2019年北京市西城區(qū)高三第一學期期末數(shù)學(理)試題(含答案)

1、高考數(shù)學精品復習資料2019.5 北京市西城區(qū) 20 xx 第一學期期末試卷高三數(shù)學（理科）20 xx.1第卷（選擇題共 40 分）一、選擇題：本大題共8 小題，每小題5分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1設集合|02axx，1| |bxx，則集合ab（）（a）(0,1)（b）(0,1（c）(1,2)（d）1,2)3在 abc 中，角 a，b， c 所對的邊分別為a，b，c. 若3a，2b，1cos()3ab，則c（）（a）4（b）15（ c）3（d）172已知復數(shù)z 滿足2i=1iz，那么z的虛部為（）（a）1（b）i（ c）1（d）i4執(zhí)行如圖所示的程序框圖

2、，輸出的s值為（）（a）34（b）45（c）56（d）16 若曲線221axby為焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a,b滿足（）（a）22ab（ b）11ab（c）0ab（ d）0ba7 定義域為 r 的函數(shù)( )f x 滿足(1)2( )f xf x ， 且當(0,1x時，2( )f xxx ， 則當 2, 1x時，( )fx 的最小值為（）（a）116（b）18（c）14（d）05已知圓22:(1)(1)1cxy+-=與 x 軸切于 a 點，與 y 軸切于 b 點，設劣弧?ab的中點為m，則過點m 的圓 c 的切線方程是（）（a）22yx=+-（ b）112yx=+-（c）22yx=-+（ d）

3、12yx=+-i=1，s=0 開始1(1)ssi ii=i+1 5i輸出 s結束否是8. 如圖，正方體1111abcda bc d的棱長為2 3，動點 p 在對角線1bd上，過點p 作垂直于1bd的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設bpx，則當1,5x時，函數(shù)( )yf x的值域為（）（a）26,66（b）26,18（c）3 6,18（d）3 6,66第卷（非選擇題共 110 分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5 分，共 30 分9. 在平面直角坐標系xoy中，點(1,3)a，( 2, )bk，若向量oaab，則實數(shù)k_10若等差數(shù)列na滿足112a，465aa，則公差

4、d_ ；24620aaaa_11已知一個正三棱柱的所有棱長均相等，其側（左）視圖如圖所示，那么此三棱柱正（主）視圖的面積為_12甲、乙兩名大學生從4 個公司中各選2 個作為實習單位，則兩人所選的實習單位中恰有1 個相同的選法種數(shù)是_. （用數(shù)字作答）aba1 b1 dcd1 c1 p 側(左)視圖2 13 如圖，,b c為圓o上的兩個點，p為cb延長線上一點，pa為圓o的切線，a為切點. 若2pa，3bc，則pb_；acab_14在平面直角坐標系xoy中，記不等式組220,0,2xyxyxy所表示的平面區(qū)域為d. 在映射,:uxytvxy的作用下，區(qū)域d內(nèi)的點( , )x y對應的象為點( ,

5、 )u v. （1）在映射t的作用下，點(2,0)的原象是；（2）由點( , )u v所形成的平面區(qū)域的面積為_三、解答題：本大題共6小題，共80 分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15 （本小題滿分13 分）已知函數(shù)( )3cosf xx，( )sin()(0)3g xx，且( )g x的最小正周期為. （）若6( )2f， , ，求的值；（）求函數(shù)( )( )yf xg x的單調(diào)增區(qū)間 . 16 （本小題滿分13 分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學在期末考試中的數(shù)學成績乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認，假設這個數(shù)字具有隨機性，并在圖中以a表示（）若甲、乙兩個小組的數(shù)學平

6、均成績相同，求a的值；（）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；ap b c o .（）當2a時，分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學，記這兩名同學數(shù)學成績之差的絕對值為x，求隨機變量x的分布列和數(shù)學期望17 （本小題滿分14 分）如圖，在多面體abcdef 中，底面abcd 是邊長為2 的菱形，60bad，四邊形bdef 是矩形，平面bdef平面 abcd， bf=3， h 是 cf 的中點 . （）求證：ac平面 bdef ；（）求直線dh 與平面 bdef 所成角的正弦值；（）求二面角hbdc 的大小 . 18 （本小題滿分13 分）已知函數(shù)( )()exf xxa，其中e是自然對數(shù)的底

7、數(shù)，ar. （）求函數(shù))(xf的單調(diào)區(qū)間；（）當1a時，試確定函數(shù)2( )()g xf xax的零點個數(shù)，并說明理由. 19 （本小題滿分14 分）已知,a b是拋物線2:wyx上的兩個點，點a的坐標為(1,1)，直線ab的斜率為k，o為坐甲組乙組8 9 0 1 a 8 2 2 f b c e a h d 標原點 . （）若拋物線w的焦點在直線ab的下方，求k 的取值范圍；（）設 c 為 w 上一點，且abac，過,b c兩點分別作w 的切線，記兩切線的交點為d，求od的最小值 . 20 （本小題滿分13 分）設無窮等比數(shù)列na的公比為q，且*0()nann，na表示不超過實數(shù)na的最大整數(shù)（

8、如2.52） , 記nnba，數(shù)列 na的前n項和為ns，數(shù)列nb的前n項和為nt. （）若114,2aq=，求nt；（）若對于任意不超過2014的正整數(shù)n，都有21ntn=+，證明：120122( )13q. （）證明：nnst=（1,2,3,n =l）的充分必要條件為1,aqnn*撾. 北京市西城區(qū) 20 xx 第一學期期末高三數(shù)學 （理科） 參考答案及評分標準20 xx.1一、選擇題：本大題共8 小題，每小題5 分，共 40 分. 1b 2c 3d 4b 5a 6c 7a 8d二、填空題：本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分. 94101255112 31224131214(1,

9、1)注：第 10、13、14 題第一問2 分，第二問3 分.三、解答題：本大題共6 小題，共80 分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分. 15 （本小題滿分13 分）（） 解：因為( )sin()(0)3g xx的最小正周期為，所以2|，解得23 分由6()2f，得63 cos22，即2cos22，4 分所以22 4k，kz. 因為 , ，所以7 7,88 88. 6 分（） 解：函數(shù)( )( )3 cos2sin(2)3yf xg xxx3cos2sin 2 coscos2 sin33xxx8分13sin2cos222xxsin(2)3x，10 分由22 2232kkx，11 分解得5

10、1212kkx 12 分所以函數(shù)( )( )yf xg x的單調(diào)增區(qū)間為5 ()1212kkkz,. 13 分16 （本小題滿分13 分）（） 解：依題意，得11(889292)9091(90)33a，2 分解得1a.3 分（） 解：設“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件a，4 分依題意0,1,2,9a，共有 10 種可能 . 5 分由（）可知，當1a時甲、乙兩個小組的數(shù)學平均成績相同，所以當2,3,4,9a時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8 種可能6 分所以乙組平均成績超過甲組平均成績的概率84()105p a 7 分（）解： 當2a時， 分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，所

11、有可能的成績結果有339種，它們是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，9 分則這兩名同學成績之差的絕對值x的所有取值為0,1,2,3,4. 10 分因此2(0)9p x，2(1)9p x，1(2)3p x，1(3)9p x，1(4)9p x. 11 分所以隨機變量x的分布列為：x0 1 2 3 4 p292913191912 分所以x的數(shù)學期望221115()01234993993e x13 分17 （本小題滿分14 分）（） 證明： 因為四邊形abcd是菱形，所以acbd. 1 分因

12、為平面bdef平面abcd，且四邊形bdef是矩形，所以ed平面abcd，2 分又因為ac平面abcd，所以edac. 3 分因為edbdd，所以ac平面bdef.4 分（） 解：設acbdo，取ef的中點n，連接on，因為四邊形bdef是矩形，,o n分別為,bd ef的中點，所以/oned，又因為ed平面abcd，所以on平面abcd，由acbd，得,ob oc on兩兩垂直 . 所以以o為原點，,ob oc on所在直線分別為x 軸， y 軸， z 軸，如圖建立空間直角坐標系.5 分因為底面abcd是邊長為2 的菱形，60bad，3bf，所以(0,3,0)a，(1,0,0)b，( 1,0

13、,0)d，( 1,0,3)e，f e h d z n (1,0,3)f，(0, 3,0)c，13 3(,)222h. 6分因為ac平面bdef，所以平面bdef的法向量(0,2 3,0)ac. 7 分設直線dh與平面bdef所成角為，由33 3(, )222dh，得33302307222sin|cos,|7212 32dhacdhacdhac，所以直線dh與平面bdef所成角的正弦值為77. 9 分（）解：由（），得13 3(,)222bh，(2,0,0)db. 設平面bdh的法向量為111(,)x y zn，所以0,0,bhdbnn 10 分即1111330,20,xyzx令11z，得(0,

14、3,1)n. 11 分由ed平面abcd，得平面bcd的法向量為(0,0,3)ed，則00(3)01 ( 3)1cos,2 32ededednnn. 13 分由圖可知二面角hbdc為銳角，所以二面角hbdc的大小為60. 14 分18. （本小題滿分13 分）（） 解：因為( )()exf xxa，xr，所以( )(1)exfxxa2 分令( )0fx，得1xa3 分當x變化時，( )fx和( )fx的變化情況如下：x(,1)a1a(1,)a( )fx0( )f x5 分故( )f x的單調(diào)減區(qū)間為(,1)a；單調(diào)增區(qū)間為(1,)a6 分（） 解：結論：函數(shù)( )g x有且僅有一個零點. 7

15、分理由如下：由2( )()0g xf xax，得方程2exaxx，顯然0 x為此方程的一個實數(shù)解. 所以0 x是函數(shù)( )g x的一個零點. 9 分當0 x時，方程可化簡為exax. 設函數(shù)( )exaf xx，則( )e1xafx，令( )0fx，得xa當x變化時，( )f x和( )fx的變化情況如下：x(,)aa( ,)a( )fx0( )f x即( )f x的單調(diào)增區(qū)間為( ,)a；單調(diào)減區(qū)間為(,)a所以( )f x的最小值min( )( )1f xf aa. 11 分因為1a，所以min( )( )10f xf aa，所以對于任意xr，( )0f x，因此方程ex ax無實數(shù)解所以

16、當0 x時，函數(shù)( )g x不存在零點 . 綜上，函數(shù)( )g x有且僅有一個零點. 13 分19 （本小題滿分14 分）（） 解：拋物線2yx的焦點為1(0,)4. 1分由題意，得直線ab的方程為1(1)yk x，2 分令0 x，得1yk，即直線ab與 y 軸相交于點(0,1)k. 3 分因為拋物線w的焦點在直線ab的下方，所以114k，解得34k. 5 分（） 解：由題意，設211(,)b x x，222(,)c xx，33(,)d xy，聯(lián)立方程21(1),yk xyx消去y，得210 xkxk，由韋達定理，得11xk，所以11xk. 7 分同理，得ac的方程為11(1)yxk，211x

17、k. 8 分對函數(shù)2yx求導，得2yx，所以拋物線2yx在點b處的切線斜率為12x，所以切線bd的方程為21112()yxxxx， 即2112yx xx. 9 分同理，拋物線2yx在點c處的切線cd的方程為2222yx xx.10 分聯(lián)立兩條切線的方程2112222,2,yx xxyx xx解得12311(2)22xxxkk，3121yx xkk，所以點d的坐標為111(2),)2kkkk. 11 分因此點d在定直線220 xy上. 12 分因為點o到直線220 xy的距離22|2 002|2 5521d，所以2 55od，當且僅當點42(,)55d時等號成立13 分由3125ykk，得126

18、5k，驗證知符合題意. 所以當1265k時，od有最小值2 55. 14 分20 （本小題滿分13 分）（） 解：由等比數(shù)列na的14a =，12q =，得14a =，22a =，31a =，且當3n 時，01na時，0nnba=. 2 分即,6,2,4,17,3.nnntn3 分（） 證明 ：因為201421()ntnn，所以113bt=，120142(2)nnnbttn . 4 分因為nnba=，所以13,4)a，20142,3)(2)nan . 5 分由21aqa，得1q. 6 分因為2012201422,3)aa q，所以20122223qa，所以2012213q，即120122()13q. 8 分（） 證明 ： （充分性）因為1an*?，qn*?，所以11nnaaqn-*=?，所以nnnbaa=對一切正整數(shù)n 都成立 .因為12nnsaaa=+l，12nntbbb=+l，所以nnst=. 9 分（必要性）因為對于任意的nn*?，nnst=，當1n時，由1111