MatLab解線性方程組

1、matlab解線性方程組一文通 ( 轉(zhuǎn)帖) 當(dāng)齊次線性方程ax=0,rank(a)=r=n 唯一解， r（a）=r（ ） n,有無窮解； 2：當(dāng) r（a）+1=r （ ）時(shí)無解。ii） 求特解；iii ） 求通解 (無窮解 ), 線性方程組的無窮解= 對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解+非齊次方程組的一個(gè)特解；注：以上針對(duì)非齊次線性方程組，對(duì)齊次線性方程組，主要是用到i)、iii) 步！四：基本方法基本思路將在解題的過程中得到體現(xiàn)。1（求線性方程組的唯一解或特解），這類問題的求法分為兩類：一類主要用于解低階稠密矩陣直接法；一類是解大型稀疏矩陣迭代法。11 利用矩陣除法求線性方程組的特解（或一個(gè)解）方程： a

2、x=b ，解法： x=ab ， (注意此處 不是 / )例 1-1 求方程組的解。解: a = ; = ；b=(1,0,0,0,1)由于 rank(a)=5,rank( )=5 %求秩，此為r（a） =r（） =n 的情形，有唯一解。x= ab %求解x =(2.2662, -1.7218, 1.0571,- 0.5940, 0.3188) 或用函數(shù)rref 求解， sv=rref(a:b); 所得 sv 的最后一列即為所要求的解。12 利用矩陣的lu 、qr 和 cholesky 分解求方程組的解，這三種分解，在求解大型方程組時(shí)很有用。其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算速度快、可以節(jié)省磁盤空間、節(jié)省內(nèi)存。i) l

3、u 分解又稱gauss消去分解，可把任意方陣分解為下三角矩陣的基本變換形式（行交換）和上三角矩陣的乘積。即a=lu ， l 為下三角陣，u 為上三角陣。則： a*x=b 變成 l*u*x=b 所以 x=u(lb) 這樣可以大大提高運(yùn)算速度。命令l ，u=lu (a) 在 matlab 中可以編如下通用m 文件：在 matlab 中建立 m 文件如下% exp1.m a;b; l， u=lu (a); x=u(lb) ii）cholesky 分解若 a 為對(duì)稱正定矩陣， 則 cholesky 分解可將矩陣a 分解成上三角矩陣和其轉(zhuǎn)置的乘積，即：其中 r 為上三角陣。方程a*x=b 變成所以在 m

4、atlab 中建立 m 文件如下% exp2.m a;b; r ，r=chol(a); (r b) iii ） qr 分解對(duì)于任何長(zhǎng)方矩陣a，都可以進(jìn)行qr 分解， 其中 q 為正交矩陣， r 為上三角矩陣的初等變換形式，即： a=qr 方程a*x=b 變形成qrx=b 所以x=r(qb) 上例中q, r=qr(a) x=r(qb) 在 matlab 中建立 m 文件如下% exp3.m a;b; q， r=qr(a); x=r(qb) 2求線性齊次方程組的通解(a*x=0) 在 matlab 中，函數(shù) null 用來求解零空間，即滿足 a•x=0的解空間， 實(shí)際上是求出解

5、空間的一組基（基礎(chǔ)解系）。在 matlab 中建立 m 文件如下% exp4.m format rat %指定有理式格式輸出a;b=0; r=rank(a); bs=null(a ， r ); %一組基含 (n-r)個(gè)列向量% k ,k , ,k% x= k *bs(:,1)+ k *bs(:,2)+ + k *bs(:,n-r) 方程組的通解pretty(x) %讓通解表達(dá)式更加精美3 求非齊次線性方程組的通解（a*x=b ）非齊次線性方程組需要先判斷方程組是否有解，若有解，再去求通解。因此，步驟為：第一步：判斷ax=b 是否有解， (利用基本思路的第一條) 若有解則進(jìn)行第二步第二步：求ax=b 的一個(gè)特解第三步：求ax=0 的通解第四步： ax=b 的通解為：ax=0 的通解加上ax=b 的一個(gè)特解。在 matlab 中建立 m 文件如下% exp4.m clear all a;b; %輸入矩陣a,b m,n=size(a); r=rank(a); b=a b; rr=rank(b); format rat if r=rr&r=n % n 為未知數(shù)的個(gè)數(shù)，判斷是否有唯一解x=ab; elseif r=rr&rn %判斷是否有無窮解x=ab %求特解c=null(a, r ) %求 ax=0 的基礎(chǔ)解系 ,所得 c