2021年新高考數(shù)學(xué)全國卷模擬(附參考答案和詳解)

1、第1頁（共 13 頁）絕密啟用前2021 年普通高等學(xué)校招生模擬考試（全國卷）數(shù)學(xué)（適用新高考地區(qū)）總分： 150分 考試時(shí)間： 120分鐘祝考試順利 注意事項(xiàng)：1、本試卷分第i 卷（選擇題）和第ii 卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡的指定位置。用2b 鉛筆將答題卡上試卷類型a 后的方框涂黑。2、選擇題的作答：選出每小題答案后，用2b 鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙、答題卡上

2、的非答題區(qū)域均無效。4、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。第 i 卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8 小題，每小題5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2(2i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限2.設(shè)集合 |3213axx，集合b為函數(shù)lg(1)yx的定義域，則ab（）a.(1,2)b.1,2c.1,2)d.(1,23.已知向量( ,3)ka，(1,4)b，(2,1)c，且(23 )abc，則實(shí)數(shù)k（）a.92b.0c.3d.1524.使13nxx x()nn的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為（）a.4b.5

3、c.6d.75.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)頻數(shù)2 3 4 5 4 2 則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40)的頻率為（）a.0.35b.0.45c.0.55d.0.65第2頁（共 13 頁）6.已知過點(diǎn)(2,2)p的直線與圓22(1)5xy相切，且與直線10axy垂直，則a（）a.12b.1c.2d.127.命題 存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)的否定是（）a.任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)b.任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)c.存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)d.存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)8.已知

4、50,log,lg,510dbbabc，則下列等式一定成立的是（）a.dacb.acdc.cadd.dac二、多項(xiàng)選擇題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得5 分，部分選對(duì)的得3 分，有選錯(cuò)的得0 分 . 9.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則（）a.甲的成績的平均數(shù)大于乙的成績的平均數(shù)b.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)c.甲的成績的方差小于乙的成績的方差d.甲的成績的極差小于乙的成績的極差10.如果雙曲線的離心率512e，則稱此雙曲線為黃金雙曲線有以下幾個(gè)命題，其中正確命題的有（）a

5、.雙曲線221251xy是黃金雙曲線b.雙曲線222151xy是黃金雙曲線c.在雙曲線22221xyab中，1f為左焦點(diǎn)，2a為右頂點(diǎn)，1(0, )bb，若11290f b a，則該雙曲線是黃金雙曲線第3頁（共 13 頁）d.在雙曲線22221xyab中，過焦點(diǎn)2f作實(shí)軸的垂線交雙曲線于m，n兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若120mon，則該雙曲線是黃金雙曲線11.已知m，n為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，給出下列4個(gè)命題，其中真命題有（）a.若m，n，則mnb.若m，n，則mnc.若m，m，則d.若m，n，則mn12.已知( )f x為定義在r上的偶函數(shù)，當(dāng)0 x時(shí)，有(1)( )f xf x，且

6、當(dāng)0,1)x時(shí)，2( )log (1)f xx給出下列命題，其中正確的命題的為（）a.(2016)( 2017)0ffb.函數(shù)( )f x在定義域上是周期為2的周期函數(shù)c.直線yx與函數(shù)( )f x的圖像有1個(gè)交點(diǎn)d.函數(shù)( )f x的值域?yàn)? 1,1)第卷本卷包括填空題和解答題兩部分，共90 分. 三、填空題：本題共4 小題，每小題5 分。13.函數(shù)3sin 24yx的最小正周期為 . 14.盒子中裝有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）15.在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l過拋物線24yx的焦點(diǎn)f，且與該拋

7、物線相交于a，b兩點(diǎn)，其中點(diǎn)a在x軸上方若直線l的傾斜角為60，則oaf的面積為16.已知正三棱錐-p abc，點(diǎn),p a b c都在半徑為3的球面上若,pa pb pc兩兩互相垂直，則球心到截面abc的距離為第4頁（共 13 頁）四、解答題：本題共6 小題，共70 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.（10分）已知na為等差數(shù)列，且36a，60a（1）求na的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列nb滿足18b，2123baaa，求nb的前n項(xiàng)和公式18.（12分）在abc中，內(nèi)角a，b，c對(duì)邊的邊長分別是a，b，c，已知2c，3c（1）若abc的面積等于3，求a，b；（2）若sins

8、in()2sin2cbaa，求abc的面積第5頁（共 13 頁）19.（12分）現(xiàn)有甲乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次命中的概率為34，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為23，每命中一次得2分，沒有命中得0分該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，假設(shè)該射手完成以上三次射擊（1）求該射手恰好命中一次的概率；（2）求該射手的總得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望ex20.（12分）如圖，在四棱錐-p abcd中，底面abcd是矩形，paabcd底面，e是pc的中點(diǎn)已知2ab，2 2ad，2pa求：（1）三角形pcd的面積；（2）異面直線bc與ae所成的角的大小第6頁（共 13 頁）21.（12

9、分）已知橢圓22:24c xy（1）求橢圓c的離心率；（2）設(shè)o為原點(diǎn)，若點(diǎn)a在直線2y上，點(diǎn)b在橢圓c上，且oaob，求線段ab長度的最小值22.（12分）已知函數(shù)3( )ln42xaf xxx，其中ar，且曲線( )yf x在點(diǎn)(1, (1)f處的切線垂直于12yx（1）求a的值；（2）求函數(shù)( )f x的單調(diào)區(qū)間和極值第7頁（共 13 頁）參考答案與解析第卷一、單項(xiàng)選擇題. 1.d 【解析】因?yàn)?2i)234i，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選 d2.d 【解析】|3213 1,2axx，(1,)b，(1,2ab故選 d3.c 【解析】23(23, 6)kab，(23 )abc，2(

10、23)60k，3k故選c4.b 【解析】展開式通項(xiàng)5211c (3 )3crnrrn rn rrrnntxxx x，常數(shù)項(xiàng)要滿足502nr，所以滿足條件的最小的n為5故選 b5.b 【解析】數(shù)據(jù)落在10,40的頻率為23490.452020.故選 b6.c 【解析】由題意知點(diǎn)(2,2)p在圓22(1)5xy上，設(shè)切線的斜率為k，則20121k，解得12k，直線10axy的斜率為a，且與切線垂直，所以112a，解得2a故選c7.b 【解析】由題知，原命題是一個(gè)存在命題，因此其否定形式為特稱命題，“存在一個(gè)無理數(shù)”變?yōu)椤叭我庖粋€(gè)無理數(shù)”，再把結(jié)論“它的平方是有理數(shù)”予以否定.故選 b. 8.b 【

11、解析】因?yàn)?log,lgbabc，所以5,10acb b又510d，所以510(5 )5acdcbcd，所以acd故選 b二、多項(xiàng)選擇題. 9.ac 【解析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知甲的中靶情況為4環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、7環(huán)、8環(huán)；乙的中靶情況為5環(huán)、5環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、9環(huán)，之后應(yīng)用各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的公式進(jìn)行計(jì)算即可故選ac. 10.bc 【解析】雙曲線中22a，251b，所以2512e，不是黃金雙曲線；雙曲線中21a，2512b，則2352e，即512e，是黃金雙曲線；雙曲線中，12110b ab f，即2bac，則512e，是黃金雙曲線；第8頁（共 13 頁）雙曲線中，可得點(diǎn)( ,3 )m cc，因?yàn)辄c(diǎn)m在

12、雙曲線上，代入雙曲線方程有422450ca ca，所以25212e，不是黃金雙曲線故選bc. 11.bc 【解析】 a錯(cuò)誤，m，n可能異面；d錯(cuò)誤，m，n可能相交或異面故選bc. 12.c 【解析】根據(jù)題意，可在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出直線yx和函數(shù)( )f x的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知選項(xiàng)a中(2016)( 2017)0ff正確；對(duì)于選項(xiàng)b，函數(shù)( )f x在定義域上不是周期函數(shù)，所以b不正確；對(duì)于選項(xiàng)c，根據(jù)函數(shù)圖象可知yx與( )f x的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，所以c正確；對(duì)于選項(xiàng)d，根據(jù)圖象，函數(shù)( )f x的值域是( 1,1)，所以 d正確故選acd 第卷三、填空題 . 13.【解析】22

13、t. 14.1318【解析】9個(gè)數(shù)5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為2529c131.c1815.3【解析】如圖，第9頁（共 13 頁）過點(diǎn)a作準(zhǔn)線的垂線段am，設(shè)aft，則amt，12fnt，因?yàn)閍mpnpffn，所以122tt，所以4aft，所以2 3an，所以132oafsofan16.33【解析】因?yàn)閜apbpc、兩兩互相垂直，所以正三棱錐-p abc的外接球就是以papbpc、為棱的正方體的外接球，從而球心到截面abc的距離即為球半徑減去正三棱錐的高設(shè)papbpca，則223412ar，即2a設(shè)正三棱錐-p abc的高為h，則23-11132223234p abcvh解得2 33

14、h故球心到截面abc的距離為2 33333四、解答題：本題共6 小題，共70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.【解析】（ 1）設(shè)等差數(shù)列na的公差為d因?yàn)?66,0,aa所以1126,50.adad解得110,2.ad所以10(1) 2212.nann（2）設(shè)等比數(shù)列nb的公比為q因?yàn)?123124,8,baaab所以824q，即3q所以nb的前n項(xiàng)和公式為1(1)4(13 ).1nnnbqsq第10頁（共 13 頁）18.【解析】（ 1）由余弦定理及已知條件得，224abab，又因?yàn)閍bc的面積等于3，所以1sin32abc，得4ab聯(lián)立方程組224,4,ababab解得

15、2a，2b（2）由題意得sin()sin()4sin cos ,babaaa即sin cos2sin cosbaaa，當(dāng)cos0a時(shí)，2a，6b，4 33a，2 33b，當(dāng)cos0a時(shí)，得sin2sinba，由正弦定理得2ba，聯(lián)立方程組224,2 ,ababba解得2 33a，4 33b所以abc的面積12 3sin23sabc19.【解析】（ 1）記 “ 該射手恰好命中一次” 為事件a， “ 該射手射擊甲靶命中” 為事件b，“ 該射手第一次射擊乙靶命中” 為事件c，“ 該射手第二次射擊乙靶命中” 為事件d，由題意知3( )4p b，2()()3p cp d，由于abcdbcdbcd，根據(jù)事

16、件的獨(dú)立性和互斥性得()p a()p bcdbcdbcd()()()p bcdp bcdp bcd( ) ( )()( ) () ()p b p c p dp b p c p dp b p c p d7.36（2）根據(jù)題意，x的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得1(0)()1()1()1(),36p xp bcdp bp cp d1(1)()()()(),12p xp bcdp b p c p d第11頁（共 13 頁）1(2)()()(),9p xp bcdbcdp bcdp bcd1(3)()()(),3p xp bcdbcdp bcdp bcd1(4)(),

17、9p xp bcd1(5)().3p xp bcd故x的分布列為x0 1 2 3 4 5 p13611219131913所以11111141012345.3612939312ex20.【解析】（ 1）因?yàn)閜aabcd底面，cdabcd平面，所以pacd又adcd，paada，所以cdpad平面，從而cdpd因?yàn)樵谥苯侨切蝡cd中，2222 22 3pd，2cd，所以三角形pcd的面積為12 2 32 3.2（2）解法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則2,0,0b，2,22,0c，1,2,1e，1,2,1ae，0,22,0bc設(shè)ae與bc的夾角為，則第12頁（共 13 頁）cos| |ae

18、bcaebc42,222 2所以,4由此知，異面直線bc與ae所成的角的大小是4解法二：如圖所示，取pb的中點(diǎn)f，連接ef，af，則efbc，從而aef（或其補(bǔ)角）是異面直線bc與ae所成的角在aef中，由2ef，2af，2ae，知aef是等腰直角三角形，所以4aef，因此，異面直線bc與ae所成的角的大小是421.【解析】（ 1）由題意，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為221,42xy所以24a，22b，從而2222,cab因此2,2,ac故橢圓c的離心率2.2cea（2）設(shè)點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為( ,2)t，00(,)xy，其中00 x，因?yàn)閛aob，所以0,oa ob即0020txy，解得002,ytx第13頁（共 13 頁）又220024xy，所以2|ab2200()(2)xty2200002(2)yxyx2220002044yxyx2220002042(4)42xxxx22002084(04),2xxx因?yàn)?2002084(04),2xxx且當(dāng)204x