與圓有關(guān)的最值(范圍)問題(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上與圓有關(guān)的最值（范圍）問題圓是數(shù)學(xué)中優(yōu)美的圖形，具有豐富的性質(zhì)由于其圖形的對(duì)稱性和完美性，很多與圓有關(guān)的最值問題都可以運(yùn)用圓的圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解當(dāng)然，根據(jù)教學(xué)要求的說明，“平面解析幾何的重要內(nèi)容，教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生從中感受運(yùn)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想”，因此在此類問題的求解中，有時(shí)也會(huì)用到函數(shù)思想和基本不等式思想等本文將就與圓的最值問題有關(guān)的題目進(jìn)行歸納總結(jié)，希望能為學(xué)生在處理此類問題時(shí)提供幫助類型一：圓上一點(diǎn)到直線距離的最值問題應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離加半徑，減半徑例1 已知P為直線y=x+1上任一點(diǎn)，Q為圓C：上任一點(diǎn)，則的最小值為 .【分析】：這是求解“

2、圓上一動(dòng)點(diǎn)到直線距離”的常見考題，可以通過平面幾何的知識(shí)得“圓心到直線的距離減半徑”即為最短距離，這一結(jié)論在解題時(shí)可直接應(yīng)用解：如圖1，圓心C到直線y=x+1的距離，圓半徑，故變題1：已知A(0,1),B(2,3),Q為圓C上任一點(diǎn)，則的最小值為 . 【分析】本題要求的最大值，因?yàn)榫€段AB為定長(zhǎng)，由三角形面積公式可知，只需求“Q到的最小值”，因此問題轉(zhuǎn)化為“圓上一動(dòng)點(diǎn)到直線的最小距離”，即例1解：如圖2，設(shè)為Q到的距離，則xyOCBQAxyOCPQ圖1 圖2變題2：由直線y=x+1上一點(diǎn)向圓C：引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為 【分析】一般地，當(dāng)直線和圓相切時(shí)，應(yīng)連接圓心和切點(diǎn)，構(gòu)造直銷三角形進(jìn)行求

3、解因?yàn)?，故即求PC的最小值，即例1解：如圖3，變題3：已知P為直線y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)，過P作圓C：的切線PA，PB,A、B為切點(diǎn)，則當(dāng)PC= 時(shí)，最大【分析】，故即求角的最大值，利用其正弦值即可轉(zhuǎn)化為求PC的最小值，即例1解：如圖4，,時(shí)，最大，即最大xyOCPABxyOCPA圖3 圖4變題4：已知P為直線y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)，過P作圓C：的切線PA，PB,A、B為切點(diǎn)，則四邊形PACB面積的最小值為 .【分析】將四邊形面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的三角形的面積，從而轉(zhuǎn)化為PA的最小值，問題又轉(zhuǎn)化為求切線段的最小值問題解：如圖4，由變式2可知，故四邊形PACB面積的最小值為xyOC【解題回顧】在上面例1及

4、幾個(gè)變?cè)囶}的解題過程中，我們可以總結(jié)一句“萬變不離其宗”，一般地，求“圓上一動(dòng)點(diǎn)到直線距離”的常見考題，可以通過平面幾何的知識(shí)得“圓心到直線的距離減半徑”即為最短距離，“圓心到直線的距離加半徑”即為最大距離，這一結(jié)論在解題時(shí)可直接應(yīng)用另：和切線段有關(guān)的問題常利用“連接圓心和切點(diǎn)，構(gòu)造直銷三角形“進(jìn)行求解也即將“ 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題”如下例例2已知圓C：，從圓C外一點(diǎn)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有PM=PO,求使得PM取得最小值的點(diǎn)P坐標(biāo)【分析】本題中，由于點(diǎn)P和點(diǎn)M均在動(dòng)，故直接做很難求解聯(lián)系到PM是切線段，因此可利用將條件PM=PO轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量P的式子

5、即可求解解：由題意，令，即，化簡(jiǎn)得：PM=PO，即求直線到原點(diǎn)O(0,0)的最小距離，易得PM的最小值為.類型二：利用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值例3若實(shí)數(shù)x、y滿足，求x-2y的最大值【分析】本題是典型的用圓的參數(shù)方程解決的題型，利用圓的參數(shù)方程將所求式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，利用輔助角公式即得最大值解：，令，則（其中）當(dāng)時(shí)，故x-2y的最大值為0xyOC【解題回顧】和圓有關(guān)的一次式的求解，利用圓的參數(shù)方程可以比較方便的求到最值類型三：抓住所求式的幾何意義轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求最值若所求式子具有較明顯的幾何意義，可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求最值比如例2，除了用圓的參數(shù)方程求解，還可以聯(lián)想到在線性

6、規(guī)劃問題中，這類題通常轉(zhuǎn)化為直線方程的縱截距求解解法二：令,則，由題意，當(dāng)直線的縱截距最小時(shí)，最大，此時(shí)直線和圓相切，故圓心到直線的距離 ，故，由題意，即x-2y的最大值為0除了轉(zhuǎn)化為直線的截距求解，還有一些式子具有明顯的幾何意義，比如斜率、兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離等比如在上例中，改為求，的取值范圍，則可以分別用如下方法求解：對(duì)，轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)連線斜率的最大值，可設(shè)過點(diǎn)的直線為，直線和圓相切時(shí)，即圓心到直線的距離 ，可得，故對(duì)，轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)距離的平方的取值范圍，由例1易得，即對(duì)，聯(lián)想到點(diǎn)到直線的距離公式中有類似的元素可將問題轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)P到直線的距離的問題，易得，

7、圓心到直線的距離為，故圓上任一點(diǎn)P(x,y)到直線的距離，即.【解題回顧】當(dāng)所求式子含有明顯的幾何意義時(shí)，注意聯(lián)系線性規(guī)劃，用線性規(guī)劃的思路求解可將問題簡(jiǎn)單化和直觀化類型四：向函數(shù)問題轉(zhuǎn)化平面解析幾何的重要內(nèi)容，教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生從中感受運(yùn)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想有些問題，單純利用圓的幾何性質(zhì)無法求解此時(shí)應(yīng)考慮如何利用代數(shù)思想將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題PABO例4（ 2010年高考全國(guó)卷I理科11）已知圓O：，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，則的最小值為 【分析】本題中，由于A、B都是動(dòng)點(diǎn)，故將轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式較難求解此時(shí)考慮到向量數(shù)量積的定義，令，而切線段PA=PB也可用表示，故所求式

8、可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)求解解：令，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）【解題回顧】本題以向量定義為載體，巧妙地利用了設(shè)角為變量，將與圓有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題求解將幾何問題代數(shù)化，利用函數(shù)思想求解同時(shí)運(yùn)用了換元思想，基本不等式思想等解題方法，是一道綜合題類型五：向基本不等式問題轉(zhuǎn)化CAEFGHxyOMN例5已知圓C：， 過點(diǎn)做兩條互相垂直的直線，交圓C與E、F兩點(diǎn)，交圓C與G、H兩點(diǎn)，（1）EF+GH的最大值(2) 求四邊形EGFH面積的最大值【分析】由于EF和GH都是圓的弦長(zhǎng)，因此可利用將EF+GH轉(zhuǎn)化，難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化后要利用基本不等式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解：（1）令圓心C到弦EF的距離為，到弦GH的距離為，則EF+GH，又，由：（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）故EF+GH（2），（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）【解題回顧】本題（1）是利用，（2）是利用基本不等式是求最值的基本方法在利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意如何構(gòu)造“定量” 由于圓的對(duì)稱性，在與圓有關(guān)的最值問題中，應(yīng)把握兩個(gè)“思