方程思想的應用

1、方程的轉化與應用蒲陽鎮(zhèn)中學劉麗霞課程立意：數(shù)學的思想方法是數(shù)學學科的靈魂。它并非只是在解題中巧妙的解題思路或技巧，而是解決現(xiàn)實中實 際問題的策略。我們在日常教學中對數(shù)學方法和數(shù)學思想的滲透總是感到學生學而不透，不能學而致用。 本節(jié)課想通過的與數(shù)學相關的實際問題為載體，來培養(yǎng)學生對于方程思想的轉化與應用。進而使數(shù)學思想 方法 “內(nèi)化”在學生的思維方式之中。教學目標：知識與技能：掌握一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組和分式方程的應用技巧。體會并理解實際問題中如何轉化為方程問題。過程與思考：通過列方程解實際問題的過程中，強化方程的模型思想，培養(yǎng)學生解決現(xiàn)實問題的意識和應用能力。通過學生解決問

2、題的深入探索。培養(yǎng)其歸納、概括的能力。情感態(tài)度與價值觀：通過積極參與數(shù)學學習活動，培養(yǎng)學生獨立思考、積極探索、團結合作的精神。在用方程模型解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學的實用性，培養(yǎng)應用數(shù)學的意識，提高學習數(shù)學的興趣。重點與難點：重點：學生經(jīng)歷和體驗利用方程模型解決實際問題的過程。難點：體會并理解實際問題中如何轉化為方程問題。教學設計：教師活動學生活動設計意圖課堂 引入師：大家好，今天我們共同探討學習一堂特殊的數(shù) 學課，也同時向前來聽課的老師表示熱烈的歡 迎。經(jīng)過初中近三年的學習各位同學已掌握許 多的數(shù)學技巧和方法，今天我就來考T大家 能否順利地解決這些實際問題。大家有沒有信 心？好，我們開始

3、！生：學生積極回應。通過教師的語言提 高學習興趣，讓學 生積極參與教師的 活動?！纠弧浚?007年河北?。?.我國古代的“河圖”是由 3X3的方格構成，每個方格內(nèi)均有數(shù)目小同的點 圖，每一行、每一列以及每一條對角線上的三個點 圖的點數(shù)之和均相等.生：認真思考，呈現(xiàn)多樣 的做法，最終學生會 發(fā)現(xiàn)題中的等量關系 （每一行、每一列以 及每一條對角線上的本題來源于生活為?；锪σ踩丈追?用，學生比較熟悉 其中的等量關系很 輕易的運用計算和教學囹4給出 “河囹”時部分占圖請你推管出三個點圖的點數(shù)之和 均相等）。多種方法化 歸為等量關系，如果方程的方法解決該 問題。活動P處所對應的點三nI IAzi O(

4、1)圖是() * * Q圖4 * * 發(fā)現(xiàn)不到教師加以引 導。利用一一次方 程可以解決。A.B.C.D.教學 活動 （1）師：請大家參加A個活動， 看你能否解決現(xiàn)實生 活中的“河圖”問題，如果解決請歸納一下你的解 題思路。生：探討問題，展現(xiàn)多種解題思路。師：點評三種做法并給于鼓勵。師：好，各位同學靜下心來， 我們思考一下我們采 用三種做法最終都是在求什么？生：都是求P處的數(shù)值。師：那么這個實際問題從問題的角度來觀察你歸納這是什么問題？生：求值問題。師：求值問題可以采用什么方法來解決？生：方程、計算。師：你發(fā)現(xiàn)這些方法之間存在什么相同點。生：方程都是依據(jù)同一個等量關系。方法之間可以 互相轉化如二

5、兀口以及為一X的。方法一：計算。方法二：設：P處對應的點為X。x+1 = 2 + 5解得：x=6，選C方法三：設二e-次方程。另外在學生解答的 過程中提煉將實際 問題中涉及求值的 問題可以采用方程 進行解決。必要時 可以點撥方程建立 的條件。教學 活動 【例二】圖10是,個半圓形橋洞截囿不思圖 直徑AB是河底線，弦 CD是水 且 CD = 24 m , OEXCD 于點 E 于點F,已測得 OE=5m.求半徑（ 二A 1O圖師：完成A環(huán)節(jié)，將 OE=5m2 /、變。師：真棒！進入活動三，但是老師充 請你看到題目后，給出正確的結果， 生：迅速完成。,圓心為O,立線，CD/AB, .并交于半圓AB

6、 OD;F 裊: B） 10攵為EF=8 m.結論艮進一次比賽， 開始！解：OEXCD 于點 E,CD=24, ED =-CD =12. 2在RtADOE中OD2 = ED2 +OE2J. OD2 = 52 +122 =132二 OD =13m本題設有兩個環(huán) 節(jié)，學生在完成第 一環(huán)節(jié)口以通過計 算，也可以列方程。 但是完成第一環(huán)節(jié) 時會發(fā)現(xiàn)當條件發(fā) 生變化時，計算的 方法不能解決該問 題，必須轉化為方 程進行解決。利用 勾股定理列一元二教學 活動 師：統(tǒng)計表揚?，F(xiàn)在老師改變一個條件其他不變，開始比賽！師：走卜講臺巡查統(tǒng)計結果。感慨只改變一個條件 就發(fā)生這樣大的變化，看來我們必須要找到其中的 原

7、因。面向不會的同學提問：師：請問你后答案了嗎？（沒有）師：在做題中你碰到什么樣的困難？（沒有思路、 沒列出方程）師：表揚有方程思想的同學，上一活動中我們了解求值問題可以用方程的方法解決。鼓勵！可是本問題應該順利列方程來解決。（提醒方程產(chǎn)生的依據(jù)是等量關系）。尋求可以正確解答的同學，提煉其. OEXCD 于點 E ,CD=24.1. ED =-CD =12. 2在RtADOE中設 OD=x m OE=(x-8)mOD2 = ED2 +OE2J. x2 =122 +(x-8)2二 OD =13m次方程進行求解。想通過該設計凸現(xiàn) 轉化為方程解決的 優(yōu)勢。中的等量關系。（勾股定理）師：非常棒！在這活動

8、中，條件的改變，問題/、變 的情況卜就產(chǎn)生這樣不同的情況，這里一定有特殊之處。（把兩幅圖呈現(xiàn)出來比較-標上未知量，列出 相應的代數(shù)式。）你知道嗎？生：計算解決/、了的問題，方程可以解決！師：如果學生不能指明兩種情況的差異，教師可以講解，另外體現(xiàn)出方程比計算優(yōu)越，方程是一種解決實際問題的重要模型， 真心的希望大家可以將方 程的思想內(nèi)化到心靈的深處?！纠咳鐖D9,兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，、，一一,，一，,、一、，1在桶中加入水后， 一根露出水面的長度是它的-,另一根露出水面的長度是它的-.兩根鐵棒長度2一.一 ，一5 一和為55 cm , 此時木桶中水的深度是 cm.解：設兩根鐵棒長怎為

9、 a cm 和 b cm。意可知：'a + b = 55<24-Ia = b135“2 230 父 一 =20cm3cl 4225 m = 20cm5答：木桶中的；20cm。解：木桶中的z)xcm。根據(jù)題總可知3 .5,x +一 x =24£分別根據(jù)題a = 30本題通過現(xiàn)實有趣 的數(shù)學情景，將方 程思想巧妙地蘊含 其中.此外，解法 的多樣性也是本題 的一大特點，既可教學 活動 （3）師：完成本題歸納方法。要求未知量可以建立方程進行求解。提煉題目的等量關系：兩根鐵棒長度之和為 55 cm。 兩根鐵棒沒入水中的長度相同。將等量關系再轉化為方程。師：完成本題歸納方法。1叫P

10、圖91b = 25或水深是K深為1：55以漱成?；锪?程的模型（設水的 深度為未知數(shù)），又 可以形成二e-次 方程組的模型（設 兩根木棒的長度為 未知數(shù)），還口以有 其他方法.這樣使 學生單向封閉的思 路拓展成多維開放 的思路，有效地培 養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思 維能力.解得：x=20cm答：木桶中的水深是20cm議一議談一談經(jīng)過三個活動的探索方程的轉化和應用。請你談一談你的心得和體會。我們接觸形形色色的實際問題，我們發(fā)現(xiàn)在求 值的情況下，我們不能一下就求出未知量的值，我們可以探索其蘊含的等量關系（有的是隱含的等量 關系、有的是利用直角三角形的勾股定理、有的是利用平行四邊形的性質(zhì)、有的是利用相似的性質(zhì)

11、 等）轉化為方程，進而求值。學生暢談歸納總結，提煉升 華的過程?！就卣埂?2)如圖 8,若 PQ/ DC,本題為2007年的如圖16 ,在等 腰梯形 ABCD 中，AD / BC , AB=DC=50, AD=75, BC=135.點 P 從點 B 出發(fā) 沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長的速度向又AD / BC ,則四邊形PQCD為平行四邊形，從中考26題運動類 型題目，題目的第 二問通過特定條件點C勻速運動；點 Q從點C出發(fā)沿線段CB方向而 PD=QC,由 QC=3t,PQ / DC.求 t 的以每秒3個單位長的速度勻速運動， 點P、BA+AP=5t值。通過化動為靜Q同時開始運動，當點P與點C重合時停止運動，得 50 + 755t=3t,解得的原則形成符合題教學 活動點Q也隨之停止.設點P、Q運動的時間是t秒(t >0).t=B.8經(jīng)檢驗，當t=!25時，有8意的示意圖。再將條件轉化為PD=QCo進而形成含t的方程。(5)(2)當點P運動到