高等數(shù)學第一章的總結

1、整理ppt整理ppt 性質（閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)）性質（閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)） 函數(shù)函數(shù) 極限（數(shù)列極限、函數(shù)極限）極限（數(shù)列極限、函數(shù)極限） 連續(xù)（或間斷）連續(xù)（或間斷）內(nèi)容內(nèi)容整理ppt一、函數(shù)一、函數(shù)：:函數(shù)的分類函數(shù)的分類函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項等有無窮多項等函數(shù)函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項式函數(shù)多項式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函分式函數(shù)數(shù)) )整理ppt鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設設a)(0aU,叫做這鄰域的中心叫做這鄰

2、域的中心點點a.叫做這鄰域的半徑叫做這鄰域的半徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點點 a. 0axx,鄰域鄰域的的稱為點稱為點數(shù)集數(shù)集 aaxx ).(0aU 記記作作整理ppt絕對值絕對值: : 00aaaaa)0( a運算性質運算性質:;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對值不等式絕對值不等式:整理ppt函數(shù)的特性：M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱

3、稱函函數(shù)數(shù)Xxf整理ppt數(shù)列的有界性數(shù)列的有界性：定義: 對數(shù)列nx, 若存在正數(shù)M, 使得一切正整數(shù)n, 恒有Mxn 成立, 則稱數(shù)列nx有界,否則, 稱為無界.補充內(nèi)容補充內(nèi)容：1.單調遞增且有上界數(shù)列必有極限。單調遞增且有上界數(shù)列必有極限。2.單調遞減且有下界數(shù)列必有極限單調遞減且有下界數(shù)列必有極限。整理ppt2函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù),2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上上是是單單調調增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy

4、 )(1xf)(2xfxyoI整理ppt)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是單調減少的上是單調減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù),2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有整理ppt3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對對于于關關于于原原點點對對稱稱設設,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為為偶偶函函數(shù)數(shù)稱稱xf整理ppt有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD )()(xfxf ;)(為

5、為奇奇函函數(shù)數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 整理ppt函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù)如如果果存存在在一一個個不不為為零零的的)()(xflxf 且且為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對于任一使得對于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl.恒成立恒成立整理ppt 典型例題典型例題例例.)16(log2)1(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 2

6、14xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即整理ppt例例.)3(,212101)(的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設設 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故整理ppt思考題思考題設設0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達達式式.整理ppt思考題解答思考題解答設設ux 1則則 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf整理ppt二、極限函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(l

7、imAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)整理ppt過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 )(xf Axf)(整理ppt思考題思考題試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當當0

8、x時時，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？整理ppt思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理lim( )0lim( )0.fxfx補充結論：補充結論：lim( )lim( ).(0)fxafxaa整理ppt小結小結: :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim(

9、)(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應用則商的法則不能應用若若 xQ整理ppt解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得例例.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx整理ppt解解例例.321lim221

10、xxxx求求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)整理ppt例例.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)

11、整理ppt結論結論: :為為非非負負整整數(shù)數(shù)時時有有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.整理ppt例例).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個無窮小之和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.00 . 00 整理p

12、pt例例. 證明證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準則 .nnnnn222121122nnn22nn且22limnnnn1lim1nn122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由整理ppt)(1lim21nnnnneeen nnnnnnneneeeen11111lim)1(1)1(1lim 解解：原原式式. 1)1ln(lim)1()1ln(lim)1(100 eueuueuuu例：例：10d1xexe整理ppt1.求極限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242. 求極限).221

13、2(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左邊左邊= 右邊整理ppt故極限存在，例：例： 設設 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設Axnnlim則由遞推公式有1()2aAAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準則,0nx整理ppt思考與練習思考與練習1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個收斂于不同極

14、限的子數(shù)列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時, 下述作法是否正確? 說明理由.設,limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處nnxlim整理ppt例例.sinlimxxx 求求解解,1,為無窮小為無窮小時時當當xx .sin 是是有有界界函函數(shù)數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 整理ppt.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 時時的的極極限限也也存存在在，且且當當則則復復合合函函數(shù)數(shù)，又又的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)但但在在點點，即即時時的的

15、極極限限存存在在且且等等于于當當運運算算法法則則）設設函函數(shù)數(shù)定定理理（復復合合函函數(shù)數(shù)的的極極限限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：整理ppt定理定理:).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)若若意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(.2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 整理ppt定理定理:注意注意:.)(,)(,)(,)(00000也也連連續(xù)續(xù)在在點點則則復復合合函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點點而而函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在

16、在點點設設函函數(shù)數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 該該定理是上個定理的特殊情況定理是上個定理的特殊情況.整理ppt無窮小（量）：無窮?。浚?sinlim1xxx無窮小的性質 ; 無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 兩個重要極限：兩個重要極限： xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x1lim(1)xxxe2.1.整理ppt兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達式整理ppt思考與練習思考與練習填空題填空題 ( 14 );_sinli

17、m. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e整理ppt例例. 求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界整理ppt令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12整理ppt0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12

18、xxxx122e則有)()(1lim0 xvxxxu復習復習: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1整理ppt ;0,0,12sin)(2xaxxexxfax._ a上連續(xù)，上連續(xù)，在在)( 則則-2填空題：填空題：1.20sin21lim1axxxex2.0_.整理ppt極限的計算方法：極限的計算方法： 1、極限的四則運算法則及其推論；、極限的四則運算法則及其推論； 2、多項式與分式函數(shù)代入法求極限、多項式與分式函數(shù)代入法求極限; 3、消去零因子法求極限、消去零因子

19、法求極限; 4、無窮小因子分出法、無窮小因子分出法(等價無窮小代換等價無窮小代換)求極限求極限; 5、利用無窮小運算性質求極限、利用無窮小運算性質求極限; 6、利用左右極限求分段函數(shù)極限、利用左右極限求分段函數(shù)極限; 7、復合函數(shù)極限運算法則、復合函數(shù)極限運算法則;(尤其利用復合函數(shù)連續(xù)性尤其利用復合函數(shù)連續(xù)性) 8、利用兩邊夾逼準則求極限、利用兩邊夾逼準則求極限; 9、利用羅比達法則求極限利用羅比達法則求極限; 10、利用泰勒公式求極限、利用泰勒公式求極限; 11、利用定積分求極限、利用定積分求極限; 12、利用無窮級數(shù)的性質求極限、利用無窮級數(shù)的性質求極限; 整理ppt思考題思考題: 在某

20、個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf ( )( )f xg x( )( )f xg x與與是否有極限？是否有極限？整理ppt思考題解答思考題解答:沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設錯誤故假設錯誤整理ppt思考題思考題:任何兩個無窮小都可以比較嗎？任何兩個無窮小都可以比較嗎？整理ppt思考題解答思考題解答:不能不能

21、例當例當 時時 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當故當 時時 x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.整理ppt例例).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多項式是多項式設設 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中可可設設babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab從從而而得得32( )2p xxxx整理pptxxxxxcossin1

22、cos1lim0 )cos1)(cossin1(cossin1)cossin1)(cos1)(cos1(lim0 xxxxxxxxxxxxx ）（解：原式解：原式. 31sin2sin221limsin2sin22limcossin1cos1lim2202200 xxxxxxxxxxxxxxx例：例：整理pptxxxnnx2sintan1tan1lim20 xxxnnx2sin1tan11tan1lim20）（）（解解：原原式式 xxnx2sin1tan1lim0）（ xxnx2sin1tan1lim20）（ xxnx2sin)tan(1lim0 xxnx2sintan1lim20 .21n

23、例：例：整理ppt201tan1 sinlimln(1)xxxxxx思考題思考題：（如何做（如何做？）？）整理ppt) 1)(, 0)()()(xuxuxuxvbxvaxu)(lim, 0)(lim說明說明: 對于形如對于形如:的函數(shù)， 通常稱為冪指函數(shù)冪指函數(shù)如果如果那么有那么有bxvaxu)()(lim整理ppt31221222lim() ;lim();211xxxxxxxxxxx思考題思考題:整理ppt例例. 310lim(12 )?.(1)xxx.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36ex2例例. 求求310lim(3sin

24、)?xxx( )3lim ( )3v xbu xa整理ppt例例.)sin1tan1(lim310 xxxx求解解 解法討論解法討論則則設設,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln:xfxf 等等價價無無窮窮小小代代換換典型例題典型例題1 整理ppt310)1sin1tan1(1 limxxxx 原式原式310sin1sintan1 limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxco

25、s)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式整理pptxxxx1)321(lim . 3)1)32(31(3lim1 xxxx解：原式解：原式. 1)321(lim1 xxxx例：例：整理ppt., 0)21(lim332babaxxxx求求已已知知 0)121(lim33 xbaxxxx解：原式解：原式, 10)121(lim33 axbaxxx)21(lim332xxxbx )1121(lim33 xxxx)21(31lim3xxxx .32 例：例：整理ppt三、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷1. 函數(shù)連續(xù)的等價形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxf

26、yxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時當 xx有)()(0 xfxf2. 函數(shù)間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點整理ppt小結：1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點第一類間斷點:（左右極限都存在的間斷點）左右極限都存在的間斷點）.第二類間斷點第二類間斷點:（左右極限至少有一個不存在的間斷點）左右極限至少有一個不存在的間斷點）.間斷點間斷點(見下圖見下圖)整理ppt可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx

27、跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x整理ppt閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質小結：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質小結：則設, ,)(baCxf在2.( )f x上有最大值與最小值;上可取最大值與最小值之間的任何值;3. 若( ) ( )0,f a f b , ),(ba使( )0;f至少存在一個上有界;在1.( )f x,ba在4.( )f x,ba,ba整理ppt思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)

28、？整理ppt思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續(xù)續(xù).整理ppt但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)整理ppt例例.1,2cos1,1)(的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論 xxxxxf 解解改改寫寫成成將將)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在顯然顯然 xf整理ppt,1時時當當 x )(lim1xfx2)1(lim1 xx )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間間斷斷在在故故 xxf,1時時當當 x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)1()(lim)(lim11fxf