該近似的中心。常用函數(shù)在x=0處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似公式：（1+x）(1/n)1+x/n sinxx(x為弧度) tanxx(x為弧度) ex1+x ln (1+x)x 常用于估計(jì)某式的近似值。 15,誤差計(jì)算： p123表格 16.費(fèi)馬引理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。這些定理的條件以及結(jié)論均需記住，會(huì)考。 17.洛必達(dá)法則： 0/0型：當(dāng)x趨近于a時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0 在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均存在，且g(x)不等于0 x趨近于a時(shí)，f

19、(x)/g(x)存在或?yàn)闊o窮大 則有x趨近于a時(shí)，f(x)/g(x)的極限與f(x)/g(x)的極限相等 /型：當(dāng)x趨近于時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0 對(duì)于充分大的|x|，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均存在，且g(x)不等于0 x趨近于時(shí)，f(x)/g(x)存在或?yàn)闊o窮大 則有x趨近于時(shí)，f(x)/g(x)的極限與f(x)/g(x)的極限相等 0*型：化為0/0或者/型來計(jì)算 -型：通分化為0/0型來計(jì)算 00,1, 0型：可先化為以e為底的指數(shù)函數(shù)，再求極限 x趨近于a時(shí)，lnf(x)的極限為a可化為 x趨近于a時(shí)，f(x)的極限等于e(lnf(x)的極限等于e(x趨近于a時(shí)，lnf(x)的極限)等于a

20、。p141 18.泰勒公式： ex=1+x+x2/2!+xn/n!+o(xn) sinx=x-x3/3!+x5/5!-+(-1)nx(2n+1)/(2n+1)！+o(x(2n+2) cosx=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!+(-1)nx(2n)/(2n)!+o(x(2n+1) ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-+(-1)(n-1)xn/n+o(xn) 1/(1-x)=1+x+x2+xn+o(xn) (1+x)m=1+mx+m(m-1)/2!x2+m(m-1)(m-n+1)/n!xn+o(xn) 泰勒公式和麥克勞林公式的一般形式也要記住。我們上一年有考過一題，不過不記得是啥題了。

21、19.補(bǔ)充一些關(guān)于三角函數(shù)的知識(shí)，可能會(huì)用到： tan(x/2)=(1-cosx)/sinx 1+(tanx)2=(secx)2 1+(cotx)2=(cscx)2 和差化積公式： sinx+siny=2sin(x+y)/2cos(x-y)/2 sinx-siny=2cos(x+y)/2sin(x-y)/2 cosx+cosy=2cos(x+y)/2cos(x-y)/2 cosx-cosy=-2sin(x+y)/2sin(x-y)/2 積化和差公式： sinxcosy=1/2sin(x+y)+sin(x-y) cosxsiny=1/2sin(x+y)-sin(x-y) cosxcosy=1/2

22、cos(x+y)+cos(x-y) sinxsiny=-1/2cos(x+y)-cos(x-y) 補(bǔ)充兩個(gè)公式： （1） xn-1=(x-1)x(n-1)+x(n-2)+x+1 （2） n(1/n)-1=(n-1)/1+n(1/n)+n(2/n)+n(n-1)/n)a,如果極限 limòt®+¥taf(x)dx 存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a,+¥)上的反常積分，即 ò+¥af(x)dx=limt®+¥òtaf(x)dx （二）無界函數(shù)的反常積分 定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b上連續(xù)，點(diǎn)a為

23、f(x)的丅點(diǎn)。取t>a,如果極限 limòt®ba+tf(x)dx b存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b上的反常積分，仍然記作òa即 f(x)dx，ò例題 討論反常積分baf(x)dx=limòt®ba+tf(x)dx 1-1òdxx的收斂性。 21解：被積函數(shù)（fx）=x在積分區(qū)間-1,1上除x=0外連續(xù)，且由于 2limx®01x2=¥ ò即反常積分0dx-1x21=lim(-)-1=+¥xx®0 ò0dx-1x2發(fā)散，所以反常積分ò1d

24、x-1x2發(fā)散 定積分òabf(x)dx的積分區(qū)間a，b是有限區(qū)間，又f(x)在a，b上是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間或f(x)推廣到無界函數(shù)，就是兩種不同類型的反常積分： 1.無窮區(qū)間上的反常積分 （1）概念 定義：òa+¥f(x)dx=limòf(x)dxb®+¥ab f(x)dx+¥若極限存在，則稱反常積分òa+¥是收斂的，它的值就是極是發(fā)散的，而發(fā)散的限值；若極限不存在，則稱反常積分ò反常積分沒有值的概念. af(x)dxòòb-¥f(x)dx=lim

25、òf(x)dxa®-¥ab +¥同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念. +¥-¥f(x)dx=òf(x)dx+ò-¥ccf(x)dx =limòf(x)dx+limòf(x)dxa®-¥ab®+¥ccb 同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念，值得注意：判斷ò要求ò-¥c+¥-¥f(x)dx的收斂性不能用f(x)dxr®+¥-rlimòrf(x)

26、dx的極限存在性.必須+¥f(x)dx和òc+¥兩個(gè)反常積分都收斂，才能知道ò-¥+¥f(x)dx是收斂的，但是如果已經(jīng)知道ò么計(jì)算r®+¥ò-rlimr-¥f(x)dx是收斂的，而求它的值，那f(x)dx是可以的. （2）常用公式 ò+¥11ì=, p>1收斂，dxïp-1íxpïî p£1發(fā)散， dx=x(lnx)pò1+¥ò+¥e1ì=, p&g

27、t;1收斂，duïíp-1upïî p£1發(fā)散， ò+¥aì收斂(l0）xke-lxdxíî發(fā)散(l£0），(k³0） 2.無界函數(shù)的反常積分（瑕積分） （1）概念： 設(shè)baf(x)limf(x)=¥-a，b)x®b在內(nèi)連續(xù)，且，則稱b為f(x)的瑕點(diǎn)，b-e®o+af(x)dx=limòòe定義f(x)dx b若極限存在，則稱反常積分òa若極限不存在，則稱反常積分òa的概念. 設(shè)f(x)bbf(x)dx收

28、斂，且它的值就是極限值.f(x)dx發(fā)散，發(fā)散的反常積分沒有值lim+f(x)=¥(a，bx在內(nèi)連續(xù)，且®a，則稱a為f(x)的瑕點(diǎn)， b®0+a+ef(x)dx=limòòe定義af(x)dx b若極限存在，則稱反常積分òabf(x)dx收斂，且它的值就是極限值，f(x)dxò若極限不存在，則稱反常積分發(fā)散，它沒有值. a設(shè)的瑕點(diǎn)， f(x)limf(x)=¥a，c)(c，b在和皆連續(xù)，且x®c，則稱c為f(x)定義cbc-e1acòbaf(x)dx=òf(x)dx+òf(

29、x)dx=lim+òe1®0af(x)dx+lim+òe2®0bc+e2f(x)dx (值得注意：這里判別收斂性時(shí)，e1和e2要獨(dú)立地取極限，不能都+e®0用來代替) f(x)dxò若上面兩個(gè)極限都存在時(shí)才稱反常積分是收斂的，否則ab反常積分òabf(x)dx發(fā)散. dxì收斂 (q1時(shí)）ò0xqíî發(fā)散 (q³1時(shí)）1（2）常用公式：1 1dxdxqòqò0x-1）類似地考慮（和-1x 最后指出：由于反常積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運(yùn)算法則

30、和極限的運(yùn)算法則就可以得到反常積分的運(yùn)算法則. (乙)典型例題 一、用常規(guī)方法計(jì)算定積分 【例1】 求下列定積分 （1）ò0（3）ò02px2cosxdx （2）ò0 2p23xarctanxdx ln2ex-1dx2p解 （1）ò02pxcosxdx=òxdsinx=xsinx0-2òxsinxdx002p2p222p2p 2òxdcosx=2xcosx0-2òcosxdx00 4p-2sinx0=4p2p （2）ò3013x213x232xarctanxdx=òarctanxdx=arcta

31、nx0-òdx2002221+x 313æ1öarctan3-òç1-dx2÷02è1+xø 2p2-12(3-arctanx03)=p2-31p2p3+=-22332 （3）令dx=ex-1=t,x=ln(t2+1) 2tdt,x=02t+1時(shí)t=0；x=ln2時(shí)，t=1 于是òln201é2t21ùe-1dx=ò2dt=2òê1-dt2ú0t+10ë1+tû x11æpö2t-arctant0=2

32、31;1-÷è4ø 【例2】 計(jì)算下列定積分（分段函數(shù)） （1）ò-1（3）ò-231x2-3xdx （2） 0òe1elnxdx min1,x2dx1解 （1）ò-1（2）x2-3xdx=ò1-1(x2-3x)dx-ò(x2-3x)dx=30e11 òe1elnxdx=ò1(-lnx)dx+òlnxdxe (-xlnx+x)1+(xlnx-x)1=2æç1-1eeè1ö÷eø 3（3）ò3-2min1,x

33、2dx=òdx+òx2dx+òdx=-2-11-11113 二、用特殊方法計(jì)算定積分 【例1】 計(jì)算下列定積分 p（1）i=ò20f(sinx)dxf(sinx)+f(cosx) （f為連續(xù)函數(shù)，f(sinx)+f(cosx)¹0） p（2）i=ò4ln(1+tanx)dx0 解 （1）令px=p-t2，則 i=ò20pf(cost)ppdt,2i=ò2dt=,i=0f(cost)+f(sint)24 （2）令0x=p-t4，則 p2é1-tantù4i=òplnê1+d(-

34、t)=lndtòú01+tant1+tantëû4 p4ln2-i,2i=p4ln2,i=p8ln2 f(x)=lnx-òf(x)dx1e【例2】 設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足e，求ò1ef(x)dx 解 f(x)dx=aò令，則f(x)=lnx-a， 1兩邊從1到e進(jìn)行積分，得 òe1f(x)dx=òlnxdx-òadx=(xlnx-x)1-a(e-1)11eee 于是a=e-(e-1)-a(e-1),ea=1,a=e1e 則ò1f(x)dx=1e 三、遞推公式形式的定積分 【例1】設(shè)in

35、=òsinnxdx(n=01，2，)2p0 求證當(dāng)n³2時(shí)，求in 解（1）in=n-1in-2n in=òsin2pn-10xd(-cosx)=-sinp2n-1xcosx+òcosxd(sinn-1x)22pp00 =(n-1)òcosxsin20n-2xdx=(n-1)ò(1-sin2x)sinn-2xdx2p0 =(n-1)in-2-(n-1)in nin=(n-1)in-2p2，則p2in=n-1in-2(n³2)n p2（2）i0=òdx=0，i1=òsinxdx=10 當(dāng)n=2k，正偶數(shù)時(shí)，

36、 in=i2k=2k-12k-12k-3i2k-2=2k2k2k-21i02 2k)!p2k)!p(=2k22k22(k!)2(2k!) 2i13 當(dāng)n=2k+1，正奇數(shù)時(shí)， in=i2k+1=2k2k2k-2i2k-1=2k+12k+12k-122k!)(=k22k(k!)=(2k+1)!(2k+1)!2 2【例2】 設(shè)jn=òcosnxdx(n=01，2，)0p，2，)，求證：jn=in(n=01 pæpö2x=-t，jn=òpcosç-t÷d(-t)=òsinntdt022è2ø證 令 p0n1，2

37、，)(n=0，則 jn=in 【例3】 設(shè)求證：kn=kn=òtan2nxdx (n=1，2，3，4p0) 1-kn-12n-1 2，3，)(n=1，求kn 解（1）kn=òtan4p2(n-1)0x(sec2x-1)dxxdtanx-kn-1 （2）=òtan4p2(n-1)0 =p41-kn-12n-1 2p42k1=òtanxdx=secx-1)dx(ò00 4=tanx-x =1-40 ， pp1æpö1é1æpöùk2=-ç1-÷，k3=-ê-&

38、#231;1-÷ú3è4ø5ë3è4øû 當(dāng)n>3，正整數(shù)時(shí) kn=(-1)np4+(-1)n-1k-1né-1)ù(ê1+åú2k-1êúëk=2û 四、重積分 （一）二重積分的性質(zhì)與概念 定義：設(shè)d是錯(cuò)誤！未找到引用源。面上的有界閉區(qū)域，錯(cuò)誤！未找到引用源。在d上有界，將區(qū)域d任意分成n個(gè)小閉區(qū)域錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。既表示第i個(gè)小閉區(qū)域又表示它的面積，在每個(gè)小區(qū)域錯(cuò)誤！未找到引用源。上任意取

39、一點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。，作n個(gè)乘積錯(cuò)誤！未找到引用源。，然后作和式 記錯(cuò)誤！未找到引用源。，如當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，以上和式有確定的極限，則稱該極限為錯(cuò)誤！未找到引用源。在區(qū)域d上的二重積分，記作錯(cuò)誤！未找到引用源。或錯(cuò)誤！未找到引用源。，即 其中錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為被積函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為被積表達(dá)式，錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為面積元素，錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為積分變量，d稱為積分區(qū)域，錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為積分和式 幾何意義 當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。等于以區(qū)域d為底，曲面錯(cuò)誤！未找到引用源。為頂?shù)那斨w體積； 當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到

40、引用源。等于以上所說的曲頂柱體體積的相反數(shù)； 當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。等于區(qū)域d的面積。 1.二重積分的性質(zhì) 存在性：若錯(cuò)誤！未找到引用源。在有界閉區(qū)域d上連續(xù)，則錯(cuò)誤！未找到引用源。存在 線性性質(zhì)： 區(qū)域可加性 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。只在它們的邊界上相交，則： 有序性 若在區(qū)域d上錯(cuò)誤！未找到引用源。，則有： 特殊地，有 估值不等式 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在區(qū)域d上有最大值m，最小值m，錯(cuò)誤！未找到引用源。是d的面積，則有： 積分中值定理 設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。在有界閉區(qū)域d上連續(xù)，錯(cuò)誤！未找到引

41、用源。是d的面積，則至少存在一點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使錯(cuò)誤！未找到引用源。 例1 試用二重積分表示極限錯(cuò)誤！未找到引用源。. 解：錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。. 例2 估計(jì)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。 解：因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，積分區(qū)域錯(cuò)誤！未找到引用源。，在d上錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值錯(cuò)誤！未找到引用源。，最小值錯(cuò)誤！未找到引用源。，故: （二）二重積分的計(jì)算（一） 直角坐標(biāo)系 x型區(qū)域 將區(qū)域d投影到x軸上，投影區(qū)間為錯(cuò)誤！未找到引用源。，d的邊界上下兩條曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。，則d表示為： y型區(qū)域 將區(qū)域d投影到y(tǒng)軸上，投影區(qū)間為錯(cuò)誤！未

42、找到引用源。，d的邊界上下兩條曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。，則d表示為： 例1 計(jì)算所圍成的閉區(qū)域。 解： ，其中d是由直線錯(cuò)誤！未找到引用源。（三） 二重積分的計(jì)算（二） 極坐標(biāo)系 極點(diǎn)在d外，則第五篇：高數(shù)積分總結(jié)第四章 一元函數(shù)的積分及其應(yīng)用 第一節(jié) 不定積分 一、原函數(shù)與不定積分的概念 定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)f(x)，使得f¢(x)或df=f(x)(x)=f(x)dx,則稱f(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù) 定義2.函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)f(x)+c叫做f(x)的不定積分，記為: òf(x)dx=f(x)+c f(x)叫做被積函數(shù) f(x)

43、dx叫做被積表達(dá)式 c叫做積分常數(shù) “ò其中 ”叫做積分號(hào) 二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式 性質(zhì)1. 不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即 (f(x)dx)=f(x)；dòf(x)dx=f(x)dx. ò性質(zhì)2. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)任意函數(shù)，即¢òf¢(x)dx=f(x)+c,或òdf(x)=f(x)+c 性質(zhì)3. 非零的常數(shù)因子可以由積分號(hào)內(nèi)提出來，即 òkf(x)dx=kòf(x)dx(k¹0). 性質(zhì)4. 兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每

44、個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即 òf(x)±g(x)dx=òf(x)dx±òg(x)dx 基本積分公式 (1)òkdx=kx+c (k為常數(shù)) (2)òxmdx=1m+1xm+1+c(m¹-1) 1(3)òdx=lnx+c x (4)òexdx=ex+c (6)òcosxdx=sinx+c (8)òsec2xdx=tanx+c (10)òsecxtanxdx=secx+c (12)òsecxdx=lnsecx+tanx+c (14)ò(16)

45、2;11+x11-x2(5)òaxdx=axlna+c(7)òsinxdx=-cosx+c (9)òcsc2xdx=-cotx+c (11)òcscxcotxdx=-cscx+c (13)òcscxdx=lncscx-cotx+c (15)ò 11-x22dx=arctanx+c dx=arcsinx+c dx=arcsinx+c 三、換元積分法和分部積分法 定理1. 設(shè)j(x)可導(dǎo)，并且f(u)du=f(u)+c. 則有 òòfj(x)j¢(x)dxf(u)+c湊微分òfj(x)dj(x)令u=j(x) òf(u)du代回u=j(x)f(j(x)+c該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法 定理2.設(shè)x數(shù)f=j(t)是可微函數(shù)且j¢(t)¹0，若f(j(t)j¢(t)具有原函(t)，則 x=j(t)換元òf(x)dx òféë