《高等數(shù)學(xué)》電子課件（同濟(jì)第六版）：08第九章 第8節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法

1、2一元函數(shù)一元函數(shù))(xfy xyo1x2x3x4x3實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)

2、(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出4二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函

3、數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). .6(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 7定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值

4、，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極大值處有極大值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證.:是駐點(diǎn)是駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定對(duì)一元函數(shù)對(duì)一元函數(shù)8故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx

5、;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條有極值的必要條件為件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.9例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一

6、個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，注意：注意：10又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)

7、沒有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論11例例4 4.求函數(shù)解解: :第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). 得駐點(diǎn): (1,0) , (1,2) , (3,0) , (3,2) .第二步第二步 判別判別. .在點(diǎn)(1,0)處為極小值;在點(diǎn)(1,2)處不是極值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),),(66xyxfxx,),(0yxfyx66 yyxfyy),(,12A,0B,6C,06122 BAC501),(f6012CBA,),(21f,)(06122 BAC0A

8、xyxyxyxf9332233),(12例例4 4 求函數(shù)駐點(diǎn): (1,0) , (1,2) , (3,0) , (3,2) .在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.ABC的極值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC),(03 f6012CBA,3123),(f,)(06122 BAC,0Axyxyxyxf9332233),(13例例5.討論函數(shù)及是否取得極值.解解:顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) , 并且在 (0,0) 都有02 BAC在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值可能為33yxz因此 z(0,0) 不是極值

9、.因此0)()0,0(222yxz當(dāng)022 yx時(shí),222)(yxz000),(z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)xyzo14求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第二步第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)，再判定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值.15求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在

10、內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值16解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，xyo6 yxDD如圖如圖,17解方程組解方程組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(,且且4)1 , 2( f,

11、再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在邊界在邊界0 x和和0 y上上0),( yxf,18在邊界在邊界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比較后可知比較后可知4)1 , 2( f為最大值為最大值,64)2 , 4( f為最小值為最小值.xyo6 yxD19, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解 由由20即邊界上的值為零即邊

12、界上的值為零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx無條件極值無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件外，并無其他條件.21例例8 8.解解:設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn))2,2(33某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,323332222的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省？yx22Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0222xyAx0222yx

13、Ay因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為,高為時(shí)，水箱所用材料最省。m3m22實(shí)例：實(shí)例： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108

14、yx三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法23條件極值條件極值極值問題無條件極值無條件極值: 對(duì)自變量只有定義域的限制條件極值條件極值: 對(duì)自變量除定義域限制外, 還有 其它條件限制 條件極值的求法條件極值的求法. 在條件 下, 求函數(shù) 的極值.0),(yx),(yxfz 方法一方法一 代入法代入法從條件 中解出 0),(yx)(xy求一元函數(shù)) )(,(xxfz在條件 下, 求函數(shù) 的極值0),(yx),(yxfz 轉(zhuǎn)化的無條件極值問題24方法二方法二. 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法在條件在條件 下下, 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.0),(yx),(yxfz 分析: 設(shè)條件方程 )(xy0),(yx則問

15、題等價(jià)于一元函數(shù))(,(xxfz0 xdydffxdzdyxyxxdyd0yxyxffyyxxff極值點(diǎn)必滿足可確定隱函數(shù)極值問題 ,極值點(diǎn)必滿足故0 xxf0yyf025在條件 下, 求函數(shù) 的極值.0),(yx),(yxfz 引入輔助函數(shù)),(),(yxyxfF極值點(diǎn)必滿足000yyxxff輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù) .0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.26推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)),(),(),(21zyxzyxzyxfF解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 021xxxxfF

16、021yyyyfF 021zzzzfF 01 F02 F例如, 求函數(shù)),(zyxfu ,0),(zyx下的極值.0),(zyx在條件27例例9 要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為 的長方體開口水箱, 試問水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？0V使0VzyxyxzyzxS)(2zyx,則問題為求yxz令)()(20VzyxyxzyzxF解方程組得303024,22VVzyx由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,430V長、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省。解解: 設(shè)zyx,分別表示長,寬,高,下水箱表面積最小.在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx因此 , 當(dāng)高為28解解令令 )12()

17、,(23 zyxzyxzyxF ,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為29解解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn),令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 過過),(000zyxP的切平面方程為的切平面方程為30 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為 1202020 czzbyyaxx,該切平面在三個(gè)軸上的截距各為該切平面在三個(gè)軸上的截距

18、各為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,31在條件在條件1220220220 czbyax下下， 令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,.的最小值的最小值求求0002226zyxcbaV 32當(dāng)當(dāng)切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(3a，3b，3c)時(shí)時(shí),四面體的體積最小四面體的體積最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz

19、 33多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值四、小結(jié)3411889P習(xí)題習(xí)題121097532,129P總習(xí)題九總習(xí)題九1917161411876543,，35思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點(diǎn)均取得點(diǎn)均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？36思考題解答思考題解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取極極大大值值;當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，時(shí)，2

20、)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取極小值取極小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取極值不取極值.37一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù))4)(6(),(22yyxxyxf 在在_點(diǎn)取點(diǎn)取得極得極_值為值為_._.2 2、 函數(shù)函數(shù)xyz 在附加條件在附加條件1 yx下的極下的極_值值為為_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所確定的所確定的函數(shù)函數(shù)),(yxfz 的極大值是的極大值是_,_,極小值極小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 點(diǎn)點(diǎn) , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直線線的的距距離離平平方方之之和和為為最最小小. .三三、 求求內(nèi)內(nèi)接接于于半半徑徑為為a的的球球且且有有最最大大體體積積的的長長方方體體. .練練 習(xí)習(xí) 題題38四、四、 在第一卦限內(nèi)作球面在第一卦限內(nèi)作球面1222 zyx的切平面的切平面, ,使使得切平面與三坐標(biāo)面所圍