二項(xiàng)式定理要點(diǎn)解析

1、二項(xiàng)式定理要點(diǎn)解析河南省三門峽市盧氏一高（472200）趙建文 E-mail:zhaojw1968一、學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握二項(xiàng)式定理展開式、通項(xiàng)公式、 質(zhì)，會用它們進(jìn)行計(jì)算與證明。二、高考命題趨勢二項(xiàng)式定理是高考的熱點(diǎn)之一，每年一道題，常 以選擇、填空形式出現(xiàn)，利用通項(xiàng)公式求展開式的特 定項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)較多。利用二項(xiàng)式定理求多項(xiàng)式 的系數(shù)或二項(xiàng)式的系數(shù)和，近似計(jì)算，證明也是高考 命題的新動向。少有綜合性的大題。三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析1、在記憶二項(xiàng)式定理時(shí)，注意定理特點(diǎn)：（1）展開式共有n+1項(xiàng)；（2） a按降藉排列b按升藉排列，二項(xiàng)式系數(shù)性項(xiàng)是高考考察的重點(diǎn)，常用待定系數(shù)法，用通項(xiàng)公式 求解。2、展開式的

2、各項(xiàng)系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和 、偶數(shù) 項(xiàng)系數(shù)和或相關(guān)問題常用賦值法，取a、b為特定值，使之出現(xiàn)各項(xiàng) 系數(shù)和，或奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和的差，再 通過加減計(jì)算之。例 2 設(shè)(1 + 2x)100 =a0 + a1 (x 1)+a2(x_1)2+a10°(x1)100,則a,b藉指數(shù)之和為n ； （3 ）系數(shù)依次為分析：要求展開式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，令a0 a1 + a2 a3 " a99,注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與某一項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)是C；（r =0,1,2，n），而系數(shù)既包括二項(xiàng)式系數(shù)也包括二項(xiàng)式中系數(shù)和符號展出部分兩式相加即得。解析：令x = 0得,2、掌握通項(xiàng)公式注意，（1）

3、Tr*=C；an_1br表示a。一 ai + a? a3 + 一a99 = 1 第r+1項(xiàng)，系數(shù)為C； , a的指數(shù)為n-r, b的指數(shù)為令x = 2得,a0 + a + a2 + a3 + +a100 =5 食r ,a,b的指數(shù)之和為n； （2） （a+b）n可看作n個(gè)a+b-得的乘積，Tf=C：an_Lbr是n個(gè)因式中r個(gè)因式取b,2(a +a3 +a5 + +a99)=5100 -1,、偶數(shù)余下n-r因式取a得到。3、掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)時(shí)，注意（1）二項(xiàng)式系數(shù)是正整數(shù)；（2）距首末距離相等的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系 數(shù)相等；（3）當(dāng)n為偶數(shù)是中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最 大，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式

4、系數(shù)最大；（4）所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2n,且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于2n。四、題型與方法1、二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法，設(shè)第 r+1項(xiàng)滿足 條件，整理后的指數(shù)滿足條件或?yàn)橛欣頂?shù)或?yàn)?0,列出 關(guān)于r的方程，求出r,代入通項(xiàng)公式即得。1100 八-a1 a3 a a9 = （5 - 1）點(diǎn)評：求所有項(xiàng)系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和項(xiàng)系數(shù)和或相關(guān)問題是高考考察的重點(diǎn)，解這類問題 常用賦值法，注意觀察如何賦值才能得到相應(yīng)或相關(guān) 式子。3、求二項(xiàng)展開式的系數(shù)最大（?。╉?xiàng)常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法，若各項(xiàng)系數(shù)都為正，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大（?。?，再根據(jù)比前1項(xiàng)、后 一項(xiàng)系

5、數(shù)都大（?。谐鲫P(guān)于r的不等式，解之即得； 若系數(shù)有正有負(fù)，先求系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)，若該項(xiàng) 系數(shù)為正，則是該項(xiàng)，若該項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，則為相鄰系 數(shù)為正的兩項(xiàng)之一，用通項(xiàng)公式計(jì)算比較之。例3在（Jx+2）n的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)是第4由題知，C：24=2C323,解得,n=7。例1若（3JX-七尸的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和、X為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）（A）-540（B） -162（C）162（D）540分析：已知展開式中的各項(xiàng)和，用賦值法求出 再用通項(xiàng)公式和待定系數(shù)法求出常數(shù)項(xiàng)。解析：令x=1的各項(xiàng)系數(shù)和為（3-1）n =64,n=6設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則項(xiàng)系數(shù)的2倍，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

6、分析：先由通項(xiàng)公式及條件求出 n,因各項(xiàng)系數(shù) 均為正，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大（小），再根據(jù)比前1項(xiàng)、 后一項(xiàng)系數(shù)都大（?。谐鲫P(guān)于r的不等式，解得。解析：第4項(xiàng)系數(shù)為C；23，第5項(xiàng)系數(shù)為C：24,由題知 3-r=0r=3Tr1 =C；(3',X)i( -r =(-1)r36_rC6x3_r設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，因各項(xiàng)系數(shù)都為正，所以有七；2芝。廣24Q；2r 8尸2*.第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即T4 = -540故選A。點(diǎn)評：求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)、有理項(xiàng)、常數(shù)解得r = 5 ,故展開式中第 6項(xiàng)系數(shù)最大。點(diǎn)評：求二項(xiàng)展開式的系數(shù)最大項(xiàng)是二項(xiàng)式定中 的難點(diǎn)，是高考考查的方向之一，同學(xué)們應(yīng)掌握

7、這類問題的解法。4、整除問題要證A能被B整除，無非是證A中含有B的因式（數(shù)），常用的變形的手段與技巧是拆數(shù)，注意底數(shù)與除數(shù)間關(guān)系，往往是將底數(shù)寫成兩個(gè)數(shù)之和（差），其中一個(gè)數(shù)是除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)，從而湊出所希望得到 的因式。例4求證：32n+2-8n-9能被64整除（n£ N+）3、7 14、6 1Ci0（1 X） 6 Ci0（1 x） 8 XX起，后面各項(xiàng)不再出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，前四項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)分別 為從第五項(xiàng)00122436C10C10 , C10C9 ,C10C8 ,C10C7項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)為0 0 1 2 2 4 36_C10C10 C10C9 ' C10C8 ' C1

8、0C7 =4351= 9（8n C：8n 況和2） 64nm = 0m = 2'一 Am = 4,*n = 0Jn = 1Jn = 2. 原三項(xiàng)展開式要得到常數(shù)項(xiàng)，則的常數(shù)項(xiàng)為0 0 1 2 2 4 36_C10C10 C10C9 C10C8 C10C7 =4351分析：根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算，可將32m2化為9（8+ 1）2,運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開，證明所得各項(xiàng)均能被64整除。解析：32n+2-8n-9=9（8+1） n-8n-9n 1 n 1n 2 2 n 1= 9（8Cn8 一 C"8 Cn 一8C：） -8n -9.各項(xiàng)均能被64整除，- 32n+2-8n-9 能被 64 整除點(diǎn)

9、評：對含指數(shù)式的整除問題，常用二項(xiàng)式定理 證明，常將被除數(shù)的底數(shù)化為除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)與一 個(gè)數(shù)的和或差的形式，利用二項(xiàng)式定理展開，因展開 后化簡的各項(xiàng)都是被除數(shù)的倍數(shù)，故展開后的多項(xiàng)式 能被除數(shù)整除，從而證明了原式能被除數(shù)整除.利用二項(xiàng)式定理證明整除問題是二項(xiàng)式定理應(yīng)用之一，體現(xiàn) 了數(shù)學(xué)各部分間的相互聯(lián)系，是高考考察的方向之一，本題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，用類似的方法可以解決 余數(shù)問題.5、近似計(jì)算分析2:將三項(xiàng)式看成10個(gè)三個(gè)因式相乘，再用 排列組合解之。1 101解析2:將（1 + x+F 看成10個(gè)1 + x+r 相 XX1乘，在N 10個(gè)因式中，m個(gè)因式取x, n個(gè)因式取xm,n N,m

10、+n < 10,2n=m,解得評析：求多項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)是高考考察的熱點(diǎn) 之一，同學(xué)們應(yīng)掌握這兩種方法，第二種方法揭示了 二項(xiàng)式定理與排列組合的關(guān)系。7、多個(gè)二項(xiàng)式乘積展開式的特定項(xiàng)問題先把其中次數(shù)較低的二項(xiàng)式展開，再分析這個(gè)展 開式取各項(xiàng)時(shí)，要得到所求項(xiàng)，另一個(gè)二項(xiàng)式展開式 取項(xiàng)情況，再分類討論求之。例7在（1-x）3（1 + X）10的展開式中，求X5的系利用二項(xiàng)式定理近似計(jì)算（1 + a）n,當(dāng)| a |與1比較很小時(shí)，取展開式前幾項(xiàng)，到某一項(xiàng)的值開始比要 求的精度多一位小，將這一項(xiàng)及以后各項(xiàng)舍去，把前 幾項(xiàng)的和作為其近似值。例5計(jì)算1.0095（精確到0.001）分析：先將（1-

11、X）3展開，再分析這個(gè)展開式取各5.10項(xiàng)時(shí)，要得到X項(xiàng)，（1十X）展開式取項(xiàng)情況，分類55分析：將1.009看作（1+0.009）,將其展開，求 討論求x5的系數(shù)。出從某一項(xiàng)開始其值小于0.001,后邊各項(xiàng)均可舍去，其近似值就是前幾項(xiàng)的和。解析：1.0095=（1+0.009）5女 1 +。50.009+。；0.0092 ".046點(diǎn)評：利用二項(xiàng)式定理近似計(jì)算是二項(xiàng)式定理應(yīng) 用之一，我們在實(shí)際解題也常用到。6、三項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題處理這類問題有兩種方法，法1,對三項(xiàng)展開式，要合理分組或因式分解，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的形式，先用 二項(xiàng)式定理展開，再分析如何得到特定項(xiàng)，再用二項(xiàng) 式定理通項(xiàng)公

12、式求解；法2,將三項(xiàng)式看成n個(gè)三個(gè)因式相乘，分析如何得到所求項(xiàng)，利用組合解之。1 10例6求（1 + x + "）的展開式的常數(shù)項(xiàng)。x分析1將三項(xiàng)式分組化為二項(xiàng)式先用二項(xiàng)式定理 展開，再分析如何得到特定項(xiàng)，再用二項(xiàng)式定理通項(xiàng) 公式求解。食軍析 1: （1 十X+#）10 =（1+x）十10XX=C° （1 x）10 罰C1 （1 X）9 C2 （1 房x）8 2 C10（l X） C10 （| X） 2C10 （| X） 4XX解析：（1x）3（1+x）10=（1 - 3x + 3x2 - x3 ）（1 + x）10,要得到x5,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí)，（1 + x）10展開式

13、取5次項(xiàng)，X5項(xiàng)系數(shù)為C1*當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取 3x時(shí)，（1十X）10展開式取4次項(xiàng)，5 一4X項(xiàng)系數(shù)為3C10當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取3x2時(shí)，（1 + x）10展開式取3次項(xiàng)，X5項(xiàng)系數(shù)為3C130當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取-X3時(shí)，（1 + x）10展開式取2次項(xiàng)，X5項(xiàng)系數(shù)為-c2°5 云*/、/ 人 5 人 4 人 3 人 2 oo , X 項(xiàng)系 狀J C0 3C0 + 3Ci0 C0 63點(diǎn)評：求多個(gè)二項(xiàng)式乘積展開式的特定項(xiàng)問題是 高考考察的又一個(gè)重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)掌握這類問題的解 法。8.應(yīng)用二項(xiàng)式定理證明不等式例 3 求證：2n + > n2+n+2( n £ N*)分析：本題是一邊指數(shù)式，另一邊是多項(xiàng)式的不等 式的證明問題，用二項(xiàng)式定理證明.證明：當(dāng) n=1 時(shí)，21 乎=4, 12+1+2=4,- 2n41=n2 +n +2 ;當(dāng)n >2時(shí)，2n41=2(1+1)n=2(1 + Cn + C：+ + cn)> 2(1 + Cn + C；)=21 + n + n(；1) = n2 +n +2 .- 2n41 > n2 +n +2 ( n c N*).點(diǎn)評：對于一邊是指數(shù)式另一邊是含指數(shù)式或?yàn)殛P(guān) 于n的多項(xiàng)式的不等式證明問題，可以用二項(xiàng)式定理 證明，先將指數(shù)式的底數(shù)化為兩項(xiàng)的和或差的形式， 再用二