chapter向量組的線性相關性PPT課件

1、4.2 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 第1頁/共21頁上頁下頁鈴結束返回補充例題首頁v向量組的線性相關與線性無關 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0則稱向量組A是線性相關的 否則稱它線性無關 第2頁/共21頁v向量組的線性相關與線性無關 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0則稱向量組A是線性相關的 否則稱它線性無關 顯然有 (1)含零向量的向量組必線性相關 (2)一個向量a線性相關 a0 (3)兩個非零向量a1 a2線性相關 a1ka2(即對應分量成比例)

2、向量組a1 a2線性相關的幾何意義是這兩個向量共線 下頁第3頁/共21頁v向量組的線性相關與線性無關 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0則稱向量組A是線性相關的 否則稱它線性無關 向量組A a1 a2 am(m2)線性相關 也就是在向量組A中至少有一個向量能由其余m1個向量線性表示 這是因為 如果向量組A線性相關 則有k1a1k2a2 kmam0其中k1 k2 km不全為0 不妨設k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)即a1能由a2 am線性表示 下頁第4頁/共21頁v向量組的線性相關與線性無關 給定向量組A a1

3、 a2 am 如果存在不全為零的數k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0則稱向量組A是線性相關的 否則稱它線性無關 向量組A a1 a2 am(m2)線性相關 也就是在向量組A中至少有一個向量能由其余m1個向量線性表示 這是因為 如果向量組A中有某個向量(不妨設am)能由其余m1個向量線性表示 即有1 2 m1 使am1a12a2 m1am1于是 1a12a2 m1am1(1)am0因為1 2 m1 1不全為0 所以向量組A線性相關 下頁第5頁/共21頁v向量組的線性相關與線性無關 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0則

4、稱向量組A是線性相關的 否則稱它線性無關 v定理1 向量組a1 a2 am線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣A(a1 a2 am)的秩小于向量個數m 向量組線性無關的充分必要條件是R(A)m 這是因為 向量組A a1 a2 am線性相關 x1a1x2a2 xmam0即Ax0有非零解 R(A)m 下頁第6頁/共21頁 n維單位坐標向量組構成的矩陣為E(e1 e2 en) 是n階單位矩陣 由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量組中向量個數 所以此向量組是線性無關的 例1 試討論n維單位坐標向量組的線性相關性 解 向量組a1 a2 am線性無關R(a1 a2 am)m 下頁第7頁/共21

5、頁提示 例2 已知a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T試討論向量組a1 a2 a3及向量組a1 a2的線性相關性 對矩陣(a1 a2 a3)施行初等行變換變成行階梯形矩陣 即可同時看出矩陣(a1 a2 a3)及(a1 a2)的秩 解 n維單位坐標向量組e1 e2 en是線性無關的 對矩陣(a1 a2 a3)施行初等行變換變成行階梯形矩陣 向量組a1 a2 am線性無關R(a1 a2 am)m 下頁第8頁/共21頁可見R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量組a1 a2 a3線性相關 向量組a1 a2線性無關 例2 已知a1(1 1 1)T a2(0 2

6、5)T a3(2 4 7)T試討論向量組a1 a2 a3及向量組a1 a2的線性相關性 解 n維單位坐標向量組e1 e2 en是線性無關的 對矩陣(a1 a2 a3)施行初等行變換變成行階梯形矩陣 向量組a1 a2 am線性無關R(a1 a2 am)m 下頁第9頁/共21頁練習第10頁/共21頁第11頁/共21頁 設有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因為a1 a2 a3線性無關 故有 例3 已知向量組a1 a2 a3線性無關 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 試證

7、向量組b1 b2 b3線性無關 證法一 由于此方程組的系數行列式故方程組只有零解x1x2x30 所以向量組b1 b2 b3線性無關下頁第12頁/共21頁 把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式 例3 已知向量組a1 a2 a3線性無關 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 試證向量組b1 b2 b3線性無關 證法二 因為矩陣A的列向量組線性無關 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩陣B的列向量組b1 b2 b3線性無關 記作BAK 設Bx0 以BAK代入得A(Kx)0 下頁第13頁/共21頁 例3 已知向量組a1 a2 a3線性無關 b1a1a2 b2a2a3

8、b3a3a1 試證向量組b1 b2 b3線性無關 證法三 因為A的列向量組線性無關 所以R(A)3 從而R(B)3 因此b1 b2 b3線性無關因為|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A) 把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式 記作BAK 下頁第14頁/共21頁v定理2 (1)若向量組A a1 a2 am線性相關 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關 反之 若向量組B線性無關 則向量組A也線性無關 這是因為 記A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有R(B)R(A)1 若向量組A線性相關 則有R(A)m 從而R(B)R(A)1m1 因此向量組B線性相關 下頁第1

9、5頁/共21頁v定理2 (1)若向量組A a1 a2 am線性相關 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關 反之 若向量組B線性無關 則向量組A也線性無關 這個結論可一般地敘述為 一個向量組若有線性相關的部分組 則該向量組線性相關 一個向量組若線性無關 則它的任何部分組都線性無關 特別地 含零向量的向量組必線性相關下頁第16頁/共21頁v定理2 (1)若向量組A a1 a2 am線性相關 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關 反之 若向量組B線性無關 則向量組A也線性無關 (2)m個n維向量組成的向量組 當維數n小于向量個數m時一定線性相關 特別地 n1個n維向量一定線性相關

10、 這是因為 m個n維向量a1 a2 am構成矩陣Anm(a1 a2 am) 有R(A)n 若nm 則R(A)nm 故m個向量a1 a2 am線性相關下頁第17頁/共21頁v定理2 (1)若向量組A a1 a2 am線性相關 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關 反之 若向量組B線性無關 則向量組A也線性無關 (2)m個n維向量組成的向量組 當維數n小于向量個數m時一定線性相關 特別地 n1個n維向量一定線性相關 (3)設向量組A a1 a2 am線性無關 而向量組B a1 a2 am b線性相關 則向量b必能由向量組A線性表示 且表示式是唯一的 這是因為 記A(a1 a2 am) B( a1 a2 am b) 有即向量b能由向量組A線性表示 且表示式唯一有唯一解(a1 a2 am)xb因此方程組 即有R(B)R(A)m mR(A)R(B)m1 下頁第18頁/共21頁 (2)用反證法 假設a4能由a1 a2 a3線性表示 而由(1)知a1能由a2 a3線性表示 例4 設向量組a1 a2 a3線性相關 向量組a2 a3 a4線性無關 證明 (1) a1能由