高中數(shù)學(xué) 222對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練 新人教A必修1

1、 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)5分鐘訓(xùn)練 (預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1.函數(shù)f（x）=|log2x|的圖象是( )思路解析：考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及圖象變換.注意到y(tǒng)=|log2x|的圖象應(yīng)是將y=log2x的圖象位于x軸下方的部分翻折到x軸的上方，故選a.答案：aa 2logb 20，則a、b滿足的關(guān)系是( )a.1ab b.1ba c.0ab1 d.0ba1思路解析：考查y= loga x和y=logbx的圖象.當(dāng)x=2時(shí)，又loga 2logb20，所以y= loga x和y=logbx為減函數(shù).a 2logb2知y= loga x的圖象與y=logbx的圖象如下圖所示.故0ba1.答案：d3.函數(shù)y=

2、 loga（x-2）+1（a0且a1）恒過定點(diǎn)_.思路解析：若x-2=1，則不論a為何值，只要a0且a=1，都有y=1.答案：（3，1）4.函數(shù)f（x）=log（a-1）x是減函數(shù)，則a的取值范圍是_.思路解析：考查對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì).注意到a-1既受a-10且a-11的制約，又受減函數(shù)的約束，由此可列關(guān)于a的不等式求a.由題意知0a-11，1a2.答案：1a210分鐘訓(xùn)練 (強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.（2006廣東高考）函數(shù)f(x)=+lg(3x+1)的定義域是( )a.(- ,+) b.(- ,1) c.(- ,) d.(-,- )思路解析：要使函數(shù)有意義，則解得-<x<1

3、.答案：b2.若函數(shù)f（x）= loga x（0<a<1）在區(qū)間a，2a上的最大值是最小值的3倍，則a等于( )a. b. c. d. 思路解析：本題關(guān)鍵是利用f（x）的單調(diào)性確定f（x）在a，2a上的最大值與最小值.f（x）= loga x（0<a<1）在（0，+）上是減函數(shù)，當(dāng)xa，2a時(shí)，f（x）max =f（a）=1，f（x）min =f（2a）= loga 2a.根據(jù)題意，3 loga 2a=1，即loga 2a=，所以loga 2+1=，即loga 2=-.故由=2得a=.答案：a3.右圖是對(duì)數(shù)函數(shù)y= loga x當(dāng)?shù)讛?shù)a的值分別取，時(shí)所對(duì)應(yīng)圖象，則相應(yīng)于

4、c1，c2，c3，c4的a的值依次是( )a., , , b. , , c. , , , d. , , , 思路解析：因?yàn)榈讛?shù)a大于1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象自左向右呈上升趨勢(shì)，且a越大，圖象就越靠近x軸；底數(shù)a大于0且小于1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象自左向右呈下降趨勢(shì)，且a越小，圖象就越靠近x軸.答案：a4.比較大?。海?）log7和log9； （2）log35和log65；（3）（lgm）和（lgm）（m1）； （4）log85和lg4.思路解析：本題大小比較代表了幾個(gè)典型的題型.其中題（1）是直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；題（2）是對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)變化規(guī)律的應(yīng)用；題（3）是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)

5、用；題（4）是中間量的運(yùn)用.當(dāng)兩個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都不相同時(shí)，需要找出中間量來“搭橋”，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性.常用的中間量有0、1、2等可通過估算加以選擇.（1）log7和log9可看作是函數(shù)y=logx當(dāng)x=7和x=9時(shí)對(duì)應(yīng)的兩函數(shù)值，由y=logx在（0，+）上單調(diào)遞減，得log7log9.（2）考察函數(shù)y= loga x底數(shù)a1的底數(shù)變化規(guī)律，函數(shù)y=log3x（x1）的圖象在函數(shù)y=log6x（x1）的上方，故log35log65.（3）把lgm看作指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，要比較兩數(shù)的大小，關(guān)鍵是比較底數(shù)lgm與1的關(guān)系.若lgm1即m10，則（lgm）x在r上單調(diào)遞增，故（lgm）（lgm

6、）.若0lgm1即1m10，則（lgm）x在r上單調(diào)遞減，故（lgm）（lgm）.若lgm=1即m=10，則（lgm）=（lgm）.（4）因?yàn)榈讛?shù)8、10均大于1，且108，所以log85lg5lg4，即log85lg4.答案：（1）log7log9.（2）log35log65.（3）m10時(shí)，（lgm）（lgm）;m=10時(shí)，lgm=1，（lgm）=（lgm）;1m10時(shí)，（lgm）（lgm）.（4）log85lg4.5.已知函數(shù)y=lg（），求其定義域，并判斷其奇偶性、單調(diào)性.思路解析：注意到+x=，即有l(wèi)g（-x）=-lg（+x），從而f（-x）=lg（+x）=-lg（-x）=-f（x）

7、，可知其為奇函數(shù).又因?yàn)槠婧瘮?shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以我們只需研究（0，+）上的單調(diào)性.解：由題意-x0，解得xr，即定義域?yàn)閞.又f（-x）=lg-（-x）=lg（+x）=lg=lg（-x）-1=-lg（-x）=-f（x）,y=lg（-x）是奇函數(shù).任取x1、x2（0，+）且x1x2，則+x1+x2>，即有 -x1-x20，lg（-x1）lg（-x2），即f（x1）f（x2）成立.f（x）在（0，+）上為減函數(shù).又f（x）是定義在r上的奇函數(shù)，故f（x）在（-，0）上也為減函數(shù).6.作出下列函數(shù)的圖象：（1）y=|log4x|-1；（2）y=|x+1|.思路解析：（1）

8、y=|log4x|-1的圖象可以看成由y=log4x的圖象經(jīng)過變換而得到：將函數(shù)y=log4x的圖象在x軸下方部分以x軸為對(duì)稱軸翻折上去，得到y(tǒng)=|log4x|的圖象，再將y=|log4x|的圖象向下平移1個(gè)單位，橫坐標(biāo)不變，就得到了y=|log4x|-1的圖象.（2）y= |x+1|的圖象可以看成由y=x的圖象經(jīng)過變換而得到：將函數(shù)y=x的圖象作出右邊部分關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象，即得到函數(shù)y=|x|的圖象，再將所得圖象向左平移一個(gè)單位，就得到所求的函數(shù)y=|x+1|的圖象.解：函數(shù)（1）的圖象作法如圖所示.函數(shù)（2）的圖象作法如圖所示.7.函數(shù)y=lg|x|( )a.是偶函數(shù)，在區(qū)間（-，0）上

9、單調(diào)遞增 b.是偶函數(shù)，在區(qū)間（-，0）上單調(diào)遞減c.是奇函數(shù)，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增 d.是奇函數(shù)，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減思路解析：畫出函數(shù)y=lg|x|的草圖即得答案.在畫函數(shù)y=lg|x|的草圖時(shí)，注意應(yīng)用函數(shù)y=lg|x|是個(gè)偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.比如列表時(shí)，要先確定對(duì)稱軸，然后在對(duì)稱軸的兩側(cè)取值列表.答案：b8.已知f（x）=1+logx3，g（x）=2logx2，試比較f（x）與g（x）的大小.思路解析：要比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，通常采取作差法或作商法，作差時(shí)，所得差同零比較，作商時(shí)，應(yīng)先分清代數(shù)式的正負(fù)，再將商同“1”比較大小.因?yàn)楸绢}中的f（x）與g（x）的正負(fù)不確

10、定，所以采取作差比較法.解：f（x）和g（x）的定義域都是（0，1）（1，+）.f（x）-g（x）=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx.（1）當(dāng)0x1時(shí)，若0x1，即0x，此時(shí)logxx0，即0x1時(shí)，f（x）g（x）；（2）當(dāng)x1時(shí)，若x1，即x，此時(shí)logxx0，即x時(shí)，f（x）g（x）；若x=1，即x=，此時(shí)logxx=0，即x=時(shí)，f（x）=g（x）；若0x1，即0x，此時(shí)logxx0，即1x時(shí)，f（x）g（x）.綜上所述，當(dāng)x（0，1）（，+）時(shí)，f（x）g（x）；當(dāng)x=時(shí)，f（x）=g（x）；當(dāng)x（1，）時(shí)，f（x）g（x）.快樂時(shí)光 七個(gè)男人和一

11、個(gè)女人 朋友閑來無事，到街上遛達(dá)，看到有一錄像點(diǎn)高掛著牌子，寫著：今晚精彩錄像七個(gè)男人與一個(gè)女人的故事，莫失良機(jī).朋友好奇心發(fā)作，買票進(jìn)場(chǎng).待人坐齊以后，開始放映.一開場(chǎng)屏幕上出現(xiàn)了真實(shí)片名八仙過海.30分鐘訓(xùn)練 (鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.如下圖，當(dāng)a1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a-x與y= loga x的圖象是( )思路解析：首先把y=a-x化為y=（）x，a1，01.因此y=（）x，即y=a-x的圖象是下降的，y= loga x的圖象是上升的.答案：a2.（2006福建高考，文）已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)=lgx.設(shè)a=f(),b=f(),c

12、=f(),則( )a.a<b<c b.b<a<c c.c<b<a d.c<a<b思路解析：由題意，a=f()=f(-)=-f()=-lg=lg,b=f()=f(-)=-f()=-lg=lg2,c=f()=f()=lg,由于f(x)=lgx在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)為增函數(shù)，所以有c<a<b.答案：d3.已知函數(shù)f（x）=lg（x2-3x+2）的定義域?yàn)閒，函數(shù)g（x）=lg（x-1）+lg（x-2）的定義域?yàn)間，那么( )g=思路解析：f=x|x2-3x+2>0=x|x>2或x<1，g=x|x>2.gf.答案：a4.已知函數(shù)

13、f（x）=log2（x2-ax+3a）在2，+上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )a.（-，4） b.（-4，4c.（-，-4）2，+ d.-4，4思路解析：解決復(fù)合函數(shù)問題的通法是把復(fù)合函數(shù)化歸為基本初等函數(shù).令u（x）=x2-ax+3a，其對(duì)稱軸x=.由題意有解得-4<a4.答案：b5.（2006福建高考，理） 函數(shù)y=log2(x>1)的反函數(shù)是( )a.y=(x>0) b.y= (x<0)c.y= (x>0) d.y= (x<0)思路解析：求函數(shù)時(shí)一定不要忘記求反函數(shù)的定義域，也就是原函數(shù)的值域.原函數(shù)值域?yàn)閥>0,由于y=log2(x>

14、;1)=log2=log2(1+),所以1+=2y,x=+1=.將x,y對(duì)調(diào)，可得反函數(shù)為y=(x>0).答案：a6.已知函數(shù)f（x）=loga（a1且b0）.（1）求f（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明.思路解析：本題考查定義域、單調(diào)性的求法及判斷方法，注意要利用定義求解.解：（1）由解得x-b或xb.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，-b）（b，+）.（2）由于f（-x）= loga（）= loga（）= loga（）-1=- loga（）=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù).（3）設(shè)x1、x2是區(qū)間（b，+）上任意兩個(gè)值，且x1x2.則-=.b

15、0，x1-x20，x2-b0，x1-b0，-0.又a1時(shí)，函數(shù)y= loga x是增函數(shù)，logaloga，即f（x2）f（x1）.函數(shù)f（x）在區(qū)間（b，+）上是減函數(shù).同理，可證f（x）在（-，-b）上也是減函數(shù).7.已知f（x）=loga（a>0且a1）.（1）求函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）求使f（x）>0的x的取值范圍.解：（1）由>0得-1<x<1.函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）.（2）對(duì)任意-1<x1<x2<1，-=<0，<.當(dāng)a>1時(shí)，loga<loga，即f（x1）<f（x2）；當(dāng)0<

16、;a<1時(shí)，loga>loga，即f（x1）>f（x2）.當(dāng)a>1時(shí)，f（x）為（-1，1）上的增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）為（-1，1）上的減函數(shù).（3）loga>0= loga 1.當(dāng)a>1時(shí)，>1，即-1=>0.2x（x-1）<0.0<x<1.當(dāng)0<a<1時(shí)，解得-1<x<0；當(dāng)a>1時(shí)，f（x）>0的解為（0，1）；當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）>0的解為（-1，0）.8.設(shè)函數(shù)f（x）=x2-x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a1），求

17、f（log2x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值.思路解析：關(guān)鍵是利用已知的兩個(gè)條件求出a、b的值.解：由已知得即由得log2a=1，a=2.代入得b=2.f（x）=x2-x+2.f（log2x）=log22x-log2x+2=（log2x-）2+.當(dāng)log2x=時(shí)，f（log2x）取得最小值，此時(shí)x=.0，對(duì)于函數(shù)f（x）=log3（ax2-x+a），（1）若xr，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）r，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思路解析：f（x）的定義域是r，等價(jià)于ax2-x+a0對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，而f（x）的值域?yàn)閞，等價(jià)于其真數(shù)ax2-x+a能取遍大于0的所有實(shí)數(shù)值，（1）與（2）雖只有一字之差，但結(jié)

18、果卻大不相同.解：（1）f（x）的定義域?yàn)閞，則ax2-x+a0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，其等價(jià)條件是解得a.（2）f（x）的值域?yàn)閞，則真數(shù)ax2-x+a能取遍大于0的所有實(shí)數(shù)，其等價(jià)條件是解得0a.10.已知a>0且a1，f（loga x）=（x-）.（1）試證明函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性.（2）是否存在實(shí)數(shù)m滿足：當(dāng)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）時(shí)，有f（1-m）+f（1-m2）<0?若存在，求出其取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）若函數(shù)f（x）-4恰好在（-，2）上取負(fù)值，求a的值.（1）證明：由f（loga x）=（x-），得f（x）=（ax-a-x），xr，任取x1&l

19、t;x2，f（x1）-f（x2）=（ -）.a>1時(shí)，<，a2-1>0；0<a<1時(shí)，>，a2-1<0.綜上可得f（x1）<f（x2），即函數(shù)為減函數(shù).（2）解：因?yàn)閒（-x）=-（ax-a-x）=-f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，f（1-m）+f（1-m2）<0可轉(zhuǎn)化為f（1-m）<f（m2-1），所以解得1<m<.（3）解：f（x）-4恰好在（-，2）的值為負(fù)，即當(dāng)x（-，2）時(shí)，有f（x）-4<f（2）-4=0，解得a=2±.11.已知f（x）=lg（ax-bx）（a>1>b>0）.（1）求y=f（x）的定義域；（2）在函數(shù)圖象上是否存在不同兩點(diǎn)，使過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸？思路解析：（2）的思維難點(diǎn)是把問題化歸為研究函數(shù)的單調(diào)性問題.解：（1）由ax-bx>0，得（）x>1=（）0.>1，x>0.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+）.1>x2>0，a>1>b>