圓錐恒過定點(diǎn)問題.(教師)(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上例1. 如圖，橢圓E：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為8.（）求橢圓E的方程；（II）設(shè)動直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線x4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】解：（）|AB|AF2|BF2|8，|AF1|F1B|AF2|BF2|8。又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，4a8，a2。又e，即，以c1。b。橢圓E的方程是1。（II）由得(4k23)x28kmx4m2120。 動直線

2、l與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P(x0，y0)，m0且0，64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230，此時x0，y0kx0m。P。由得Q(4,4km)。假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對稱性知，點(diǎn)M必在x軸上。設(shè)M(x1,0)，則·0對滿足式的m、k恒成立。，(4x1,4km)，由·0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130。式對滿足式的m，k恒成立，解得x11。存在定點(diǎn)M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M。例2.如圖所示，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點(diǎn)均在拋物線E：x22py(p0)上（I）求拋物線E的方程；（II）設(shè)動直

3、線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y1相交于點(diǎn)Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)【答案】解：（I）依題意，|OB|8，BOy30°。設(shè)B(x，y)，則x|OB|sin30°4，y|OB|cos30°12。因?yàn)辄c(diǎn)B(4，12)在x22py上，所以(4)22p×12，解得p2。故拋物線E的方程為x24y。（II）由（I）知yx2，yx。設(shè)P(x0，y0)，則x00，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx。由得。所以Q。假設(shè)以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M，由圖形的對稱性知M必在y軸上，設(shè)M(0，y1)，令·0對滿足y0x(x00)的x0，y0

4、恒成立。由(x0，y0y1)， 由于·0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00(*)。由于(*)式對滿足y0x(x00)的y0恒成立，所以，解得y11。故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1)。3.已知拋物線C的方程為y2=2px（p0），直線：x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線的右側(cè)（）求證：直線與拋物線C恒有兩個不同交點(diǎn)；（）已知定點(diǎn)A（1，0），若直線與拋物線C的交點(diǎn)為Q，R，滿足，是否存在實(shí)數(shù)m，使得原點(diǎn)O到直線的距離不大于，若存在，求出正實(shí)數(shù)p的取值范圍；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；拋物線的簡單性質(zhì).專題：綜合題；圓錐曲線的

5、定義、性質(zhì)與方程分析：（）聯(lián)立x+y=m與y2=2px，證明0，即可得到直線l與拋物線C恒有兩個不同交點(diǎn)； （）根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理，求出p的表達(dá)式，利用原點(diǎn)O到直線l的距離不大于，確定m的范圍，由此可得正實(shí)數(shù)p的取值范圍解答：（）證明：由題知，聯(lián)立x+y=m與y2=2px，消去x可得y2+2py2pm=0（*）p0且，=4p2+8pm0，所以直線l與拋物線C恒有兩個不同交點(diǎn)； 4分（）解：設(shè)Q（x1，y1），R（x2，y2），由（*）可得y1+y2=2p，y1y2=2pm故=2y1y2+（1m）（y1+y2）+（m1）2=m2（2+2p）m+12p=0又由原點(diǎn)O到直線l的距離不大于，則有，由（

6、）有，即，結(jié)合，化簡該不等式得：5m2+2m+10，恒成立，令t=m+1，則而函數(shù)在上單調(diào)遞減，存在m且，實(shí)數(shù)p的取值范圍為10分4.已知橢圓與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為，該橢圓的離心率為（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于M，N兩個不同的點(diǎn)，且對外任意一點(diǎn)Q，有成立？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。解：（）由題意得，直線的方程為（1分）由及，得（3分）所以橢圓的方程為（4分）（）， （6分）當(dāng)直線的斜率不存在時，易知符合條件，此時直線的方程為（8分）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入得由，解得設(shè)，則， ， （10分）由得 由

7、消去，得，即，無解綜上存在符合條件的直線（12分）5.已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長為2，且兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為一個正方形的頂點(diǎn)過右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn) （）求橢圓的方程；（）在線段上是否存在點(diǎn),使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：（）因?yàn)闄E圓的短軸長：， 又因?yàn)閮蓚€焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為一個正方形的頂點(diǎn)，所以：；故橢圓的方程為：4分（）（1）若與軸重合時，顯然與原點(diǎn)重合，； （2）若直線的斜率，則可設(shè)，設(shè)則： 所以化簡得：； 的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，代入可得： 的中點(diǎn)為， 由于得到 所以： 綜合（1）（2）得到： 14分6.設(shè)橢圓的離心率為

8、,點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),且點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上一動點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,求的取值范圍.解:(1)依題意知, 2分 ,. 4分所求橢圓的方程為. 6分（2） 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為， 8分解得：，. 10分. 12 點(diǎn)在橢圓:上, 則. 的取值范圍為. 13分 7. 已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由解：（1）解：（1）由拋物線的焦點(diǎn)在圓上得：，拋物線 3分同理由橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上可解得：得

9、橢圓 6分（2）是定值，且定值為1設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立方程組，消去得：且 9分由得：整理得： 14分8. 已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為. （I）求橢圓的方程；（II）設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的動直線與橢圓交于兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（I）由題意知：，且解得：進(jìn)而 橢圓的方程為（II）易求得右焦點(diǎn),假設(shè)在軸上存在點(diǎn)（為常數(shù)），使當(dāng)直線的斜率不存在時，則，此時,解得或.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立方程組，消去整理得設(shè)，則 當(dāng)即時，為定值：由可知，在軸上存在定點(diǎn)，使成立9. 設(shè)橢圓C：+=1（ab0）過點(diǎn)M（1，1）

10、，離心率e=，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（I）求橢圓C的方程（）若直線l是圓O：x2+y2=1的任意一條切線，且直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求證：為定值解：（）由題意可得，解得，橢圓C的方程為（）當(dāng)圓O的切線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，則圓心O到直線l的距離，1+k2=m2將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立，得到（1+3k2）x2+6kmx+3m24=0設(shè)直線l與橢圓C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則，=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，當(dāng)圓的切線l的斜率不存在時，驗(yàn)證得綜合上述可得，為定值010.已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相

11、切（）求橢圓的方程；（）設(shè)，是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；解：（）由題意知， 所以即又因?yàn)椋?，故橢圓的方程為4分（）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由 得 6分設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為令，得將，代入，整理，得 由得 ，代入整理，得所以直線與軸相交于定點(diǎn)11. 已知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，且.（1）求橢圓的方程；(2）設(shè)過點(diǎn)且斜率不為的任意直線交橢圓于，兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.（1）解：由 ， 得 . 依題意是等腰直角三角形，從而，故. 所以橢圓的方程是. 5分（2）解

12、：設(shè)，直線的方程為. 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得 . 所以 ，. 若平分，則直線，的傾斜角互補(bǔ)，所以.設(shè)，則有 .將 ，代入上式，整理得 ，所以 . 將 ，代入上式，整理得 . 由于上式對任意實(shí)數(shù)都成立，所以 . 綜上，存在定點(diǎn)，使平分. 12分12.已知橢圓C的方程為左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為4，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，滿足（）求橢圓C的方程；（）過點(diǎn)P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。（）在 中,設(shè),由余弦定理得，即，即，得.         2分又因?yàn)椋炙?，所以所求橢圓的方程為.    &