第二講：金融工程的基本分析方法

1、 金融工程學(xué)趙興 金融工程的基本分析方法 1 金融工程學(xué)趙興 如果市場是有效率的話，市場價格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。這就是無套利的定價原則。 根據(jù)這個原則，在有效的金融市場上，任何一項金融資產(chǎn)的定價，應(yīng)當(dāng)使得利用該項金融資產(chǎn)進行套利的機會不復(fù)存在。 2 金融工程學(xué)趙興 無套利均衡的價格必須使得套利者處于這樣一種境地：他通過套利形成的財富的現(xiàn)金價值，與他沒有進行套利活動時形成的財富的現(xiàn)金價值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀況。 3 金融工程學(xué)趙興 假設(shè)現(xiàn)在6個月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個月到1年

2、期的遠期利率定為11%，試問這樣的市場行情能否產(chǎn)生套利活動？4 金融工程學(xué)趙興套利過程是：第一步，交易者按10%的利率借入一筆6個月資金（假設(shè)1000萬元）第二步，簽訂一份協(xié)議（遠期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價格6個月后從市場借入資金1051萬元（等于1000e0.100.5）。第三步，按12%的利率貸出一筆1年期的款項金額為1000萬元。第四步，1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元（等于1000e0.121），并用1110萬元（等于1051e0.110.5）償還1年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。 5 金融工程學(xué)趙興 無套利定價原則首先要求

3、套利活動在無風(fēng)險的狀態(tài)下進行。 無套利定價的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。 無風(fēng)險的套利活動從即時現(xiàn)金流看是零投資組合 （自融資組合）。6 金融工程學(xué)趙興Case：假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 7 金融工程學(xué)趙興為了找出該期權(quán)的價值， 可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時無風(fēng)險， 必須滿足下式： 11 0.5=9=0.258 金融工程學(xué)趙

4、興該無風(fēng)險組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此： 元19. 225. 225. 01 . 0e元31. 019. 225. 010ff9 金融工程學(xué)趙興1、金融工具的模仿。 即通過構(gòu)建一個金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。 10 金融工程學(xué)趙興11 金融工程學(xué)趙興 假定t時刻，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格分別為c和p，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)具有相同的資產(chǎn)S、到期日T和執(zhí)行價格X。 MS=max(0,STX）max（0，XST） 12 金融工程學(xué)趙興金融工具的合成是指通過構(gòu)建一個金融工具組合使之與被模仿的金融工具具

5、有相同價值。例如：合成股票的構(gòu)成是：一個看漲期權(quán)的多頭，一個看跌期權(quán)的空頭和無風(fēng)險債券。 SS= max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST S= c- p+Xe-r(T-t) 13 金融工程學(xué)趙興在對衍生證券定價時，我們可以假定所有投資者都是風(fēng)險中性的，此時所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。 風(fēng)險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。 14 金融工程學(xué)趙興假設(shè)一種不支付紅利股票目前

6、的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 15 金融工程學(xué)趙興在風(fēng)險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。 P=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，我們就可以就出該期權(quán)的價值： 0.1 0.25119 110ePP（）0.1 0.25(0.5 0.62660 0.3734)0.31fe 元16 金融工程學(xué)趙興假設(shè)一個無紅利支付的股票，當(dāng)前時刻t股票價格為S，基于該股票的某個期權(quán)的價值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個有效期內(nèi)，股票價

7、格或者上升到Su，或者下降到Sd。當(dāng)股票價格上升到Su時，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價格下降到Sd時，期權(quán)的收益為fd。 17 金融工程學(xué)趙興首先，構(gòu)造一個由股股票多頭和一個期權(quán)空頭組成的證券組合，并計算出該組合為無風(fēng)險時的值。 18 金融工程學(xué)趙興如果無風(fēng)險利率用r表示，則該無風(fēng)險組合的現(xiàn)值一定是（Su-fu）e-r（T-t）,而構(gòu)造該組合的成本是S-f，在沒有套利機會的條件下，兩者必須相等。即S-f=（Su-fu）e-r(T-t) ，所以1(1)r TudfePfP f（）()r T tedPud19 金融工程學(xué)趙興假定風(fēng)險中性世界中股票的上升概率為P，由于股票未來期望值按無風(fēng)險

8、利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得： )(1)r T tSeSuPSdP（()r TtedPud(1)rTudfePfP f 20 金融工程學(xué)趙興狀態(tài)價格指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時回報為1，否則回報為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價格。如果未來時刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報狀況以及市場無風(fēng)險利率水平，我們就可以對該資產(chǎn)進行定價，這就是狀態(tài)價格定價技術(shù)。 21 金融工程學(xué)趙興A是有風(fēng)險證券，其目前的價格是PA，一年后其價格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q）和下降狀態(tài)（概率是1-

9、q）。我們現(xiàn)在來構(gòu)造兩個基本證券?；咀C券1在證券市場上升時價值為1，下跌時價值為0；基本證券2恰好相反，在市場上升時價值為0，在下跌時價值為1?；咀C券1現(xiàn)在的市場價格是u，基本證券2的價格是d。 22 金融工程學(xué)趙興購買uPA份基本證券1和dPA份基本證券2組成一個假想的證券組合。該組合在T時刻無論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流 PA=uuPA+ddPA 或1=uu+dd由單位基本證券組成的組合在T時刻無論出現(xiàn)什么狀態(tài)，其回報都是1元。這是無風(fēng)險的投資組合，其收益率應(yīng)該是無風(fēng)險收益率r ()r T tude23 金融工程學(xué)趙興所以只要有具備上述性質(zhì)的一對基本證券存在，我們就能

10、夠通過復(fù)制技術(shù)，為金融市場上的任何有價證券定價。關(guān)于有價證券的價格上升的概率p，它依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們對p認識的分歧不影響為有價證券定價的結(jié)論。無套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價格定價技術(shù)）的過程與結(jié)果同市場參與者的風(fēng)險偏好無關(guān)。 ()()11r T tr T tuduedeudud，24 金融工程學(xué)趙興假設(shè)某股票符合我們上面提到的兩種市場狀態(tài)，即期初價值是S0，期末價值是S1，這里S1只可能取兩個值：一是S1=Su=uS0,u1,二是S1= Sd=dS0,d1。我們現(xiàn)在想要確定的是依附于該股票的看漲期權(quán)的價值是多少？ 25 金融工程學(xué)趙興我們構(gòu)造這樣一個投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的

11、價值特征完全相同：以無風(fēng)險利率r借入一部分資金B(yǎng)（相當(dāng)于做空無風(fēng)險債券），同時在股票市場上購入N股標的股票。該組合的成本是N S0-B，到了期末，該組合的價值V是N S1-RB，R是利率因子。對應(yīng)于S1的兩種可能，V有兩個取值：如果S1=Su,則V=Vu= N Su-RB，如果S1=Sd, 則V=Vd= N Sd-RB。 ()()e,e.uur Ttuddr TtdVNSBcVNSBc26 金融工程學(xué)趙興由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價值，即有N S0-B=c0,把N和B 代入本式中，得到看漲期權(quán)的價值公式 c0=pcu+(1-p)cde-r(T-t) 其中p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d) 。 0()()()()/()()/(),()/()()()/()udududduududr Ttddr Ttudr TtNccSSccud SB