高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要

1、高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要第七章：微分方程一、微分方程的相關(guān)概念1.微分方程的階數(shù)：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.2.微分方程的解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.通解：所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同的解稱為微分方程的通解.特解：確定了任意常數(shù)的通解稱為微分方程的特解.3. 特解與通解的關(guān)系：可通過初始條件確定通解中的常數(shù)而得到滿足條件的特解；也可通過方程的表達(dá)式直接觀察得到特解，因此特解不總包含在通解中.二、微分方程的常見類型及其解法1. 可分離變量的微分方程及其解法(1). 方程的形式：g( y) dyf ( x)dx .(2).方程的解法：分離變

2、量法(3).求解步驟 .分離變量，將方程寫成g( y)dy f ( x)dx 的形式； .兩端積分： g ( y)dyf (x)dx ，得隱式通解 G( y)F ( x) C ； . 將隱函數(shù)顯化 .2. 齊次方程及其解法(1).方程的形式： dyy.dxx(2).方程的解法：變量替換法(3).求解步驟引進(jìn)新變量 uy ，有 yux 及 dyu x du ；xdxdx代入原方程得：u x du(u) ；dx分離變量后求解，即解方程dudx ；( u) ux變量還原，即再用y 代替 u .x3. 一階線性微分方程及其解法(1). 方程的形式： dyP( x) yQ( x) .dx一階齊次線性微分

3、方程: dyP( x) y 0 .dx1/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要一階非齊次線性微分方程: dyP( x) yQ( x)0 .dx(2). 一階齊次線性微分方程dyP(x) y 0的解法 :分離變量法 .dx通解為 yCe P (x )d x ,( CR). (公式)(3). 一階非齊次線性微分方程dyP( x) yQ(x)0 的解法 : 常數(shù)變易法 .dx對(duì)方程 dyP( x) yQ( x) ，設(shè) yu( x)eP( x)d x 為其通解，其中u(x) 為未知函數(shù)，dx從而有dyu ( x) eu(x) P( x)eP (x) d x ，P( x) d xdxu ( x) eP ( x

4、) d xP ( x) d x代入原方程有u( x) P( x)e整理得u (x)Q( x) eP ( x) d x，() ()eP (x) d x(x) ，Px uxQ兩端積分得 u(x)Q( x) e P( x) d xdx C ，再代入通解表達(dá)式，便得到一階非齊次線性微分方程的通解y e P( x)d x (Q( x)e P( x) d xdx C) Ce P( x) d x e P (x )d x Q( x)e P (x) d x dx ，( 公式 )即非齊次線性方程通解=齊次線性方程通解+非齊次線性方程特解.第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量a (xa , ya , za ),

5、b(xb , yb , zb ), c ( xc , yc, zc )1. 向量 a( xa , ya , za ) 與 b(xb , yb , zb ) 的數(shù)量積： aba b cosxa xb xb yb za zb ；ijk2. 向量 a( xa , ya , za ) 與 b( xb , yb , zb ) 的向量積： abxayaza .xbybzba ba b sin 的幾何意義為以 a, b 為鄰邊的平行四邊形的面積 .3. 向量 r ( x, y, z) 的方向余弦：cosx, cosy, cosy，x2y2z2x2y 2x2y 2z2z2cos2cos2cos21； sin

6、2sin 2sin 22 .4. 向量 a( xa , ya , za ) 與 b(xb , yb , zb ) 垂直的判定：2/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要a ba b 0xa xbxb yb za zb0 .5.向量 a( xa , ya , za ) 與 b( xb , yb , zb ) 平行的判定：a / ba b0axaxbzak .kb, k 0ybzbxb6.三向量共面的判定：kambnc0a,b,c 共面 .7.向量 a( xa , ya , za ) 在 b( xb , yb , zb ) 上的投影： Pr j aba b xa xbxb ybza zb .axa2ya2

7、za2二、平面1. 過點(diǎn) P(x0 , y0 , z0 ) ，以 n ( A, B, C ) 為法向量的平面的點(diǎn)法式方程：A( xx0 )B( yy0 )C (zz0 )0 .2.以向量 n( A, B,C ) 為法向量的平面的一般式方程：AxByCzD0 .3.點(diǎn) M ( x1, y1, z1) 到平面 AxByCzD0 的距離 dAx1By1cz1 DA2B2.C 24.平面1: A1 xB1 yC1 zD10 與2: A2 xB2 yC2 zD 20平行的判定：1 /n1 / n2A1B1C1D12A2B2C 2.D 25.平面1: A1 xB1 yC1 zD10 與2: A2 xB2

8、yC2 zD 20垂直的判定：12n1n2A1 A2B1 B2C1C2 0 .6.平面1: A1 xB1 yC1 zD10 與2: A2 xB2 yC2 zD 20的夾角：cosA1 A2B1 B2 C1C2A12B12C12A22B22C22三、直線1. 過點(diǎn) P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s( m, n, p) 為方向向量的直線的點(diǎn)向式( 對(duì)稱式、標(biāo)準(zhǔn) ) 方程：xx0y y0zz0 .mnp3/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要xx0tm2. 過點(diǎn) P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s(m, n, p) 為方向向量的直線的參數(shù)式方程： yy0tn .zz0tpA1 x B

9、1 y C1z D103. 直線的一般式方程：. 方向向量為 s n1 n2 .A2 x B2 y C2 z D204. 直線方程之間的轉(zhuǎn)化：i) 點(diǎn)向式參數(shù)式ii) 一般式 點(diǎn)向式第一步：找點(diǎn)第二步：找方向向量sn1n25.直線 L1 : xx1yy1zz1 與 L2 : xx2yy2zz2平行的判定：m1n1p1m2n2p2L1 / L2s1 / s2m1n1p1 .m2n2p26.直線 L1 : xx1yy1zz1 與 L2 : xx2yy2zz2垂直的判定：m1n1p1m2n2p2L1L2s1s2m1m2n1 n2p1 p20 .7.直線 L1 : xx1yy1zz1 與 L2 : x

10、x2yy2zz2的夾角：m1n1p1m2n2p2cosm1 m2n1n2p1 p2.m12n12p12m22n22p228.直線 L : xx0yy0zz0 與平面: AxByCzD0垂直的判定：lmnLS/ NlmnAB.C9.直線 L : xx0yy0zz0 與平面: AxByCzD0平行的判定：lmnL /SNAlBmCn0 .10.直線 L : xx0yy0zz0 與平面: AxByCzD0 的夾角：lmnsinAm BnCp.A2B2C 2m2n2p 24/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要11. 點(diǎn) P( x0 , y0A1 x B1 y C1 z D10PM s, z0 ) 到直線的

11、距離： d，其中 M 是直線上任意一點(diǎn)， s n1 n2 .A2 x B2 y C2 z D20s四、曲線、曲面1. yoz平面上的曲線 C ： f ( y, z)0 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為S ： f (x2y 2 , z) 0 .F ( x, y, z)0H ( x, y) 0 ；2. 空間曲線 C ：關(guān)于 xoy 平面上的投影柱面方程為：G( x, y, z)0在 xoy 平面上的投影曲線為 C ：H (x, y) 0z.0第九章：多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、平面點(diǎn)集1. 內(nèi)點(diǎn)一定在點(diǎn)集內(nèi)，但點(diǎn)集內(nèi)的點(diǎn)未必是點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，還有孤立點(diǎn)；2. 聚點(diǎn)可以是點(diǎn)集的邊界點(diǎn)，也可以是點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)

12、，但不可以是點(diǎn)集的外點(diǎn)和點(diǎn)集內(nèi)的孤立點(diǎn)；3. 開集和閉集內(nèi)的所有點(diǎn)都是聚點(diǎn) .二、二元函數(shù)的極限、連續(xù)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.二元函數(shù)f ( x, y) 在 (x0 , y0 ) 點(diǎn)的二重極限：limf ( x, y)A .( x ,y) ( x0 , y0 )2.二元函數(shù)f ( x, y) 在 (x0 , y0 ) 點(diǎn)的連續(xù)性：limf ( x, y)f (x0 , y0 ) .( x, y) ( x0 , y0 )3.二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù) .二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.函數(shù) zf ( x, y) 對(duì)自變量 x, y 的偏導(dǎo)數(shù)：z 及z .xy2.函數(shù) zf (x, y)對(duì)自變量

13、 x, y 的二階偏導(dǎo)數(shù)：2 z、2 z 、2 z 、2 zx2y 2x yy x注：若二階混合偏導(dǎo)數(shù)2 z2 z連續(xù)，則二者相等 .與y xx y三、二元函數(shù)的全微分：dzz dxz dyxy四、二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性以及全微分存在性三者之間的關(guān)系1.函數(shù)連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系：二者沒有任何的蘊(yùn)涵關(guān)系.2. 偏導(dǎo)數(shù)存在性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在，偏導(dǎo)數(shù)存在；反之未必.( 偏導(dǎo)數(shù)不存在，全微分一定不存在)5/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，全微分存在，反之未必.3. 連續(xù)性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在，函數(shù)一定連續(xù)；( 函數(shù)不連續(xù)，全微分一定不存在)函數(shù)連續(xù)，全

14、微分未必存在.五、二元復(fù)合函數(shù)的偏( 全 ) 導(dǎo)數(shù)1. 中間變量為兩個(gè)，自變量為一個(gè)的復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：zf (u,v),u(t), v(t ), zf (t ),(t) ，dzz duz dvdtu dtv dt2. 中間變量為兩個(gè)，自變量為兩個(gè)的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：zf (u,v),u( x, y),v( x, y), zf ( (x, y), ( x, y) ，zzuzv ,zz uzvxuxvxyu xvx六、隱函數(shù)微分法1. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)微分法：F ( x, y, z)0 確定隱函數(shù)z f ( x, y) ，直接對(duì)方程左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即F dxF dyFz0，即x

15、 dxy dxzxF1F 0Fz0 ，解得zFx'xyzxxFz'2. 由方程組確定的隱函數(shù)組微分法：F (x, y, u, v)0uu( x, y)G(x, y, u, v)0確定隱函數(shù)，vv(x, y)F dxF dyFuFvx dxy dxuxv0直接對(duì)方程組左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即xG dxG dyGuG，即vx dxy dxuxv0xFFuFv0xuxvxuv，可以解出GGuGvx, .0xxuxvx七、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1. 曲線的切線方程和法平面方程6/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要x(t ),1). 以參數(shù)式方程 y(t ), 表示的曲線在 tt0 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

16、 M ( x0 , y0 , z0 ) 的z(t )xx0y y0z z0切線方程：' (t 0 )' (t 0 )' (t0 )法平面方程：' (t0 )( xx0 )' (t0 )( y y0 )' (t0 )( z z0 ) 02).F ( x, y, z)0表示的曲線在點(diǎn) M( x0 , y0 , z0 ) 的切線和法平面方程：以一般式方程0G( x, y, z)F ( x, y, z)0yf (x)dy , dz先用方程組G( x, y, z)0確定的隱函數(shù)組z微分法求出，然后得到切線的方向向量g (x)dx dxdydzn1, dxx

17、 x0 , dxx x0切線方程： xx0y y0zz01f ' ( x0 )g ' ( x0 )法平面方程： xx0f ' ( x0 )( yy0 ) g ' (x0 )( zz0 )02. 曲面的切平面方程和法線方程1). 以一般式方程 F ( x, y, z)0 表示的曲面在點(diǎn)M (x0 , y0 , z0 ) 的切平面和法線方程：切平面線方程： Fx' (M )( xx0 ) Fy' (M )( yy0 ) Fz' (M )(z z0 )0法方程：xx0yy0zz0Fx' (M ) Fx' ( M ) Fz'

18、; (M )2). 以特殊式方程 zf (x, y) 表示的曲面在點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面和法線方程：令 F ( x, y, z)f (x, y)z0 ，有曲面在點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面的法向量N ( Fx' (M ), Fy' (M ), Fz' (M ) ( fx' (x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 ), 1)切平面線方程： f x' ( x0 , y0 )( x x0 )f y' ( x0 , y0 )( y y0 ) ( z z0 )0法方程：xx0yy0zz

19、0 .f x' ( x0 , y0 )f x' (x0 , y0 )13. 方向?qū)?shù)與梯度：7/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要1).方向?qū)?shù)：flimf ( xx, yy)f (x.y)l02).方向?qū)?shù)存在條件：可微分函數(shù)z f ( x, y) 在一點(diǎn)沿任意方向l 的方向?qū)?shù)都存在，并且fz cosz cos ，其中 cos, cos是方向 l 的方向余弦 .lxy3).梯度：函數(shù)f ( x, y, z) 在點(diǎn) M ( x0 , y0, z0 ) 處的梯度grad f ( x0 , y0 , z0 )f x( x0 , y0 , z0 )if y ( x0 , y0 , z0

20、 ) jfz (x0 , y0 , z0 )k ( ).4).方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系： . 函數(shù) f ( x, y, z) 在點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 ) 處 增 加最 快 的 方 向 是其 梯 度 grad f ( x0 , y0 , z0 ) 的 方 向， 減 小最 快 的方 向 是grad f ( x0 , y0 , z0 ) 的方向 . 函數(shù) f (x, y, z) 在點(diǎn) M (x0 , y0 , z0 ) 沿任意方向的方向?qū)?shù)的最大值為grad f (x0 , y0 , z0 ) .八、極值、條件極值1.函數(shù) zf (x, y) 的極值點(diǎn)和駐點(diǎn)的關(guān)系：函數(shù)zf (x, y)

21、 的極值在其駐點(diǎn)或不可偏導(dǎo)點(diǎn)取得.2. 求函數(shù)極值的步驟：(1). 對(duì)函數(shù) zf x' ( x, y)0f ( x, y) 求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組，得所有駐點(diǎn) (xi , yi ) .f y' ( x, y)0(2). 對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn) ( xi , yi ) ，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A fxx''( xi , yi ), B f xy'' ( xi , yi ), C f yy'' ( xi , yi ) .(3). 計(jì)算 B2AC ，根據(jù) B2AC 以及 A 的符號(hào)判定f (xi , yi ) 是否是極值：若 B 2AC0, A0，則

22、f (xi , yi ) 是極小值；若 B 2AC0, A0 ，則 f (xi , yi ) 是極大值；若 B 2AC0, ，則f (xi , yi ) 不是極小值；若 B 2AC0, ，則f (xi , yi ) 是否是極值不能判定，需其他方法驗(yàn)證 .3. 求函數(shù) zf ( x, y) 在附加條件 ( x, y)0 下的條件極值的方法：做拉格朗日函數(shù)F ( x, y)f ( x, y)( x, y) ，對(duì)自變量 x, y 求偏導(dǎo)，建立方程組Fx'(x, y)f x' ( x, y)x' ( x, y)0Fy'(x, y)f y' ( x, y)y

23、9; ( x, y)08/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要Fx' ( x, y)fx' (x, y)x' ( x, y)0與附加條件聯(lián)立的方程組Fy' ( x, y)f y' ( x, y)y' ( x, y)0 ，解出的 x, y 就是函數(shù) zf (x, y) 的可能極值點(diǎn) .(x, y)0第十章：重積分一、二重積分的相關(guān)性質(zhì)1.有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)f ( x, y) 在該區(qū)域 D 上二重積分f ( x, y)d 存在；D2.若函數(shù) f ( x, y) 在有界閉區(qū)域 D 上二重積分存在f ( x, y)d ，則 f ( x, y) 在該區(qū)域上有

24、界；D3. 中 值 性 ： 若 函 數(shù) f ( x, y)f ( x, y) df ( x, y)D在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)，區(qū)域D的面積為，則在D 上至少存在一點(diǎn)(,) ，使得.4.1d，區(qū)域 D 的面積為.D二、二重積分的計(jì)算1. 利用平面直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 1). 先對(duì) y 后對(duì) x 積分，由于積分區(qū)域 D : axb；1 (x)y2 ( x) ，有f ( x, y)db2 ( x)f ( x, y)dy .dx1 ( x)Da2).先對(duì) x 后對(duì) y 積分，由于積分區(qū)域 D : cyd ；1 ( y)x2 ( y) ，有f ( x, y)dd2 ( y)f (x, y)dx .dy1(

25、 y)Dc3).b2 ( x )f ( x, y)dyf ( x, y) dd2 ( y )積分換序：dx1 ( x)dyf ( x, y)dx .aDc1 ( y)2. 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分xcosD :1 ()x2 ( ) ，有令，由于積分區(qū)域；ysinf ( x, y)dd2 ( ),sin)d .f ( cosD1 ( )三、三重積分的相關(guān)性質(zhì)：1VdVV ，區(qū)域的體積為.四、三重積分的計(jì)算9/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分積分區(qū)域 V ： axb ； y1 ( x)yy2 ( x) ； z1 ( x, y)zz2 (x, y) ，有bdxy2 ( x

26、)z2 ( x, y)f ( x, y, x)dVdyf (x, y, z) dzay1 ( x)z1 ( x, y)第十一章：曲線積分曲面積分一、曲線積分的計(jì)算1. 第一型曲線積分的計(jì)算：若曲線 C 的參數(shù)方程是：x(t),t0 tt1，則第一型曲線積分y(t),f (x, y)dst 1(t ),(t )' 2 (t )' 2 (t) dtf Ct 02. 第二型曲線積分的計(jì)算：若曲線C 的參數(shù)方程是：x(t),t t1 ， t0tA , t1tB 分 別 對(duì) 應(yīng) 曲 線 的 兩 個(gè) 端 點(diǎn) ， 則 第 一 型 曲 線 積 分yt 0(t ),P(x, y)dx Q(x,

27、y)dyt1(t ), (t)' (t) Q(t ), (t )' (t)dtP(Ct03. 格林公式 ( 聯(lián)系曲線積分和二重積分 )設(shè)有界閉區(qū)域D 由分段光滑曲線C 所圍成， C 取正向，函數(shù)P(x, y), Q ( x, y) 在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式Pdx QdyQPDdxdy .Cxy注： 1. 可用第二型曲線積分計(jì)算該曲線所圍成區(qū)域的面積：設(shè)有界閉區(qū)域D 由取正向的光滑曲線C 所圍成，則區(qū)域D 的面積為dxdy1ydxxdy .2CD2. 函數(shù) P(x, y), Q( x, y) 在區(qū)域 D上連續(xù) .二、曲面積分的計(jì)算1. 第一型曲面積分的計(jì)算：若曲

28、面 S 的方程是： zz( x, y) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈 xy ，函數(shù) f ( x, y, z) 在 S 上連續(xù)，則第一型曲面積分f ( x, y, z)dSf z, y, z( z, y) 1 zx'2zy'2 dxdySDxy2. 第二型曲面積分的計(jì)算：若正向曲面 S 的方程是： zz( x, y) ，且在 xoy 平面上的投影區(qū)域?yàn)镈 xy ，函數(shù) R(x, y, z) 在 S 上連續(xù)，則第二型曲面積分10/12高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要R( x, y, z)dxdyR x, y, z( x, y)dxdy ，SDxy同理可得P( x, y, z) dydzR x( y, z), y, z)dydz ；SD yzQ( x, y, z) dzdxQ x, y(z, x), z)dzdxSD zx3. 高斯公式 ( 聯(lián)系曲面積分和三重積分 )若函數(shù) P(x, y, z), Q(x, y, z) 在空間有界閉區(qū)域 及其光滑邊界曲面S 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式：Pdydz Qdzdx RdxdyPQR dxdydz.Sxyz注：設(shè)空間有界閉區(qū)域 由光滑封閉曲面 S 所圍成，則區(qū)域 的體積為1xdydz ydzdx zdxdy.V3S4. 斯托克斯公式 ( 聯(lián)系曲面積分和三重積分 )若 函 數(shù) P