線性代數(shù)二次型

1、第五章1二次型與對稱矩陣一、二次型及其矩陣1 定義：含有 n 個變量的二次齊次函數(shù)：f (x , x ,L , x ) a x2a x2Lax21 2n11 1222nnn2a12x1x2 2a13x1x3 L2a(n 1)nxn 1xn稱為二次型。為便于用矩陣討論二次型，令aija ji，則二次型為：f ( x , x,L , x ) a x2a x xLa x x1 2n11 112121n 1 nax xax2La2nx x212 12222 nLLLLLLLLLLLan1xnx1an2 xnx2 L ann xn2naij xi x ji , j1a11a12La1nx1令 Aa21a

2、22La2n ，xx2 ，LLLLMan1an2Lannxn則f (x1, x2,L , xn)xT Ax ，且A為對稱矩陣。由于對稱矩陣 A與二次型 f 是一一對應關系， 故稱對稱矩陣 A為二次型 f 的矩陣，也稱二次型f 為對稱矩陣 A的二次型， R( A) 也稱為二次型 f 的秩。例 1 設f ( x1, x2 , x3 )x122x223x325x1x27x2 x39x1x3試求二次型矩陣A .解a111 , a222 , a333 , a12 a215 , a23a327 , a13a319 .222于是得1591592222x1A527 ， f(x1, x2 , x3 )527x2

3、2222x39739732222例 2已知三階矩陣 A 和向量 X ,其中123x1A011,Xx2 .332x3求二次型 XAX 的矩陣 .解由于 A 不是對稱矩陣 ,故 A 不是二次型 XAX 的矩陣 .因為123x1X AX ( x1 , x2 , x3 ) 01 1x2332x3x12x222x322x1 x26x1 x3 4 x2 x3 ,故此二次型的矩陣為113112 .322二、線性變換1 標準形定義：形如 d1 x12d2 x22d n xn2 的二次型稱為二次型的標準形。顯然：其矩陣為對角陣。2 線性變換大學數(shù)學x1c11 y1c12 y2 Lc1n ynx2c21 y1c2

4、2 y2 Lc2n yn稱為由變量 x1, x2 ,L , xn 到變量定義： 關系式LLLLLLLLLLLxncn1 y1cn 2 y2 Lcnn yny1, y2 ,L , yn 的一個線性變量替換，簡稱線性變換。c11c12Lc1n矩陣 Cc21c22Lc2 n 稱為線性變換的矩陣。LLLLcn1cn2Lcnnx1y1記 xx2， yy2，則線性變換可用矩陣形式表示為： x CyMMxnyn若 C 0 ，稱線性變換為滿秩（線性）變換（或非退化變換） ，否則，稱為降秩（線性）變換（或退化變換） 。f (x1, x2 ,L , xn )xT Ax(Cy)T A(Cy)yTCT ACyyT B

5、y，其中BCTAC，而 BT(CTAC)TCT ACB若線性變換是非退化的，便有：yC 1x三、矩陣的合同1 定義：設 A， B 為 n 階方陣，如果存在 n 階可逆矩陣 C ，使得 C T ACB ，則稱矩陣 A與 B 合同。容易知道：二次型 f ( x)xT Ax 的矩陣 A 與經過非退化線性變換xCy 得到的矩陣 C T AC 是合同的。2 合同的性質大學數(shù)學反身性：任一方陣A 都與它自己合同 對稱性：如果方陣A 與 B 合同，那么 B 也與 A 合同 傳遞性：如果方陣A 與 B 合同， B 與 C 合同，那么 A 與 C 合同3定理：若矩陣 A 與 B 合同，則 A與 B 等價，且 R

6、(A)R(B) 。4定理：任何一個實對稱矩陣 A 都合同于一個對角陣（ 是以 A 的 n個特征根為對角元的對角陣） 。即存在可逆矩陣 C ，使得 C T AC?；涡蜑闃藴市我弧⒄蛔儞Q法定理：任給二次型 f (x , x ,L, x )xT Ax ，總有正交變換 x Cy 使 f 化為12n標準形： f1x122 x22Ln xn2 （其中1, 2 ,L , n 是對稱矩陣 A的特征根）例 ：求 一 個 正 交 變 換 x Py，化二次型f x122x222x324x1x24x1x3 8x2 x3 為標準形。122解：二次型的矩陣為： A224242大學數(shù)學由 AE0，求得 A的特征根為：

7、17， 231特征根17 對應的特征向量為：12；22特征根232 對應的特征向量為：21,30顯然 1與 2 , 3 都正交，但2與 3 不正交。2正交化：取221，02 ，201(2,3)33(2,2)2再將254511,2,3單位化，得122p11, p21121 , p334355205大學數(shù)學x1122y15353于是正交線性變換為：x2214y23535x3205y333使原二次型化為：f7 y122y222y32注意：二次型的標準形并不唯一，這與施行的正交線性變換有關。二、配方法對任意一個二次型f (x1, x2 ,L , xn )xT Ax ，也可用配方法找到滿秩變換x Cy

8、，化二次型 f 為標準形。1二次型中含有平方項例：化二次型 f (x1, x2, x3 ) x122x223x324x1x2 4x1x3 4x2 x3 為標準形，并求出所用的變換矩陣。解f (x1 , x2, x3 )x124( x2x3 )x14( x2x3) 24(x2x3 ) 22(x22x xx2 )5x222333(x2x22x)24(x2x )22(x2x3)25x21333(x2x22x)22( x2x)25x21333y1 x12x22x3y1122 x1令y2x2x3 ，即 y2011 x2y3x3y3001 x3大學數(shù)學122120令 C 1011 ，則C011，所求的滿秩

9、變換為001001x1120y1x Cy ，即 x2011y2，x3001y3則原二次型 fxT Ax 化為標準形：f y122 y225 y322 二次型中不含平方項例：用配方法化二次型f ( x1, x2 , x3 )x1x2x1x3x2x3 為標準形，并求出所用的滿秩線性變換。x1y1y2y2y2解：令 x2yy，則原二次型化為： f2 y y121213x3y3再按前例的方法有：fy2y22 y y1213y22y yy2y2y2113332( yy )2y2y21323z1y1y3z2z2z2令 z2y2，則原二次型化為： f123z3y3其中的滿秩變換為兩變換的合成，即：大學數(shù)學x

10、1y1y2x1110y1由第一次變換xyy得：x2110y2212x3y3x3001y3z1y1y3y1101z1由第二次變換z2y2得：y2010z2z3y3y3001z3所以有合成的滿秩變換為：x111 0y1110101 z1x211 0y2110010z2x300 1 y3001001z3x1111z1即x2111z2x3001z3三、初等變換法由于任一二次型 fxT Ax( ATA) 都可以找到滿秩線性變換x Cy 將其化為標準形，即存在可逆矩陣C ，使 C T AC 為對角陣；由于 C 可逆，可以寫成一系列初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣 P,P,L ,P ，使1 2sC PPL P

11、。則CTPTL PTPT，所以1 2ss21CT ACPT L PTPTAPPLPs211 2s大學數(shù)學CP1 P2 L PsEP1P2 L Ps表示對實對稱矩陣 A 施行初等列變換，同時也施行同種的初等行變換，將 A 化為對角陣，表示單位矩陣在相同的初等列變換下就化為 C例：用初等變換法化二次型 f x122x222x324x1x2 4x1x3 8x2 x3為標準形，并求出相應的滿秩線性變換。122解：二次型 f 的矩陣： A224242122224A242E100010001r2r3c2c31020422221000100111000421 ) r( 2) r1026r(2r332c3(

12、2) c1102c3(1)c20102011102所以C 011 ，20112100040007102 ，01120112大學數(shù)學原二次型化為fy124 y227 y32慣性定理和二次型的正定性一、慣性定理和規(guī)范形在二次型的標準形中，將帶正號的項與帶負號的項相對集中，使標準形為如下形式： fd1x12d2 x22Ld p x2pd p 1xp21L dr xr2xi1yi(i1,2,L ,r )再令線性變換：di，則原二次型化為：x jyj( jr1,r2,L, n)f y2y2 Ly2y21Ly212ppr定義：形如上式的標準形稱為二次型的規(guī)范形。定義：稱規(guī)范形中正項的個數(shù)p 稱為二次型的正

13、慣性指標， 負項個數(shù) r p稱為二次型的負慣性指標，r 是二次型的秩。注：規(guī)范形是由二次型所唯一決定的，與所作的非退化線性變換無關。雖然二次型的標準形不唯一，但是其規(guī)范形是唯一的。定理：任一實二次型 fxT Ax 都可以經過滿秩變換 xCy 化為規(guī)范形，且規(guī)范形唯一。因而，對任一實對稱矩陣A ，都存在滿秩矩陣 C ，使1O11CT ACO，稱為 A 的（合同）10O0規(guī)范形。大學數(shù)學定理：實對稱矩陣 A 與 B 合同的充分必要條件是 A 與 B 有相同的規(guī)范形，其正慣性指標和秩相等。矩陣合同的性質(1)任一對稱矩陣都存在對角矩陣與它合同;(2)與對稱矩陣合同的矩陣必定是對稱矩陣;(3)兩個實對

14、稱矩陣合同的充要條件有相同的秩 ,有相同的正慣性指數(shù) .二、二次型的正定性1、正 ( 負) 定二次型的概念定義：設實二次型 f (x)f (x1, x2 ,L , xn )xT Ax ，若對任意不全為零的實數(shù) x1, x2 ,L , xn(即x0) ，總有 f ( x)0 (0) ，則稱 f 為正 ( 負 ) 定二次型，并稱對稱矩陣 A 為正 ( 負) 定矩陣，記作 A0(0) 。定義：若對任意不全為零的實數(shù)x1, x2 ,L , xn ，總有 f ( x)xT Ax0 (0) ，則稱實二次型為半正 ( 負) 定二次型，其矩陣 A 為半正 ( 負) 定矩陣。2、判定方法定理：若 A 是 n 階

15、實對陣矩陣，則下列命題等價：（ 1） f (x)xT Ax是正定二次型（或A 是正定矩陣）；（ 2） A 的 n 個特征值全為正；（ 3） f 的標準形的 n 個系數(shù)全為正；（ 4） f 的正慣性指數(shù)為 n ；（ 5） A 與單位矩陣 E 合同（或 E 為 A 的規(guī)范形） ;(6) 存在可逆矩陣 P ，使得 A PT P ;(7)A的各階順序主子式均為正，即a11a12a11La1na110,L,MM0。a21a220,an1Lann大學數(shù)學定理：若 A 是 n 階實對陣矩陣，則下列命題等價：1fx)x Ax是負定二次型（或A是負定矩陣）；（ ）(T（ 2） A 的 n 個特征值全為負；（ 3

16、） f 的標準形的 n 個系數(shù)全為負；（ 4） f 的負慣性指數(shù)為 n ；（ 5） A 與負單位矩陣E 合同（或E 為 A 的規(guī)范形） ;(6)存在可逆矩陣 P ，使得 APT P ;(7) A 的各階順序主子式中，奇數(shù)階順序主子式為負，偶數(shù)階順序主子a 11La1r式為正，即( 1)rMM0( rL, n)。1,2,ar1 Larr1 、判定實二次型 f ( x , x, x )x22x x2x x 2x26x x6x2是123112132233否正定。11111111解：A123，因 100，A1231 0，21361136所以實二次型 f是正定的。2、設二次型 f ( x1, x2, x

17、3)x122x223x322tx1x22x1x34x2 x3 ，試問 t 為何值時，該二次型是正定的？1t1解：因二次型的矩陣為： At22，為使所給二次型正定， A的各階123大學數(shù)學順序主子式應大于零，從而有：d110， d21t2t 20 ，t21t1d3t22(3 t 24t)0 ，1232t 204t0由得：4t033t 2所以當4t0 時，所給實二次型是正定的33、二次型 f (x , x , x )x23x2x22x x2x x2x x ，則 f 的123123121323正慣性指數(shù)為？4、三階的實對稱矩陣 A 的特征值為121,32 ,則二次型f (x1 , x2 , x3 )

18、XAX的規(guī)范形為分析實對稱矩陣 A可經過正交變換化為對角矩陣,相應的二次型f (x)XAX 就化為標準形 .解由已知條件,二次型f ( x) 的標準形為y12y222 y32 , 故其規(guī)范形為z12z22z32 .5、任何一個 n 階滿秩矩陣必定與 n 階單位矩陣 ().( A) 合同(B)相似(C)等價(D) 以上都不對解任一個 n 階滿秩矩陣都可以經過有限次的初等變換化為n 階單位矩陣 ,故 n 階滿秩矩陣都與 n 階單位矩陣等價 . 只有單位矩陣與單位矩陣相似 .只有正定矩陣與單位矩陣合同 .大學數(shù)學1111400011110000）6、設 A11, B000,則 A與B（1101111

19、0000(A) 合同且相似 . (B)合同但不相似 . (C) 不合同但相似 . (D) 不合同且不相似 .解選(A). A 為實對稱矩陣且A 的特征值為 4,0,0,0 .2111007、A121 ， B010，則（）110000（A） A 與 B 即合同又相似（B） A 與 B 合同而不相似（C） A 與 B 不合同而相似（D） A 與 B 即不合同也不相似解：（B）B 的特征值 1，1，0111A1113EB3E，特征值為B3 ，即 3，3，0111A 與 B 特征值不相同，但正、負性都一樣。8、 A122，則在實數(shù)域上與 A 合同的是（ ）1（A ）2121C）21D12（ ）（）1B

20、1212212大學數(shù)學解：（D）A1222E ，特征值為 -1， 3212221113E ，特征值為 -3，-1121121113E ，特征值為 3，112112111E ，特征值為 1， 3121112223E ，特征值為3，-121229、已知實二次型f ( x1 , x2 , x3 )a( x12x22x32 ) 4x1x2 4x1x3 4 x2x3 經正交變換x=Py 可化標準型 f6 y12 ，則 a_【詳解】二次型f (x1, x2 , x3) a(x12x22x32 ) 4x1 x24x1 x34x2 x3a22所對應矩陣為 A2a222a600標準型 f6 y12 所對應矩陣為 B 000000根據(jù)題設知 A， B 為相似