傅里葉變換詳細資料易于理解

1、一、傅立葉變換的由來關于傅立葉變換，無論是書本還是在網上可以很容易找到關于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，要理解傅立葉變換，確實需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當然，也需要一定的高等數學基礎，最基本的是級數變換，其中傅立葉級數變換是傅立葉變換的基礎公式。二、傅立葉變換的提出讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字， 名是 Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，國科學學會上發(fā)表

2、了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)論文時，拉格朗日堅決反對，在近示帶有棱角的信號，英語原 于1807年在法 論文里有個在當時具有爭議 當時審查這個論文的人，(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉,當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個 50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表如在方波中出現非連續(xù)變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，他參加了政治運動，隨拿破侖 1

3、5年這個論拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后文才被發(fā)表出來。誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，對的。為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀， 分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。但是, 基于此,我們可以傅立葉是用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只

4、有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表小O三、傅立葉變換分類根據原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：1非周期性連續(xù)信號傅立葉變換(Fourier Transform )2_周期性連續(xù)信號傅立葉級數(Fourier Series)3非周期性離散信號離散時域傅立葉變換( Discrete Time Fourier Transform )4周期性離散信號離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)卜圖是四種原信號圖例:Type of TransformExample Sign

5、alFounei riaiisibnniignah 幣口ar t跆<jrd apeno<iicFoiiner Senessisals rfiar are stfiHSs andDisWt? Time Fonn<?r Ti'ailsfomi裁*&$ that mw拍 6詁Discr ete Fcmrier Truisfbnu that mw 如egperiodicV- , . . J .、.f-7V這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因為正

6、余弦波被定義成從負無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性 離解信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。但是對于非周期性的信號， 我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對

7、于計算機來說是不可能實現的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換（realDFT）,再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數

8、的傅立葉放到一邊去，先來理 解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。還有，這里我們所要說的變換（transform）雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的， 函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理（ DSP）,有許多的變換：傅立葉 變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的 定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方 法。四、傅立葉變換的物理意義傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解

9、傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始 信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。 和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。 它

10、能將滿足一定條件的某個函 數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。 在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的 變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。在數學領域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：1.傅立葉變換是線性算子，若賦予適當的范數，它還是酉算子；2.傅立葉變換的逆變換容易求出 ，而且形 式與正變換非常類似；3.正弦基函數是微分運算的本征函數，從而使得線性微分方程的求解 可以轉化為常

11、系數的代數方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段 ；4.離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內，頻率是個不變的性質， 從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲??；5.著名的卷積定理指出：傅立葉變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出（其算法稱為快速傅立葉變換算法（FFT）。 正是由于上述的良好性質，傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統(tǒng)計、 密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。五、圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一

12、片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示 f的譜。從純粹的數學意義上看， 傅立葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函 數，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。 傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現實空間）上的采樣

13、得到一系 列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f（x，y）來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般 來講，梯度大則該點的

14、亮度強，否則該點亮度弱。 這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較?。?，反之，如果頻譜圖中亮 的點數多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存 在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾

15、噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。另外我還想說明以下幾點：1、圖像經過二維傅立葉變換后，其變換系數矩陣表明：若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近（圖中陰影區(qū)）。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。2、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮， 亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。六、一個關丁實數離散傅立葉變換（Real DFT）的例子 先來看一個變換實例，一個原始信號的

16、長度是16,于是可以把這個信號分解 9個余弦波和9個正弦波（一個長度為 N的信號可以分解成 N/2+1個正余弦信號，這是為什么呢？結合 下面的18個正余弦圖，我想從計算機處理精度上就不難理解，一個長度為N的信號，最多只能有N/2+1個不同頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度范圍），如下圖： 9個正弦信號：-S9個余弦信號:把以上所有信號相加即可得到原始信號，至于是怎么分別變換出 9種不同頻率信號的，我們先不急，先看看對于以上的變換結果，在程序中又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個示例圖：Time DomainFoe .ml DFTReXhit XFrequency DomainN

17、sampleslovrse DFTN 2心I saiU)1rs(cainf waw AnipJifwietizcollectiveh' reknetl ro as X)上圖中左邊表示時域中的信號，右邊是頻域信號表示方法，從左向右表示正向轉換(ForwardDFT)，從右向左表示逆向轉換(Inverse DFT)，用小寫x表示信號在每個時間點上的幅度值 數組，用大寫X表示每種頻率的副度值數組 ，因為有N/2+1種頻率，所以該數組長度為 N/2+1 , X數組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X,另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X , Re是實數(Real)的意思

18、，Im是虛數(Imagine)的意思，采 用復數的表示方法把正余弦波組合起來進行表示，但這里我們不考慮復數的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達 (在后面我們會知道，復數形式的傅立葉變換長度是N,而不是 N/2+1 )。七、用Matlab實現快速傅立葉變換FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。 雖然很多人都知道 FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道

19、 FFT之后的結 果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。現在就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC采樣之后，就變成了數字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就不在此啰嗦了。 采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經過 FFT之后，就可以得到 N個點的FFT結果。為了方便進行 FFT運算，通常N取2的整數次方。 假設采樣頻率為 Fs,信號頻率F,采樣點數為 N。那么FFT之后結果就是一個為 N點的復 數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的

20、峰值為A,那么FFT的結果的每個點(除了第一個點直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流 分量(即0Hz),而最后一個點 N的再下一個點(實際上這個點是不存在的，這里是假設 的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后)則表示采樣頻率 Fs,這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N 。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為 Fs/N ,如果采樣 頻率Fs為1024Hz，采樣點數為1024點，

21、則可以分辨到 1Hz。 1024Hz的采樣率采樣1024 點，岡肢子是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做 FFT,則結果可以分析到1Hz,如果 采樣2秒時間的信號并做 FFT,則結果可以分析到 0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，貝U必須 增加采樣點數，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。假設FFT之后某點n用復數a+bi表示，那么這個復數的模就是An=根號a*a+b*b ,相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出 n點(nl,且n<=N/2 )對應的信 號的表達式為： An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn) ，即 2*An/N*cos(

22、2*pi*Fn*t+Pn) 。對于 n=1 點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由于FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小于采樣頻率一半的結果。下面以一個實際的信號來做說明。假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中 cos 參數為弧度,所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以 256Hz的采樣率對這個信號進

23、行采樣，總共 采樣256點。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N ,我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz,第n個點的頻率就是 n-1。我們的信號有 3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz,應該分 別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近 0。實際情況如何呢？ 我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。從圖中我們可以看到，在第 1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這 三個點附近的數據拿上來細看：1 點：512+0i2 點:-2.6195E-14 - 1.4162E-13i3 點：-2.8586E-14 - 1.1898E-13i50 點：-6.

24、2076E-13 - 2.1713E-12i51 點:332.55 - 192i52 點:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i75 點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i76 點：3.4315E-12 + 192i77 點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0,即在那些頻率點上的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結果如下：1 點：51251 點：38476 點：192按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2; 50Hz信號的幅

25、度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3; 75Hz 信號的幅度為 192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算 50Hz信號的相位， atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708 弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002?？梢?，相位也是對的。根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以

26、寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。總結：假設采樣頻率為Fs,采樣點數為N,做FFT之后，某一點n (n從1開始)表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N ;該點的模值除以 N/2就是對應該頻率下的信號的幅度(對于直流信 號是除以N);該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數 atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz,則需要采 樣長度為1/x秒的信號，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較

27、簡單的方法是采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數量的 0,使其長度達到需要的點數，再做FFT,這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關 文獻。八、讓傅立葉變換從理性蛻變到感性，從抽象升華到具體（應不少網友反應說 以上7部分還是不夠淺顯而另加的一部分，希望對大家有所啟發(fā)）1、我們都知道，LTI系統(tǒng)對諧波函數的響應也是相同頻率的諧波函數，只是幅度和相位可能不同罷了，因此我們用諧波函數來表示信號正是為了導出頻域的概念。那你就會問為什么我們要在頻域來分析信號，它比時域分析究竟好在哪里呢？這個問題非常好，我來回答你，第一，在頻域觀察和分析信號有助于揭示系統(tǒng)的本質屬性，更重要的是對于某些系統(tǒng)可以極大地簡化其設計和分析過程。這一點想必大家都知道，我不再啰嗦！第二，從數學上來看， 系統(tǒng)從時域到頻域的轉換就意味著系統(tǒng)的微分或差分方程將轉變?yōu)榇鷶捣匠?，而系統(tǒng)的分析也將采用描述系統(tǒng)的復系數代數方程而不是微分或差分方程。既然如此，那么請問？童鞋， 你是喜歡跟微分差分方程玩兒呢還是喜歡跟代數方程玩兒呢？假若你說你更喜歡跟微分差 分方程玩兒。那我也無話可