三角函數(shù)經(jīng)典例題

1、經(jīng)典例題透析類型一：銳角三角函數(shù)本專題主要包括銳角三角函數(shù)的意義、銳角三角函數(shù)關系及銳角三角函數(shù)的增減性和特殊角三角函數(shù)值，都是中考中的熱點明確直角三角形中正弦、余弦、正切的意義，熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值是基礎，通過計算器計算知道正弦、正切隨角度增大而增大，余弦隨角度增大而減小1在rtabc中，acb=90°，cdab于點d，已知，bc=2，那么( )a b c d思路點撥：由于abc在rtabc和rtbcd中，又已知ac和bc，故只要求出ab或cd即可解析：解法1：利用三角形面積公式，先用勾股定理求出 ， 解法2：直接利用勾股定理求出，

2、 在rtabc中， 答案：a總結升華：求直角三角形中某一銳角三角函數(shù)值，利用定義，求出對應兩邊的比即可2計算：(1)_；(2)銳角a滿足，則a=_答案：(1)；(2)75°.解析：(1)把角轉化為值(2)把值轉化為角即可(1)(2)由，得， a=75°總結升華：已知角的三角函數(shù)，應先求出其值，把角的關系轉化為數(shù)的關系，再按要求進行運算已知一個三角函數(shù)值求角，先看看哪一個角的三角函數(shù)值為此值，在銳角范圍內(nèi)一個角只對應著一個函數(shù)值，從而求出此角3已知為銳角，求思路點撥：作一直角三角形，使為其一銳角，把角的關系轉化為邊的關系，借助勾股定理，表示出第三邊，再利用三角函數(shù)定義便可求出

3、，或利用求出，再利用，使可求出解析：解法1：如圖所示，rtabc中，c=90°，b=，由， 可設， 則， 解法2：由，得 ， 總結升華：知道一銳角三角函數(shù)值，構造滿足條件的直角三角形，根據(jù)比的性質(zhì)用一不為0的數(shù)表示其兩邊，再根據(jù)勾股定理求出第三邊，然后用定義求出要求的三角函數(shù)值或利用，來求類型二：解直角三角形解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形的邊角關系的知識是解直角三角形的基礎解直角三角形時，注意三角函數(shù)的選擇使用，避免計算麻煩，化非直角三角形為直角三角形問題是中考的熱點4已知：如圖所示，在abc中，c=90°，點d在bc上，bd=4，ad=bc，求：(1)dc的

4、長；(2)sinb的值思路點撥：題中給出了兩個直角三角形，dc和sin b可分別在rtacd和rtabc中求得，由ad=bc，圖中cd=bc-bd，因此可列方程求出cd解析：(1)設，在rtacd中， ， ad=bc， 又， ，解得 (2)bc=bd+cd=4+6=10=ad 在rtacd中， 在rtabc中， 總結升華：借助三角函數(shù)值，設出其中兩邊，根據(jù)已知條件，列出方程，求出解，再求出其要求的問題舉一反三【變式1】如圖所示，在梯形abcd中，adbc，ca平分bcd，deac，交bc的延長線于點e，(1)求證：ab=dc；(2)若，求邊bc的長思路點撥：要證ab=dc，只需證明abc=bc

5、d由acde，adbc，可得四邊形adec為平行四邊形，所以e=dac由ca平分bcd，可得bcd=2bca=2e，所以b=bcd，問題得證，由(1)可知ad=cd=，過點a作afbc，在rtabf，可求得bf=1，所以解析：(1)證明： deac， bca=e ca平分bcd， bcd=2bca， bcd=2e 又 b=2e， b=bcd 梯形abcd是等腰梯形，即ab=dc(2)解：如圖所示，作afbc，dgbc，垂足分別為f、g，則afdg 在rtafb中， tan b=2， af=2bf 又 ，且， ，得bf=1 同理可知，在rtdgc中，cg=1 adbc， dac=acb 又 ac

6、b=acd， dac=acd ad=dc ， adbc，afdg， 四邊形afgd是平行四邊形 ， bc=bf+fg+gc=【變式2】已知：如圖所示，p是正方形abcd內(nèi)一點，在正方形abcd外有一點e，滿足abe=cbp，be=bp(1)求證：cpbaeb；(2)求證：pbbe；(3)pa：pb=1：2，apb=135°，求cospae的值思路點撥：(1)在cpb和aeb中，pbc=abe，bp=be，要證cpbcaeb，只要bc=ab即可，而四邊形abcd恰好是正方形，所以得證(2)只要證pbe=90°，而abc=90°，即證出(3)要求cospae的值，需判

7、斷pae所在的三角形是否是直角三角形，因此需連結pe，借助(1)(2)，求出pbe=，而apb=135°，因此ape=90°解析：(1)證明： 四邊形abcd是正方形， bc=ab cbp=abe，bp=be， cpbaeb(2)證明： cbp=abe， pbe=abe+abp=cbp+abp=90°， bpbe(3)解：連結pe， be=bp，pbe=90°， bpe=45° 設ap=k，則bp=be=2k， ， bpa=135°，bpe=45°， ape=90°， 在rtape中，類型三：利用三角函數(shù)解決實際問

8、題直角三角形應用非常廣泛，是中考的重要內(nèi)容之一近年來，各地中考試題為體現(xiàn)新課標理念，設計了許多面目新穎、創(chuàng)意豐富的新型考題運用解直角三角形的知識解決與生活、生產(chǎn)相關的應用題是近幾年中考的熱點雖然解直角三角的應用題題型千變?nèi)f化，但設法尋找或構造出可解的直角三角形是解題的關鍵5如圖所示，在一個坡角為15°的斜坡上有一棵樹，高為ab，當太陽光與水平線成50°角時，測得該樹在斜坡的樹影bc的長為7 m，求樹高(精確到0.1m)思路點撥：樹所在直線垂直于地面，因此需延長ab交水平線于一點d，則adcd，在rtbcd中，bc=7m，bcd=15°，所以求出cd、bd而在rta

9、cd中，acd=50°，利用求出ad，所以ab=ad-bd即可求出解析：如圖，過點c作水平線與ab延長線交于點d，則adcd bcd=15°，acd=50°，在rtcdb中，cd=7cos15°，bd=7sin15°在rtcda中， 答：樹高約為6.2m總結升華：解這類問題一般構造直角三角形，借助角與邊的關系，求得未知邊，再解另一個直角三角形得到問題答案舉一反三【變式1】高為12.6米的教學樓ed前有一棵大樹ab(如圖所示)(1)某一時刻測得大樹ab、教學樓ed在陽光下的投影長分別是bc=2.4米，df=7.2米，求大樹ab的高度(2)用皮尺、

10、高為h米的測角儀，請你設計另一種測量大樹ab高度的方案，要求： 在下圖中，畫出你設計的測量方案示意圖，并將應測數(shù)據(jù)標在圖上(長度用字母m、n表示，角度 用希臘字母表示)； 根據(jù)你所畫的示意圖和標注的數(shù)據(jù)，計算大樹ab的高度(用字母表示)思路點撥：本題主要考查解直角三角形的有關知識，并且讓學生根據(jù)所提供的信息設計測量方案解析：連結ac、ef(圖略)(1) 太陽光線是平行線， acef， acb=efd abc=edf=90°， abcedf ab=4.2 答：大樹ab的高是4.2米(2)如圖所示，mg=bn=m， 米總結升華：本題將解直角三角形的相關知識與測量方案設計結合在一起，聯(lián)系生

11、活實際，讓學生自己設計測量方案，得出結果，培養(yǎng)動手實踐操作能力同時，引導學生結合生活實際建立數(shù)學模型，促使大家進一步認識數(shù)學就在身邊，會用數(shù)學知識解決現(xiàn)實生活中的問題【變式2】2008年6月以來某省普降大雨，時有山體滑坡災害發(fā)生北峰小學教學樓后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一塊平地，如圖所示，afbc，斜坡ab長30米，坡角abc=65°為了防止滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造，經(jīng)過地質(zhì)人員勘測，當坡角不超過45°時，可以確保山體不滑坡(1)求坡頂與地面的距離ad等于多少米?(精確到0.1米)(2)為確保安全，學校計劃改造時保持坡腳b不動，坡頂a沿af削進到e點處，求a

12、e至少是多少米?(精確 到0.1米)解析：(1)在rtadb中，ab=30m，abd=65°， 所以ad=ab·sinabd=30×sin65°27.2(米) 答：ad等于27.2米(2)在rtadb中， 所以db=ab·cosabd=30×cos65°12.7(米) 連結be，過e作enbc于n， 因為aebc，所以四邊形aend為矩形， 則ne=ad27.2 在rtenb中，由已知ebn45°，當ebn=45°時，bn=en=27.2 所以ae=nd=bn-bd=14.5(米) 答：ae至少是14.5

13、米類型四：銳角三角形函數(shù)與斜三角形6數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫出了abc和def，數(shù)據(jù)如圖所示，如果把小敏畫的三角形面積記作，小穎畫的三角形面積記作，那么( )a b c d不能確定解析：此兩圖一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形，因此解決此問題，關鍵作高構造直角三角形，如圖所示，作agbc于g，dhef于h，在rtabg中，由得， 在rtdhe中，deh=180°-130°=50°， 得，從而也求得， 答案：c總結升華：解斜三角形時往往作高把斜三角形轉化為直角三角形，利用直角三角形邊邊、邊角、角角關系求出問題答案舉一反三【變式1】已知如圖所示，(1)當abc為銳角三角形時，ab為最長邊，三邊分別為a、b、c，試判斷與的大小關系 用a、b、c，表示出cosb(2)當abc為鈍角三角形時，c為鈍角，判斷與的大小關系？用a、b、c表示cosb思路點撥：解此類問題需作高線構造直角