數(shù)列通項公式的求法(類型總結(jié))(共10頁)

1、構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用數(shù)列通項公式的求法一、形如(其中f（n）不是常數(shù)函數(shù))型數(shù)列（累加法）一般地，對于形如(其中f（n）不是常數(shù)函數(shù))類的通項公式，且的和比較好求，我們可以采用此方法來求。即：；例1.（2015江蘇理數(shù)11）.數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項和為 。二、形如=f（n）（f（n）為可求積的數(shù)列）型數(shù)列（累乘法）一般地對于形如“已知a1，且=f（n）（f（n）為可求積的數(shù)列）”的形式可通過疊乘法求數(shù)列的通項公式。即：；例2在數(shù)列中， =1, (n+1)·=n·，求的表達式。練1.在數(shù)列an中，a1=1，（n+2）an+1=（n+1）an，則an= 練2.數(shù)列中

2、，前n項的和，求.三、形如型數(shù)列構(gòu)造的思路有兩種：（1）是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比較系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項為。（2）是用作差法直接構(gòu)造，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。例3、已知數(shù)列中, ,求的通項公式.例4、在數(shù)列中，當(dāng)時，有，求的通項公式。四、形如 型數(shù)列， 一般地，對于型如型數(shù)列可化為的形式來求通項。例5、設(shè)數(shù)列中，求的通項公式。五、形如 （A、B、C為常數(shù)，）型數(shù)列一般地，對于型如（A、B、C為常數(shù)，）型數(shù)列，可化為=）的形式.構(gòu)造出一個新的等比數(shù)列，然后再求，當(dāng)A=C時，我們往往也會采取另一種方法，即左右兩邊同除以Cn +1,重新構(gòu)造數(shù)列，來求。例6設(shè)

3、為常數(shù)，且（），證明：對任意n1，練習(xí)已知數(shù)列滿足,求.六、形如 或型數(shù)列一般地形如、等形式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來求通項公式。例7.已知數(shù)列滿足：，求的通項公式。 練1在數(shù)列中，=，=（），求數(shù)列通項公式.練2 已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n2);a1=,求通項an.練3 在數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且Sn0，a1=1，an=(n2)，求Sn與an。八、形如型數(shù)列這種類型我們一般采用對數(shù)法，等式兩邊分別取對數(shù)，進行降次等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）求解。例8若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=

4、練習(xí)：已知數(shù)列中，求數(shù)列。九、形如（其中p，q均為常數(shù)）型數(shù)列。對于由遞推公式，有給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例9: 數(shù)列滿足， ,求十、形如型數(shù)列一般我們用分離常數(shù)法例10、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。十一、配湊構(gòu)造法例11 數(shù)列an的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3)，求an.教師用書一、形如(其中f（n）不是常數(shù)函數(shù))型數(shù)列（累加法）例1.（2015江蘇理數(shù)11）.數(shù)列

5、滿足，且（），則數(shù)列的前10項和為 。二、形如=f（n）（f（n）為可求積的數(shù)列）型數(shù)列（累乘法）例2在數(shù)列中， =1, (n+1)·=n·，求的表達式。解：由(n+1)·=n·得，=··= 所以練1.在數(shù)列an中，a1=1，（n+2）an+1=（n+1）an，則an= 練2.數(shù)列中，前n項的和，求.解： ，三、形如型數(shù)列例3、已知數(shù)列中, ,求的通項公式.解:利用,求得,是首項為,公比為2的等比數(shù)列,即,例4、在數(shù)列中，當(dāng)時，有，求的通項公式。解:由已知遞推式，得，上述兩式相減，得，因此，數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列。所以，

6、即，所以。四、形如 型數(shù)列，例5、設(shè)數(shù)列中，求的通項公式。解：設(shè) 與原式比較系數(shù)得：即 令 五、形如 （A、B、C為常數(shù)，）型數(shù)列例6設(shè)為常數(shù)，且（），證明：對任意n1，證明：設(shè) 用代入可得 是公比為，首項為的等比數(shù)列， （），即：練習(xí)已知數(shù)列滿足,求.解:將已知遞推式兩邊同除以得,設(shè),故有，,從而.六、形如 或型數(shù)列例7.已知數(shù)列滿足：，求的通項公式。 解：原式兩邊取倒數(shù)得： 即練1在數(shù)列中，=，=（），求數(shù)列通項公式.解：由an+1=得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，兩邊同除以an+1 an得，設(shè)bn=，則bn+1- bn=，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列bn是首相b1=2，公差

7、d=的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得bn=2（n-1）=n數(shù)列通項公式為an=練2 已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n2);a1=,求通項an.解析:當(dāng)n2時, an=Sn-Sn-1=-2 SnSn-1,兩邊同除以SnSn-1得- =2,又=2, 數(shù)列是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,則=2+2(n-1)=2n, Sn=,由a1=,n2時,an=Sn-Sn-1=-=- ,二式不能合并.練3 在數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且Sn0，a1=1，an=(n2)，求Sn與an。解析：當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1 代入an=得，Sn-Sn-1=，變形整理得Sn-Sn

8、-1= SnSn-1兩邊除以SnSn-1得，-=2，是首相為1，公差為2的等差數(shù)列=1+2（n-1）=2n-1, Sn=(n2),n=1也適合，Sn=(n1)當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不滿足此式，an=八、形如型數(shù)列例8若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=解 由題意知0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2的等比數(shù)列， ，即.練習(xí)：已知數(shù)列中，求數(shù)列?！窘馕觥浚河蓛蛇吶?shù)得，令，則，再利用構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）解得：九、形如（其中p，q均為常數(shù)）型數(shù)列。例9: 數(shù)列滿足， ,求【解析】：由題可知數(shù)列的特征方程是：。 , 。又由，于是 故十、形如型數(shù)列例10、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式?！窘馕觥浚毫睿?，則x=1是函數(shù)的不動點。因為 所以 ， 所以 數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，故。十一、配湊構(gòu)造法例11 數(shù)列an的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3)，求an.解析：an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，整理得nSn+1=2(n+1)Sn,即=2