廣東省江門市2019-2020學年高三下學期4月模擬數學(文)試題(解析版)

1、數學試題一、選擇題：本題共12小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .1.已知集合a1，2 ，b2 ，3，pab，則 p 的子集共有（）a. 2 個b. 4 個c. 6 個d. 8個【答案】 a 【解析】【分析】進行交集的運算即可求出p2 ，然后即可得出p 的子集的個數.【詳解】 a1,2, b 2,3 ，pab2 ，p 的子集共有21 2個 .故選： a【點睛】本題考查了列舉法的定義，交集的定義及運算，子集個數的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題 .2.i 是虛數單位，復平面內表示i（1+2i）的點位于（）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d.

2、第四象限【答案】 b 【解析】【分析】直接由已知求得對應復數，得到其在復平面內對應點的坐標得答案.【詳解】因為i（1+2i）=-2+i 其在復平面內對應的點為（-2,1）故在第二象限；故選： b【點睛】本題考查了復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題.3.學校有 3 個文藝類興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，他們參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個文藝類興趣小組的概率為（）a. 12b. 13c. 14d. 16【答案】 b 【解析】【分析】基本事件總數n33 9.這兩位同學參加同一個文藝類興趣小組包含的基本事件個數m3，由此能求出這兩位同學參加同一個文藝類興趣小組的

3、概率.【詳解】學校有3個文藝類興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，他們參加各個小組的可能性相同，基本事件總數n33 9.這兩位同學參加同一個文藝類興趣小組包含的基本事件個數m3，則這兩位同學參加同一個文藝類興趣小組的概率p3193mn.故選： b【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題.4.數列 an中， a12，a23， ? nn+， an+2an+1an，則 a2020（）a. 1b. 5c. 2d. 3【答案】 c 【解析】【分析】根據遞推關系求出其是以6 為周期交替出現(xiàn)的數列，進而表示結論，并求得答案.【詳解】因為數列an中，a12，a

4、23，?nn+，an+2an+1-an，a3a2-a11；a4 a3-a2-2；a5 a4-a3-3；a6 a5-a4-1；a7 a6-a52a1；a8 a7-a63a2；數列 an是周期為6 的數列；20206336+4 ；a2020a4-2；故選： c【點睛】本題主要考查數列遞推關系式的應用，解決本題的關鍵在于求出周期為6，屬于簡單題.5.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸出的y 的值是 1，則輸入的x 的值是（）a. 23b. 2c. 23或 2d. 以上都不是【答案】 c 【解析】【分析】根據結果，倒著推，進行判斷.【詳解】若x1，則 3x-11，解之得x23；若 x1 ，則 x2-4x+51

5、，解之得x2；故選： c【點睛】本題考查程序框圖、分段函數的性質，屬于基礎題.6.若點(cos,)psin在直線2yx上，則cos(2)2的值等于（）a. 45b. 45c. 35-d. 35【答案】 b 【解析】q點cos ,psin在直線2yx上?2cos,tan2sin?22 tan4cos 2221tan5sin? 故選 b.7.已知 a ln3，bsin3，13ce，則（）a. a bcb. cabc. cbad. bca【答案】 d 【解析】【分析】利用指數函數、對數函數與三角函數的單調性即可得出.【詳解】 aln3lne=1，bsin3sin2132，1133112cee，bca

6、.故選： d.【點睛】本題考查指數函數、對數函數與三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.8.abc a1b1c1是正三棱柱，若ab1，ab1 bc1，則 aa1（）a. 2b. 22c. 3d. 33【答案】 b 【解析】【分析】由題意畫出圖形，取ab的中點 o，連接 oc，以 o 為坐標原點，以ab 所在直線為x軸，以 oc 所在直線為y 軸建立空間直角坐標系，設aa1a，再由110abbcuu ur u uu u r列式求解a 值，則答案可求.【詳解】如圖，取ab 的中點 o，連接 oc，以 o 為坐標原點，以 ab 所在直線為x 軸，以 oc 所在直線為y 軸建立空間直

7、角坐標系，設 aa1a，則 a（12,0,0）,b1（12,0,a） ,b（12,0,0）,c1（0,32,a）,則11131,0,22ababcauuu ruu uu r.由 ab1bc1，得211102abbcauuur uuu u r，即 a22.aa122. 故選： b【點睛】本題考查空間中點、線、面間的距離的求法，訓練了向量垂直與數量積關系的應用，屬于中檔題.9.經過拋物線y22px（p0）的焦點且傾斜角為4的直線與拋物線相交于a、b 兩點，若 |ab|1，則 p（）a. 1b. 12c. 13d. 14【答案】 d 【解析】【分析】由題意可得直線ab的方程為： yx2p， 與拋物線

8、方程聯(lián)立，利用韋達定理結合拋物線的定義可得4p1，從而求出 p 的值 .【詳解】由題意可知，拋物線焦點坐標為（2p,0） ，直線 ab 的方程為： yx2p，聯(lián)立方程222pyxypx.消去 y 得：22304pxpx，xa+xb3p，由拋物線的定義可知：|ab|xa+xb+p，4p1， p14，故選： d【點睛】本題主要考查了拋物線的定義，以及直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.10. 給出下列結論：（1）某學校從編號依次為001，002，900的900個學生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中有兩個相鄰的編號分別為053，098，則樣本中最大的編號為862（2）甲組數據的方差為5，乙

9、組數據為5、6、9、10、5，那么這兩組數據中較穩(wěn)定的是甲（3）若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數r的值越接近于1（4）對a、b、c三種個體按3:1: 2的比例進行分層抽樣調查，若抽取的a種個體有15個，則樣本容量為30則正確的個數是（）a. 3b. 2c. 1d. 0【答案】 c 【解析】【分析】運用抽樣、方差、線性相關等知識來判定結論是否正確【詳解】（ 1）中相鄰的兩個編號為053，098，則樣本組距985345樣本容量為9002045則對應號碼數為53452n當20n時，最大編號為5345 18863，不是862，故（ 1）錯誤（2）甲組數據方差為 5，乙組數據為5、6、9、 10、

10、5，則56910575x乙乙組數據的方差為222221576797107574.455那么這兩組數據中較穩(wěn)定的是乙，故（2）錯誤（3）若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數r的絕對值越接近于1，故錯誤（4）按 3:1:2的比例進行分層抽樣調查，若抽取的a 種個體有15 個，則樣本容量為315303 12，故正確綜上，故正確的個數為1 故選c【點睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣、分層抽樣、線性相關、方差相關知識，熟練運用各知識來進行判定，較為基礎11. 直角坐標系xoy 中，雙曲線221412xy的左焦點為f，a（1，4） ，p 是右支上的動點，則|pf|+|pa|的最小值是（）的a. 8b. 9c.

11、 10d. 12【答案】 b 【解析】【分析】設雙曲線的右焦點為g， 由雙曲線方程求得f 與 g 的坐標，再由雙曲線的定義可得|pf|+|pa|2a+|pg|+|pa|，利用 |pg|+|pa| |ag|求出最小值 .【詳解】由題意得a 2，b2 3，c4，則 f（-4,0） ，設右焦點 g（4,0）.由雙曲線的定義可知位于右支的點p 有|pf|pg|4，|pf|+|pa|4+|pg|+|pa| 4+| ag|422(14)(40)4+59.故選： b【點睛】本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，把|pf|+|p a|化為2a+|pg|+|pa|是解題的關鍵，屬于

12、中檔題.12. 已知函數( )|ln|f xx，若0ab.且( )( )f af b，則2ab的取值范圍是（）a. (22,)b. 2 2,c. (3,)d. 3,【答案】 b 【解析】【分析】畫出( )|ln|f xx的圖象，數形結合可得01,1ab，1ab，然后利用基本不等式即可求出答案【詳解】( )|ln|f xx的圖象如下：因為0ab.且( )( )f af b所以lnlnab且01,1ab所以lnlnab，所以1ab所以22 222abab當且僅當2ab，即2,22ab時等號成立故選： b【點睛】本題主要考查了對數函數的圖象和性質，考查了基本不等式的運用，用到了數形結合的思想，屬于中

13、檔題 .二、填空題：本題共4 小題，每小題 5分.13. an是等比數列，若a12，a21，則數列 an 的前 n 項和 sn _.【答案】242n【解析】【分析】由等比數列定義可求得公比，再由等比數列求和公式計算得答案.【詳解】由等比數列的前兩項可求得公比，再代入前n 項和公式可求出結果. an 是等比數列，若a12，a21，公比q2112aa.又ns12121)12421112nnnaqq.故答案為：242n【點睛】本題考查等比數列的基本量的求法與前n 項和公式，屬于基礎題.14. abcd 是邊長為1 的正方形， e、f 分別是 bc、cd 的中點，則ae afuu u r uuu r_

14、.【答案】 1【解析】【分析】根據題意建立平面直角坐標系，利用坐標表示向量，再求aeuu u r?afuuu r的值 .【詳解】建立平面直角坐標系，如圖所示；則 a（0,0）,b（1,0）,c（1,1）,d（0,1） ；因為 e、f 分別是 bc、cd 的中點，則e（1,12）,f（12,1） ；所以aeuuu r（1,12）,afuuu r（12,1） ；故ae afuuu r uuu r1112211.故答案為： 1【點睛】本題考查了平面向量的坐標表示及數量積計算問題，屬于基礎題.15. 設 x，y 滿足22510.xyxy，則 z2x+y 的取值范圍是 _.（用區(qū)間表示）【答案】2,5【

15、解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域；作出目標函數對應的直線；結合圖象知當直線過a 時，z 最小，從而得出目標函數 z2x+y 的取值范圍 .【詳解】畫x，y 滿足22510.xyxy，表示的平面區(qū)域，如圖：將目標函數變形為2yxz，則 z表示直線在y 軸上截距，截距越大，z 越大作出目標函數對應的直線l：y 2x由10 xy可得 a（1， 0）直線 z 2x+y 過 a 時，直線的縱截距最小，z最小，z的最小值為： 2.直線 2x+zy 與圓相切于b 時， z取得最大值：55z，解得 z5 ，則目標函數z2x+y的取值范圍是2,5.故答案為：2,5【點睛】本題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域

16、、考查數形結合求函數的最值，屬于中檔題.16. 函數2221xsinxcosxfxx的最大值為m，最小值為m，則 m+m _.【答案】 2【解析】【分析】根據題意，求出f（-x）的表達式，分析可得f（x）+f（-x） 2，即可得函數f（x）的圖象關于點（0,1）對稱，據此分析可得答案.【詳解】根據題意，222221211xsinxcosxxsinxcosxfxxx1221sinxcosxx，則 f（-x） 1221sinxcosxx，則有 f（x）+f（-x） 2，即函數f（x）的圖象關于點（0,1）對稱，若函數 f（ x）的最大值為m，最小值為m，必有 m+m2；故答案為： 2【點睛】本題考

17、查函數的奇偶性的性質以及應用，涉及函數的最值，屬于中檔題.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 某貧困地區(qū)共有1500 戶居民，其中平原地區(qū)1050 戶，山區(qū) 450 戶.為調查該地區(qū)2017 年家庭收入情況，從而更好地實施“精準扶貧”，采用分層抽樣的方法，收集了 150戶家庭 2017年年收入的樣本數據（單位：萬元） .（1）應收集多少戶山區(qū)家庭樣本數據？（2）根據這150 個樣本數據，得到2017 年家庭收入的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區(qū)間為（ 0，0.5， （0.5， 1， （1，1.5， （ 1.5，2， （2，2.5， （2.5， 3.如果將頻

18、率視為概率，估計該地區(qū)2017年家庭收入超過1.5 萬元的概率；（3）樣本數據中，有5 戶山區(qū)家庭的年收入超過2 萬元， 請完成 2017年家庭收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有 90%的把握認為“該地區(qū)2017 年家庭年收入與地區(qū)有關”？超過 2 萬元不超過 2 萬元總計平原地區(qū)山區(qū)5總計附：22n adbckabcdacbdp（k2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828【答案】 （1）45 戶（2）0.45（3）填表見解析； 有 90%的把握認為“該地區(qū)2017 年家庭年收入與地區(qū)有關”.【解析】【分析】（1）由已知可得每戶居民被抽取的概

19、率為0.1，然后求解應收集戶山區(qū)家庭的戶數.的（2）由直方圖直接求解該地區(qū)2017 年家庭年收入超過1.5 萬元的概率 .（3）樣本數據中，年收入超過2 萬元的戶數為（0.300+0.100）0.5 15030 戶.而樣本數據中，有5 戶山區(qū)家庭的年收入超過2 萬元，完成列聯(lián)表，求出k2，即可判斷是否有90%的把握認為 “ 該地區(qū) 2017 年家庭年收入與地區(qū)有關”.【詳解】（1）由已知可得每戶居民被抽取的概率為0.1，故應收集手機4500.1 45 戶山區(qū)家庭的樣本數據.（2）由直方圖可知該地區(qū)2017年家庭年收入超過1.5 萬元的概率約為（0.500+0.300+0.100）0.5 0.4

20、5.（3）樣本數據中，年收入超過2 萬元的戶數為（0.300+0.100）0.5 150 30 戶.而樣本數據中，有5 戶山區(qū)家庭的年收入超過2萬元，故列聯(lián)表如下：超過 2 萬元不超過 2 萬元總計平原地區(qū)2580105山區(qū)54045總計30120150所以22150 25 405 802003.175 2.70630 120 105 4563k，有 90%的把握認為 “ 該地區(qū) 2017 年家庭年收入與地區(qū)有關”.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，也考查了計算能力的應用問題，屬于簡單題.18. abc 的角 a、b、c 的對邊為a、b、c，已知 a、b、c 成等差數列，78cosa.（

21、1）若 a1，求 c；（2）若 abc 的周長為18，求 abc 的面積 s.【答案】（ 1）c2（2）3 15【解析】【分析】（1）由已知結合余弦定理可求；（2）結合已知a，b， c的關系及余弦定理可求c，然后結合同角平方關系及三角形的面積公式可求；【詳解】（ 1）依題意，12cb，由余弦定理得，2222214472418ccbcacosabccc，即 c2-c-20，解得 c 2或 c-1，舍去負值得，c2，（2）依題意， a+c2b，a+b+c18，所以 b6，a12-c，由余弦定理得，22222261272128ccbcacosabcc，解得 c 8，由78cosa且 0 a 得，15

22、8sina，abc 的面積13 152sbcsina，【點睛】本題主要考查了余弦定理，同角基本關系及三角形的面積公式在求解三角形中的應用，屬于中檔題.19. 如圖，四棱錐oabcd 的底面是邊長為1的菱形， oa 2，abc60，oa平面 abcd，m、n 分別是 oa、 bc 的中點 .（1）求證：直線mn平面 ocd；（2）求點 m 到平面 ocd 的距離 .【答案】（ 1）證明見解析（2）5719【解析】【分析】（1）取 od 的中點 p，連接 pc、pm，由三角形的中位線定理可得pmnc 是平行四邊形，得mnpc，再由直線與平面平行的判定可得直線mn平面 ocd；（2）連接 on、nd

23、，設點 m 到平面 ocd 的距離為d，可得點n 到平面 ocd 的距離為d，然后利用等體積法求點 m 到平面 ocd 的距離 .【詳解】（ 1）證明：取od 的中點 p，連接 pc、pm，m 、n 分別是 oa、bc 的中點， pmad ，且12pmad，ncad，且12ncad，pmnc，且 pmnc，則 pmnc 是平行四邊形，得mnpc，pc? 平面 ocd，mn?平面 ocd，直線 mn平面 ocd；（2）解：連接on、nd，設點 m 到平面 ocd 的距離為d，由（ 1）得，點n 到平面 ocd 的距離為d，設三棱錐 ocdn 的體積為v，則1133cdnocdvsoasdvv，依

24、題意，1328cdnscdcnsinbcdv，acadcd 1，5ocod，則11195244ocdscdv.由1311923834d，得點 m 到平面 ocd 的距離5719d.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用等體積法求多面體的體積，屬于中檔題.20. 直角坐標系xoy 中，橢圓22221xyab（ab 0）的短軸長為2 2，離心率為63.（1）求橢圓的方程；（2） 斜率為 1 且經過橢圓的右焦點的直線交橢圓于p1、 p2兩點， p 是橢圓上任意一點， 若12opopopuuu ruuu ruuur（ ， r） ，證明： 2+2為定值 .【答案】（

25、 1）22162xy（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用已知條件解得2b，6a，得到橢圓的方程.（2）直線 p1p2的方程為yx2，由221622xyyx得， 2x26x+3 0，設 p1（x1，y1） 、p2（x2，y2） 、p（x0，y0） ，結合韋達定理，以及向量關系，通過p、p1、p2都在橢圓上，轉化求解即可 .【詳解】（ 1）依題意，22 2b，2263cabeaa，解得2b，6a，橢圓的方程為22162xy，（2）證明：222cab，直線 p1p2的方程為 yx2，由221622xyyx得， 2x26x+30，設 p1（x1，y1） 、p2（x2，y2） 、p（x0，y0）

26、，則x1+x23，1232x x，由12opopopuuu ruuu ruu ur得 x0 x1+x2，y0y1+y2，因為 p、p1、p2都在橢圓上，所以22360iixy，i0， 1，2，2222222222001212112212126333323xyxxyyxyxyx xy y62+62+3（1+2y1y2） ，121212123122246422y yxxx xxx，所以， 62+62 6，2+21 是定值 .【點睛】本題主要考查橢圓的方程、離心率以及直線與橢圓的位置關系，考查數形結合的數學思想和考生的邏輯思維能力與運算求解能力以及應用解析幾何方法解決幾何問題的能力，屬于較難題.21

27、. 已知函數f（x） lnxex2，x0.（1）求函數y f（x）的圖象在點x2 處的切線方程；（2）求證： f（x） 0.【答案】（ 1）122yxln（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出21xf xex，求出切線斜率，切點坐標，然后求解切線方程.（2）（方法一）作函數1g xlnxxe， 求出11 g xxe， 判斷函數的單調性， 構造函數21xeh xxee，21xeh xee，求出函數的最小值，然后推出結果.（方法二）21xf xex在定義域區(qū)間（0，+）單調遞減，求解函數的極大值，導函數的零點，然后轉化求解即可 .【詳解】（ 1）2xefxlnxe，21xfxex，f（2） l

28、n21，122f（ ），所求切線方程為12122ylnx，即122yxln，（2） （方法一）作函數1g xlnxxe，（其他適宜函數如6758g xlnxxlne、26758xeh xxlnee也可）11 g xxe，g （e） 0；當 0 xe時， g （x） 0；當 xe時， g（x） 0，所以 g（x） g（e） 0，即1lnxxe，等號當且僅當xe時成立 .作函數21xeh xxee，21xeh xee，h （1） 0；當 0 x1 時， g （x） 0；當 x1 時， g （ x） 0，所以 h（x） h（1） 0，即21xexee，等號當且僅當x1 時成立 .因為 e1 ，綜上所述， ?x0，lnxex2，即 f（x） 0.（方法二）21xf xex在定義域區(qū)間（0，+）單調遞減，的1112102ffe（）（ ），所以， f（x）有唯一零點x0，且 x0極大值點，0200 xfxlnxe，由02010 xex得，0201xex，lnx02x0，代入得，00012fxxx，因為 1x02，所以0012xx，f（x） f（x0） 0.【點睛】本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，構造法的應用，函數的單調性的判斷，考查轉化思想以及計算能力，屬于難題.請考生在第 22、23題中任選一題作答，如果多做，則