數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文范文

1、裝 訂 目 錄一、畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))任務(wù)書1二、完成畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))階段任務(wù)情況檢查表6三、畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))開題報(bào)告7四、畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))正文15五、畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))成績(jī)?cè)u(píng)定表26湖北民族學(xué)院理學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))任務(wù)書數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè)題 目群體滅絕問題中的隨機(jī)性 （任務(wù)起止日期：2011.3.20 2010.5.31）學(xué)生姓名熊睿 班級(jí)0207406學(xué)號(hào) 020740629 指導(dǎo)教師時(shí)凌教學(xué)團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)人 年 月 審查專 業(yè) 負(fù) 責(zé) 人 年 月 日批準(zhǔn)課題內(nèi)容： 論文選題為群體滅絕問題中的隨機(jī)性，群體生滅過程是一種應(yīng)用很廣泛的模型，在生物學(xué)、生物系統(tǒng)工程學(xué)和人口學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用群體生滅是

2、復(fù)雜的隨機(jī)過程，但它是具泊松性質(zhì)的馬爾可夫過程，因而可以用馬爾可夫決策規(guī)劃的理論和方法來研究。動(dòng)物群體的生滅問題時(shí)時(shí)刻刻影響著我們，可以將此類問題引申到應(yīng)用數(shù)學(xué)的隨機(jī)過程中去進(jìn)行模型的計(jì)算和模擬。本文應(yīng)用隨機(jī)過程中馬爾可夫鏈的簡(jiǎn)單知識(shí)，對(duì)生物群體滅絕與馬爾可夫鏈的基本理論進(jìn)行了研究。 課題任務(wù)要求： 嚴(yán)格按照學(xué)院對(duì)本科生畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))工作進(jìn)度計(jì)劃表完成論文定稿。書寫論文過程中要積極與指導(dǎo)老師交流聯(lián)系，杜絕抄襲，力求創(chuàng)新，書寫嚴(yán)格按照學(xué)院要求的格式完成。論文定稿后，與小組成員經(jīng)行討論并交流經(jīng)驗(yàn)，相互取長(zhǎng)補(bǔ)短，共同進(jìn)步，努力打造創(chuàng)新型論文。主要參考文獻(xiàn)（由指導(dǎo)教師選定）1鄧集賢，楊維權(quán)，鄧永錄，

3、等.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.北京：高等教育出版社，2009.2胡迪鶴. 關(guān)于隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫過程的簡(jiǎn)介j. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2010(5):121-132. 3胡迪鶴.可數(shù)的馬爾可夫過程的構(gòu)造理論j.北京大學(xué)學(xué)報(bào)，1965（2）:111-143.4王梓坤.隨機(jī)過程m. 2版,北京：科學(xué)出版社，1978.5王梓坤.生滅過程與馬爾科夫鏈m.北京：科學(xué)出版社，1980.6王梓坤.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用m.北京：科學(xué)出版社，1976.7王梓坤.常反馬爾可夫過程的若干性質(zhì)j.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1965,15（3）:93-102.8侯振挺，郭青峰.齊次可列馬爾科夫過程m.北京：科學(xué)出版社，1978.9鄧集賢，楊維權(quán)，許

4、劉俊.隨機(jī)過程m.北京：高等教育出版社，1992.10陳家鑫.應(yīng)用概率論m.北京：科學(xué)出版社，1992.11鄧永錄.隨機(jī)模型及其應(yīng)用m.北京：高等教育出版社，1994.12蔣慶瑯.隨機(jī)過程與生命科學(xué)模型m.上海：上海翻譯出版有限公司，1987.13孫榮恒.隨機(jī)過程及其應(yīng)用m.北京：清華大學(xué)出版社，2004.14孫榮恒.概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì).重慶：重慶大學(xué)出版社，2000.15孫榮恒.應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.2版,北京：科學(xué)出版社，2003.16perzen e.隨機(jī)過程m.北京：高等教育出版社，1987.17謝爾登·羅斯.概率論初級(jí)教程m.北京：人民教育出版社，1980.18william fe

5、ller.概率論及其應(yīng)用m.北京：高等教育出版社，1979.19楊超群.一類生滅過程j.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1965,15（1）:9-31.20楊超群.關(guān)于生滅過程構(gòu)造論的注記j.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1965,15（2）:174-187.21楊超群.生滅過程的性質(zhì)j.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1966,9（4）:423-452.同組設(shè)計(jì)者：無 注：此表由學(xué)生本人按指導(dǎo)教師下達(dá)的任務(wù)填寫打印。本科生畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))工作進(jìn)度計(jì)劃表序號(hào)畢 業(yè) 論 文 (設(shè) 計(jì)) 工 作 任 務(wù)工作進(jìn)度1課題調(diào)研，查閱資料2011.3.204.172撰寫開題報(bào)告4.184.253撰寫并提交初稿4.265.204修改論文并提交修改稿5.215.235二次

6、修改論文并定稿5.245.276論文定稿打印2份上交、提交論文答辯申請(qǐng)、評(píng)閱、答辯5.285.317畢業(yè)論文裝訂上交并提交裝訂版電子檔6.16.38910注：1.此表由學(xué)生按導(dǎo)師要求填寫打??；2.進(jìn)度安排請(qǐng)?zhí)顚憽皒xxx年xx月xx日xx月xx日”學(xué)生完成畢業(yè)論文階段任務(wù)情況檢查表時(shí) 間內(nèi) 容檢 查 記 錄教師簽字第一階段組織紀(jì)律簽字：日期：完成任務(wù)情況（開題情況）第二階段組織紀(jì)律簽字：日期： 完成任務(wù)情況（初稿情況）第三階段組織紀(jì)律簽字：日期： 完成任務(wù)情況（定稿情況）注：1.此表由指導(dǎo)教師認(rèn)真填寫；2.“完成任務(wù)情況”一欄應(yīng)按學(xué)生是否按進(jìn)度保質(zhì)保量完成任務(wù)的情況填寫；3.對(duì)違紀(jì)和不能按時(shí)完

7、成任務(wù)者，指導(dǎo)教師可根據(jù)情節(jié)輕重對(duì)該生提出警告或?qū)ζ涑煽?jī)降一等級(jí)。湖北民族學(xué)院理學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)) 開題報(bào)告題 目 群體滅絕問題中的隨機(jī)性 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 0207406 學(xué) 號(hào) 020740629 學(xué)生姓名 熊睿 指導(dǎo)教師 時(shí)凌 2011年4月25日一、 選題理由數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。隨機(jī)過程是隨機(jī)數(shù)學(xué)（研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支）的一個(gè)重要部分，隨機(jī)過程(stochastic process)是一連串隨機(jī)事件動(dòng)態(tài)關(guān)系的定量描述。如今隨機(jī)過程論是在自然科學(xué)、工程科學(xué)及社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具。隨機(jī)過程論目前已得到廣泛的

8、應(yīng)用，在諸如天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、天體物理、運(yùn)籌決策、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過程的理論來建立數(shù)學(xué)模型。足見應(yīng)用數(shù)學(xué)中的隨機(jī)過程在當(dāng)今社會(huì)科學(xué)影響下的重要作用。如今人類以及動(dòng)物種群的的生滅問題時(shí)時(shí)刻刻影響著我們，而我們可以將此類問題引申到應(yīng)用數(shù)學(xué)的隨機(jī)過程中去進(jìn)行模型的計(jì)算和模擬。在研究隨機(jī)過程時(shí)我們可以透過表面的偶然性描述出必然的內(nèi)在規(guī)律并以概率的形式來描述這些規(guī)律，從偶然中悟出必然正是這一學(xué)科的魅力所在。顯然這樣得出的數(shù)據(jù)會(huì)對(duì)整個(gè)自然社會(huì)的發(fā)展起到至關(guān)重要的作用。本文選題為群體滅絕問題中的隨機(jī)性，群體生滅過程是一種應(yīng)用很廣泛的模型，在生物學(xué)、

9、生物系統(tǒng)工程學(xué)和人口學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用群體生滅是復(fù)雜的隨機(jī)過程，但它是具泊松性質(zhì)的馬爾可夫過程，因而可以用馬爾可夫決策規(guī)劃的理論和方法來研究。1907年前后，馬爾可夫(markov)研究了一系列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈?zhǔn)菙?shù)學(xué)中具有馬爾可夫性質(zhì)的離散時(shí)間隨機(jī)過程。該過程中，在給定當(dāng)前知識(shí)或信息的情況下，過去（即當(dāng)期以前的歷史狀態(tài)）對(duì)于預(yù)測(cè)將來（即當(dāng)期以后的未來狀態(tài)）是無關(guān)的。這種鏈之所以重要，一是由于它的理論比較完整深入，可以作為一般馬爾可夫過程及其它隨機(jī)過程的借鑒，二是它在自然科學(xué)和許多實(shí)際問題的廣泛應(yīng)用。關(guān)于生滅過程研究的結(jié)果已經(jīng)十分豐富了，物理、化學(xué)、生

10、物、醫(yī)學(xué)等的許多實(shí)際模型都可以用生滅過程來描述。本文運(yùn)用馬爾可夫鏈的簡(jiǎn)單知識(shí)，對(duì)生物群體滅絕與馬爾可夫鏈的基本理論進(jìn)行了研究。文中將生物概率與數(shù)學(xué)理論中的隨機(jī)過程聯(lián)系起來，最后通過分析論證并得到群體滅絕概率的一般通式。最后我還將研究的結(jié)論應(yīng)用到實(shí)例及數(shù)學(xué)理論計(jì)算中。數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。在我們的生活中，處處存在數(shù)學(xué)知識(shí)。正式出于應(yīng)用數(shù)學(xué)與我們生活的緊密聯(lián)系，才讓我選擇了這個(gè)題目。希望借此對(duì)群體滅絕與所學(xué)的東西聯(lián)系起來，同時(shí)也加深了自己對(duì)數(shù)學(xué)這門自然科學(xué)的認(rèn)識(shí)。因?yàn)閿?shù)學(xué)可以幫助我們更好地認(rèn)識(shí)自然和人類社會(huì)，更好的適應(yīng)生活，

11、所以在本文中我也是嘗試著用所學(xué)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)去分析生活中存在的問題。因?yàn)橹R(shí)有限，很可能文中存在著不少的問題，但自己會(huì)堅(jiān)持把應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識(shí)發(fā)揚(yáng)到生活中去。二、 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀綜述隨機(jī)過程整個(gè)學(xué)科的理論基礎(chǔ)是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。這一學(xué)科最早源于對(duì)物理學(xué)隨機(jī)過程理學(xué)的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究，及后來愛因斯坦、維納、萊維等人對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的開創(chuàng)性工作。1907年前后，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。1923年維納給出布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義，直到今日這一過程仍是重要的研究課題。隨機(jī)過程一般理論的研究通常認(rèn)為開始于20世紀(jì)30年代。1931年

12、，柯爾莫哥洛夫發(fā)表了概率論的解析方法，1934年a·辛飲發(fā)表了平穩(wěn)過程的相關(guān)理論，這兩篇著作奠定了馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程的理論基礎(chǔ)。1953年，杜布出版了名著隨機(jī)過程論，系統(tǒng)且嚴(yán)格地?cái)⑹隽穗S機(jī)過程基本理論。本文主要應(yīng)用了隨機(jī)過程中很重要的一部分知識(shí)馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈，因安德烈馬爾可夫（a.a.markov，18561922）得名，是數(shù)學(xué)中具有馬爾可夫性質(zhì)的離散時(shí)間隨機(jī)過程。馬爾可夫在1906年首先做出了這類過程 。而將此一般化到可數(shù)無限狀態(tài)空間是由柯爾莫果洛夫在1936年給出的。馬爾可夫鏈通常用來建模排隊(duì)理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的建模，還可作為信號(hào)模型用于熵編碼技術(shù)，如算術(shù)編碼（著名的lz

13、ma數(shù)據(jù)壓縮算法就使用了馬爾可夫鏈與類似于算術(shù)編碼的區(qū)間編碼）。馬爾可夫鏈也有眾多的生物學(xué)應(yīng)用，特別是人口過程，可以幫助模擬生物人口過程的建模。隱蔽馬爾可夫模型還被用于生物信息學(xué)，用以編碼區(qū)域或基因預(yù)測(cè)。馬爾可夫鏈最近的應(yīng)用是在地理統(tǒng)計(jì)學(xué)（geostatistics）中。其中，馬爾可夫鏈用在基于觀察數(shù)據(jù)的二到三維離散變量的隨機(jī)模擬。這一應(yīng)用類似于“克里金”地理統(tǒng)計(jì)學(xué)（kriging geostatistics），被稱為是“馬爾可夫鏈地理統(tǒng)計(jì)學(xué)”。這一馬爾可夫鏈地理統(tǒng)計(jì)學(xué)方法仍在發(fā)展過程中。國內(nèi)在這方面研究取得前沿成績(jī)的代表主要是中國科學(xué)院院士王梓坤。50至60年代，王梓坤在生滅過程研究中提出了

14、極限過渡構(gòu)造方法，以此解決了生滅過程的構(gòu)造問題。他還將差分和遞推方法應(yīng)用于生滅過程的泛函和首達(dá)時(shí)分布的研究，得到了一系列結(jié)果。在馬氏過程方面，王梓坤證明某些馬氏過程的常返性等價(jià)于其有限調(diào)和函數(shù)為常數(shù)，而0-1律等價(jià)于其有限過分函數(shù)為常數(shù)。80年代，王梓坤和他的小組研究布朗運(yùn)動(dòng)與位勢(shì)理論和多參數(shù)馬氏過程。1980年他與r.k.getoor幾乎同時(shí)獨(dú)立地解決了布朗運(yùn)動(dòng)的首出時(shí)與末離時(shí)的聯(lián)合分布問題。1984年他利用多重隨機(jī)積分給出了多指標(biāo)ornstein-uhlenbeck過程的定義，并取得了一系列的成果。國外j.b.walsh于1986年也提出了基本上一致的定義。后來王梓坤又將兩種定義作了統(tǒng)一的

15、處理。1980年，王梓坤的研究專著生滅過程與馬爾可夫鏈作為“純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專著”叢書的第5號(hào)由科學(xué)出版社出版。四十多年來，北京師范大學(xué)王梓坤的概率論研究群體發(fā)展了無窮粒子系統(tǒng)、馬爾可夫過程和隨機(jī)分析等具有特色的研究方向，形成了勤奮嚴(yán)謹(jǐn)、奮發(fā)向上、團(tuán)結(jié)互助的科學(xué)傳統(tǒng)。馬氏過程研究組的工作涉及生滅過程與馬氏鏈、馬氏過程與位勢(shì)理論、多參數(shù)馬氏過程、測(cè)度值馬氏過程、數(shù)理金融、計(jì)算機(jī)模擬與統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)等領(lǐng)域。研究?jī)?nèi)容為“物理、生物和金融中的隨機(jī)模型”。三、 設(shè)計(jì)（論文）方案 在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)下，論文分以下三個(gè)階段完成。1、 與指導(dǎo)老師積極的交流聯(lián)系，由指導(dǎo)老師選定參考文獻(xiàn)。自己常到圖書館借閱文獻(xiàn)資料

16、，為論文搜集整理豐富的參考資料，為后期書寫論文工作打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。2、 在第一步的基礎(chǔ)上書寫論文初稿，并時(shí)常與指導(dǎo)老師聯(lián)系，及時(shí)向指導(dǎo)老師反映論文進(jìn)展情況。論文要求真實(shí)有效，杜絕抄襲。書寫過程認(rèn)真按照學(xué)院格式要求經(jīng)行，力求創(chuàng)新。3、 初稿定稿后，與指導(dǎo)老師展開討論，經(jīng)行2次后3次修稿。認(rèn)真按照指導(dǎo)老師要求完成任務(wù)，不抱怨、不氣餒，反復(fù)修改論文直至定稿。 論文定稿后，與小組成員經(jīng)行討論并交流經(jīng)驗(yàn)，相互取長(zhǎng)補(bǔ)短，共同進(jìn)步，努力打造創(chuàng)新型論文。四、 重點(diǎn)難點(diǎn)及創(chuàng)新之處1、應(yīng)用全新的知識(shí)點(diǎn)馬爾可夫鏈來研究群體滅絕的問題。2、關(guān)于生滅過程研究的結(jié)果已經(jīng)現(xiàn)在已經(jīng)十分豐富了。本文也只是應(yīng)用馬爾可夫鏈的簡(jiǎn)單知

17、識(shí)來討論群體滅絕的概率。文章最后得到了當(dāng)時(shí)，即第一代總個(gè)體是為1時(shí)，群體滅絕的概率通式，并對(duì)其進(jìn)行了探究很論證。3、最后將結(jié)論應(yīng)用到生活實(shí)例及數(shù)學(xué)理論計(jì)中。五、 應(yīng)收集資料及參考文獻(xiàn)（不低于20篇）1鄧集賢，楊維權(quán)，鄧永錄，等.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.北京：高等教育出版社，2009.2胡迪鶴. 關(guān)于隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫過程的簡(jiǎn)介j. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2010(5):121-132. 3胡迪鶴.可數(shù)的馬爾可夫過程的構(gòu)造理論j.北京大學(xué)學(xué)報(bào)，1965（2）:111-143.4王梓坤.隨機(jī)過程m. 2版,北京：科學(xué)出版社，1978.5王梓坤.生滅過程與馬爾科夫鏈m.北京：科學(xué)出版社，1980.6王梓坤.概

18、率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用m.北京：科學(xué)出版社，1976.7王梓坤.常反馬爾可夫過程的若干性質(zhì)j.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1965,15（3）:93-102.8侯振挺，郭青峰.齊次可列馬爾科夫過程m.北京：科學(xué)出版社，1978.9鄧集賢，楊維權(quán)，許劉俊.隨機(jī)過程m.北京：高等教育出版社，1992.10陳家鑫.應(yīng)用概率論m.北京：科學(xué)出版社，1992.11鄧永錄.隨機(jī)模型及其應(yīng)用m.北京：高等教育出版社，1994.12蔣慶瑯.隨機(jī)過程與生命科學(xué)模型m.上海：上海翻譯出版有限公司，1987.13孫榮恒.隨機(jī)過程及其應(yīng)用m.北京：清華大學(xué)出版社，2004.14孫榮恒.概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì).重慶：重慶大學(xué)出版社，2000.15孫

19、榮恒.應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.2版,北京：科學(xué)出版社，2003.16perzen e.隨機(jī)過程m.北京：高等教育出版社，1987.17謝爾登·羅斯.概率論初級(jí)教程m.北京：人民教育出版社，1980.18william feller.概率論及其應(yīng)用m.北京：高等教育出版社，1979.19楊超群.一類生滅過程j.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1965,15（1）:9-31.20楊超群.關(guān)于生滅過程構(gòu)造論的注記j.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1965,15（2）:174-187.21楊超群.生滅過程的性質(zhì)j.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1966,9（4）:423-452.鄧集賢，楊維權(quán)，鄧永錄，等.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.北京：高等教育出版社，2009.六

20、、進(jìn)度安排2011.3.204.17課題調(diào)研，查閱資料4.184.25撰寫開題報(bào)告 4.265.20撰寫并提交初稿 5.215.23修改論文并提交修改稿 5.245.27二次修改論文并定稿 5.285.31論文定稿、上交、提交論文答辯申請(qǐng)、評(píng)閱、答辯七、指導(dǎo)教師意見指導(dǎo)教師簽名：年月日八、專業(yè)負(fù)責(zé)人意見（或開題審查小組意見） 簽名：年月日湖北民族學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè)畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))題 目 群體滅絕問題中的隨機(jī)性 設(shè) 計(jì) 人 （簽名）設(shè)計(jì)說明書0頁附 圖0張附 表0張圖 紙0張教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 名 稱 教學(xué)團(tuán)隊(duì) 負(fù) 責(zé) 人 （簽名）設(shè) 計(jì) 指 導(dǎo) 教 師 （簽名） （簽名）評(píng) 閱

21、人（簽名） 2011年5月25日作者聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。本人完全了解有關(guān)保障、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向有關(guān)學(xué)位論文管理機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版。同意省級(jí)優(yōu)秀學(xué)位論文評(píng)選機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文通過影印、縮印、掃描等方式進(jìn)行保存、摘編或匯編；同意本論文被編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索和查閱。本學(xué)位論文內(nèi)容不涉及國家機(jī)密。論文題目：群體滅絕問題中的隨機(jī)性作者單位：湖北民族學(xué)院理學(xué)院作者簽名： 年 月 日目 錄摘要15abstract16正文1 引

22、言172 預(yù)備知識(shí)173 模型分析184 滅絕概率分析215 實(shí)例分析應(yīng)用23致謝24參考文獻(xiàn)25群體滅絕問題中的隨機(jī)性熊睿學(xué)號(hào)：020740629專業(yè)：數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師：時(shí)凌摘 要群體生滅過程是一種應(yīng)用很廣泛的模型，在生物學(xué)、生物系統(tǒng)工程學(xué)和人口學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用群體生滅是復(fù)雜的隨機(jī)過程，但它是具泊松性質(zhì)的馬爾可夫過程，因而可以用馬爾可夫決策規(guī)劃的理論和方法來研究。關(guān)鍵詞：群體，隨機(jī)性，馬爾可夫鏈，生滅過程 the randomness of colony“birth-and-death”xiong ruistudent id:020740629professional: m

23、athematics and applied mathematics guiding teacher：shi lingabstracta colony “birth-and death”process is a kind of widely used model,especially inthe field of biology,biological system engineering,population science, and so forth.a colony“birth-and-death”process is complicated stochastic process,a ma

24、rkovian process with the nature of poisson.and it can be studied by the theory and method of markovian decision programming.key words：colony ，randomness,markov chains, birth-death process1 引言1907年前后，馬爾可夫(markov)研究了一系列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。這種鏈之所以重要，一是由于它的理論比較完整深入，可以作為一般馬爾可夫過程及其它隨機(jī)過程的借鑒，二是它在自然科學(xué)和許多實(shí)際

25、問題的廣泛應(yīng)用。馬爾可夫過程的基本概念是系統(tǒng)“狀態(tài)”及狀態(tài)“轉(zhuǎn)換”的概念。預(yù)備知識(shí)中會(huì)對(duì)馬爾可夫鏈的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行描述。關(guān)于生滅過程研究的結(jié)果已經(jīng)十分豐富了，物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)等的許多實(shí)際模型都可以用生滅過程來描述。本文應(yīng)用隨機(jī)過程中馬爾可夫鏈的簡(jiǎn)單知識(shí)，對(duì)生物群體滅絕與馬爾可夫鏈的基本理論進(jìn)行了研究。最后還將研究的結(jié)論應(yīng)用到實(shí)例及數(shù)學(xué)理論計(jì)算中。2 預(yù)備知識(shí) 為了便于研究群體滅絕問題中的隨機(jī)性（即與馬爾可夫過程的關(guān)系），引入了馬爾科夫鏈的定義和性質(zhì)。定義2.1：設(shè)隨機(jī)序列;0的狀態(tài)空間為（離散），如果對(duì) ，及, , , , > 0 ，有： = = = = （2.1）則稱; 0為 ma

26、rkov 鏈。注：等式（2.1）刻畫了 markov 鏈的特性，稱此特性為 markov 性或無后效性（即隨機(jī)過程將來的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，而與過去無關(guān)），簡(jiǎn)稱為馬氏性。markov 鏈也稱為馬氏鏈。定義2.2：稱條件概率為markov鏈的一步轉(zhuǎn)移概率，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)移概率，記為，它代表處于狀態(tài)的過程下一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率。 定義2.3:當(dāng)markov鏈的轉(zhuǎn)移概率=只與狀態(tài)有關(guān)，而與無關(guān)時(shí)，稱之為時(shí)齊markov鏈；否則，就稱之為非時(shí)齊的。注：此只討論時(shí)齊markov鏈，簡(jiǎn)稱markov鏈。定義2.4：離散分支過程考慮某一群體，假設(shè)某一代的每一個(gè)個(gè)體可以產(chǎn)生個(gè)下一代，其中是取值非負(fù)整數(shù)的離散型隨機(jī)

27、變量，設(shè)某一代各個(gè)體產(chǎn)生下一代的個(gè)數(shù)相互獨(dú)立同分布且上一代相互獨(dú)立。令：表示第代個(gè)體的數(shù)目，則當(dāng)時(shí)，有 = 0 ；當(dāng) >0 時(shí)，有：= + + + 其中 是第代中第個(gè)個(gè)體產(chǎn)生下一代的個(gè)數(shù)。由此可知，只要給，那么的分布就完全決定了，且與以前的,無關(guān)，故,1 是一馬氏鏈。把這一類馬氏鏈稱為離散的分支過程。由母函數(shù)的性質(zhì)，可以證明一步轉(zhuǎn)移概率為： = =+=+ = 顯然有： = 1, = 0 ( > 0) ，因此，狀態(tài)0是離散分支過程的吸收狀態(tài)。在離散分支過程模型中，我最關(guān)心的問題是此過程被狀態(tài)0吸收的概率，即滅絕概率問題。 3 模型分析在歷史上有不少顯赫的家族與民族消失了。我們可能會(huì)問

28、：一個(gè)群體最終滅絕的概率有多大？它與什么有關(guān)？在此，將此生物概率與數(shù)學(xué)理論中的隨機(jī)問題聯(lián)系起來。最后通過分析討論并得到群體滅絕概率的一般通式?？紤]一個(gè)能產(chǎn)生同類后代的個(gè)體組成的群體，每一個(gè)體生命結(jié)束時(shí)以概率產(chǎn)生了個(gè)新的后代，與別的個(gè)體產(chǎn)生的后代的個(gè)數(shù)相互獨(dú)立。初始個(gè)體數(shù)以表示，稱為第零代的總數(shù)；第零代的后代構(gòu)成第一代，其總數(shù)記為，第一代的每個(gè)個(gè)體以同樣的分布產(chǎn)生第二代，.，一般地，以記第代的總數(shù)。此markov鏈稱為分支過程。故設(shè)為某群體第代得個(gè)體數(shù)，且,并設(shè)不同個(gè)體的“子女”數(shù)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量。以表示第帶第個(gè)成員的“子女”數(shù)，且設(shè) （3.1）“”表示一個(gè)成員的“子女”數(shù)為0是可能發(fā)生的。

29、“”表示一個(gè)成員的“子女”數(shù)為2,3，也是可能發(fā)生的。由上述假設(shè)則有 （3.2）該式表示第代成員數(shù)是第代各個(gè)成員的“子女”數(shù)之和。顯然，當(dāng)已知時(shí), 與,無關(guān)，所以，是馬氏（markov）鏈，為離散分支過程。現(xiàn)在來討論，當(dāng)時(shí)，該群體滅絕的概率。設(shè).，則在研究只取有窮或無窮非負(fù)整數(shù)值（=0,1,2,.）的隨機(jī)變量時(shí)，用母函數(shù)來代替特征函數(shù)較為方便。定義3.1 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為=，0,1,2記實(shí)變數(shù)的實(shí)函數(shù).（）稱為的母函數(shù)（pgf），如不產(chǎn)生混亂，簡(jiǎn)記為.記的概率母函數(shù)（pgf）為，即， （3.3）則= =，=0，1，2. （3.4）設(shè)的pgf為，即=，因?yàn)椴煌瑐€(gè)體的子女?dāng)?shù)獨(dú)立分布，且，所以

30、= （3.5）由式（3.4）遞推得到= = （3.6） 因?yàn)槿绻诖蓡T數(shù)為0，則第代成員數(shù)肯定是為0。即 所以 從而數(shù)列的極限存在，記為，即 =4 滅絕概率分析性質(zhì)4.1 設(shè)為一分支過程，且有，。其中，即為任意一個(gè)體繁殖后代的平均數(shù)。從而有上式表示：，意味著個(gè)體繁殖后代的平均數(shù)低于上代的死亡數(shù)，它將導(dǎo)致群體的滅絕；，意味著個(gè)體繁殖后的平均數(shù)高于上代的死亡數(shù)，它將導(dǎo)致群體的爆炸。定理4.1 當(dāng)=1時(shí)，上述群體滅絕的概率是方程的最小正根。其中為即的pgf。且該群體最終肯定滅絕的充分必要條件是一個(gè)成員的平均“子女”數(shù)不超過1（圖41），即 =1 （3.7）其中， 0,1,2,，=1,211 圖41

31、定理4.1已經(jīng)給出了滅絕概率與任意一個(gè)體繁殖后代的平均數(shù)的關(guān)系，那么下面對(duì)群體會(huì)滅絕即=1與的關(guān)系進(jìn)行證明,即證明=1。因?yàn)?，且當(dāng)時(shí)，有，所以是凹向上的凸函數(shù)。從而曲線與直線在區(qū)間（0，）中最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程最多有兩個(gè)正根。顯然是的一個(gè)正根，所以方程在（0,1）內(nèi)最多平有一個(gè)根。（）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有由微分中值定理有，即，此式在（0,1）中方程無解。所以1是的最小正根，即。（）反之，如果，則一定有。如果，令，則在（0，+）中是凹向上的凸函數(shù)。因?yàn)?，以及在上是連續(xù)的，所以在（0,1）中必有一根，又因?qū)θ我鉂M足方程的正數(shù)，有，所以方程有一個(gè)大于小于1的正根，即這與是方程的最小正根矛盾（圖42

32、）,故。11圖425實(shí)例分析應(yīng)用實(shí)例1：由式（3.7）發(fā)現(xiàn)：我國計(jì)劃生育政策是一對(duì)夫婦生兩個(gè)子女，即任意一個(gè)體繁殖后代的平均數(shù)=1，并且提倡一對(duì)夫婦生一個(gè)子女，即=0.5，這樣中華名族豈不是要滅絕？如果按照該政策一直繼續(xù)下去，答案是肯定的。但是，我國現(xiàn)在人口個(gè)體基數(shù)很大，且實(shí)行計(jì)劃生育政策時(shí)間不長(zhǎng)，即還沒能達(dá)到直觀上的改變。在今后一段時(shí)間內(nèi)，我國人口不僅不會(huì)減少而且還會(huì)增加，而增加的勢(shì)頭會(huì)逐漸減弱。上述定理的結(jié)論（=1）是一個(gè)極限過程，需要很長(zhǎng)時(shí)間，直觀上，越大（越接近1）需要的時(shí)間越長(zhǎng)，越小（越接近0）需要的時(shí)間越短。當(dāng)然政策是在我們客觀需要的情況下制訂的，若一直持續(xù)，結(jié)果顯然不容樂觀。當(dāng)我

33、國現(xiàn)在人口個(gè)體基數(shù)達(dá)到合適時(shí)，將開始允許。故在人口個(gè)體基數(shù)和的雙重控制下，中華民族會(huì)很好的繁衍生息。實(shí)例2：設(shè)為分支過程，且，求該群體最終滅絕的概率，其中。 因?yàn)?，又因，令，化?jiǎn)得方程 即解此方程得，所以該群體最終滅絕的概率為 。致 謝行文至此，我的這篇論文已接近尾聲；歲月如梭，我四年的大學(xué)時(shí)光也即將敲響結(jié)束的鐘聲。離別在即，站在人生的又一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)上，心中難免思緒萬千，一種感恩之情油然而生。在此論文撰寫過程中，要特別感謝我的指導(dǎo)老師時(shí)凌的指導(dǎo)與督促，同時(shí)感謝他的諒解與包容，在百忙之中抽出時(shí)間為我指導(dǎo)，沒有時(shí)老師的幫助也就沒有今天的這篇論文。求學(xué)歷程是艱苦的，但又是快樂的。感謝我的班主任蹇小平老

34、師，謝謝他在這四年中為我們?nèi)嗨龅囊磺?，他不求回?bào)，無私奉獻(xiàn)的精神很讓我感動(dòng)，再次向他表示由衷的感謝。在這四年的學(xué)期中結(jié)識(shí)的各位生活和學(xué)習(xí)上的摯友讓我得到了人生最大的一筆財(cái)富。在此，也對(duì)他們表示衷心感謝。 謝謝我的父母，沒有他們辛勤的付出也就沒有我的今天，在這一刻，將最崇高的敬意獻(xiàn)給你們！本文參考了大量的文獻(xiàn)資料，在此，向各學(xué)術(shù)界的前輩們致敬！參考文獻(xiàn)1鄧集賢，楊維權(quán)，鄧永錄，等.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.北京：高等教育出版社，2009.2胡迪鶴. 關(guān)于隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫過程的簡(jiǎn)介j. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2010(5):121-132. 3胡迪鶴.可數(shù)的馬爾可夫過程的構(gòu)造理論j.北京大學(xué)學(xué)報(bào)，196

35、5（2）:111-143.4王梓坤.隨機(jī)過程m. 2版,北京：科學(xué)出版社，1978.5王梓坤.生滅過程與馬爾科夫鏈m.北京：科學(xué)出版社，1980.6王梓坤.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用m.北京：科學(xué)出版社，1976.7王梓坤.常反馬爾可夫過程的若干性質(zhì)j.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1965,15（3）:93-102.8侯振挺，郭青峰.齊次可列馬爾科夫過程m.北京：科學(xué)出版社，1978.9鄧集賢，楊維權(quán)，許劉俊.隨機(jī)過程m.北京：高等教育出版社，1992.10陳家鑫.應(yīng)用概率論m.北京：科學(xué)出版社，1992.11鄧永錄.隨機(jī)模型及其應(yīng)用m.北京：高等教育出版社，1994.12蔣慶瑯.隨機(jī)過程與生命科學(xué)模型m.上海：上海翻

36、譯出版有限公司，1987.13孫榮恒.隨機(jī)過程及其應(yīng)用m.北京：清華大學(xué)出版社，2004.14孫榮恒.概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì).重慶：重慶大學(xué)出版社，2000.15孫榮恒.應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.2版,北京：科學(xué)出版社，2003.16perzen e.隨機(jī)過程m.北京：高等教育出版社，1987.17謝爾登·羅斯.概率論初級(jí)教程m.北京：人民教育出版社，1980.18william feller.概率論及其應(yīng)用m.北京：高等教育出版社，1979.19楊超群.一類生滅過程j.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1965,15（1）:9-31.20楊超群.關(guān)于生滅過程構(gòu)造論的注記j.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1965,15（2）:174-187.21楊超群.生滅過程的性質(zhì)j.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1966,9（4）:423-45