2021年天津一中、益中學(xué)校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷(2021.05)(解析版)

1、2021 年天津一中、益中學(xué)校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（5 月份）一、選擇題（共9 小題） .1已知集合ax z|x| 5，bx|2x4 ，則 ab（）a（ 2， 5）b2，5）c2， 3，4d3，4，52設(shè) ，是兩個(gè)不同平面，直線m?，直線 n?，則下列結(jié)論正確的是（）am是 mn 的充分條件bmn 是 的必要條件cm是 mn 的必要條件dmn 是 的必要條件3函數(shù) f（x）的圖象大致是（）abcd4學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為n 的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在50，60）元的同學(xué)有30 人，則 n 的值為（）a100b1000c90d9005已知 alo

2、g32，b ln2，c0.50.2，則 a，b，c 的大小關(guān)系為（）aacbbabccbc adca b6已知三棱錐pabc 中，pa平面 abc，abc 是邊長為3 的等邊三角形，若此三棱錐外接球的體積為，那么三棱錐pabc 的體積為（）abcd7已知雙曲線， abc 為等邊三角形若點(diǎn)a 在 y 軸上，點(diǎn) b， c 在雙曲線m 上，且雙曲線m 的實(shí)軸為 abc 的中位線， 雙曲線 m 的左焦點(diǎn)為f，經(jīng)過f 和拋物線x216y 焦點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（）abcd8已知函數(shù)f（x） sin（x+ ）（0，|），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且直線x是其中一條對稱

3、軸，則下列結(jié)論正確的是（）a函數(shù) f（x）的最小正周期為b函數(shù) f（x）在區(qū)間 ，上單調(diào)遞增c點(diǎn)（，0）是函數(shù)f（ x）圖象的一個(gè)對稱中心d將函數(shù) f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得到g（x） sin2x 的圖象9已知函數(shù)f（x），若對任意x r，f（ x） |x2k|x1|0 恒成立，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是（）a（，1，+）b（，+）c（， +）d（， 12，+）二、填空題：10若復(fù)數(shù)，則 z11二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為12已知 a0， b0，且 a+b1，則的最小值為13若函數(shù)f（x） ex x 圖象在點(diǎn)（ x0，f（x0）

4、處的切線方程為ykx+b，則 kb 的最小值為14天津是一個(gè)古老與現(xiàn)代、保守與開放相融合的城市，歷經(jīng) 600 多年，特別是近代造就了中西合璧、古今兼容的獨(dú)特城市風(fēng)貌，成為國內(nèi)外游客首選的旅游圣地2021 年元月份以來，來天津游覽的游客絡(luò)繹不絕，現(xiàn)通過對來津游客問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每位游客選擇繼續(xù)游玩的概率都是，不游玩的概率都是，若不游玩記1 分，繼續(xù)游玩記2 分，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立，從游客中隨機(jī)抽取3 人，記總得分為隨機(jī)變量x，則 x 的數(shù)學(xué)期望 e（x）15如圖，在abc 和 aef 中， b 是 ef 的中點(diǎn)， abef2，cacb3，若點(diǎn) h 為ca 上的動點(diǎn)，則的最小值為，若，則等于三

5、、解答題：16已知 abc 中，角 c 的對邊分別為a，b， c，3bcosc+2csincsinb0（1）求角 c；（2）若，求 a+b 的值（3）若，求17如圖，已知平面bce平面 abc，直線 da平面 abc，且 daabac（1）求證： da平面 ebc；（2）若，de平面 bce；（）求二面角abde 的余弦值；（）在直線ce（除 c、e 兩點(diǎn)外）上是否存在一m，使得直線am 與平面 bde 所成角的余弦值為，若存在，求的值；如不存在，請說明理由18設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，且等比數(shù)列bn 的前 n 項(xiàng)和為tn，滿足 a1b12，s26，s312，b1+b23（1）求

6、an ， bn的通項(xiàng)公式；（2）求滿足條件的最小正整數(shù)k，使得對 ?nk（n n*）不等式tn+1 sn恒成立；（3）對任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列 cn 的前 2n項(xiàng)和19已知橢圓的離心率為，以橢圓中心為圓心，長半軸長為半徑的圓被直線3x+4y+50 截得的弦長為（1）求橢圓 c 的方程；（2）橢圓 c 的左頂點(diǎn)為a，右頂點(diǎn)為b，右焦點(diǎn)f，m 是橢圓位于x 軸上方部分的一個(gè)動點(diǎn)，以點(diǎn)f 為圓心，過點(diǎn)m 的圓與 x 軸相交，交點(diǎn)t 在 f 右邊，過點(diǎn)b 作 x 軸的垂線l 交直線 am 于點(diǎn) n，過點(diǎn) f 作直線 femt，交直線l 于點(diǎn) e，判斷是否為定值，并給出證明20已知函數(shù)f（x） xe

7、x1a（x+lnx）， a r（1）當(dāng) a1 時(shí)，求函數(shù)f（x）的單減區(qū)間；（2）若 f（x）存在極小值，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；（3）設(shè) x0是 f（x）的極小值點(diǎn)，且f（ x0） 0，證明： f（x0） 2（x02x03）參考答案一、選擇題：1已知集合ax z|x| 5，bx|2x4 ，則 ab（）a（ 2， 5）b2，5）c2， 3，4d3，4，5解： ax z|5x5， b x|x2 ，ab x z|2x52 ，3，4 故選： c2設(shè) ，是兩個(gè)不同平面，直線m?，直線 n?，則下列結(jié)論正確的是（）am是 mn 的充分條件bmn 是 的必要條件cm是 mn 的必要條件dmn 是 的必要條件

8、解： m ，n?， mn，故是充分條件，故a正確，由 ，得 mn 或異面，故不是必要條件，故b 錯誤，由 mn 推不出 m ，也可能m 與 平行，故不是必要條件，故c 錯誤，由 推不出 mn，也可能平行，不是必要條件，故d 錯誤，故選： a3函數(shù) f（x）的圖象大致是（）abcd解： f（ x） f（x），函數(shù) f（x）為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)c 和 d，當(dāng) x （0，1）時(shí)， cosx 0，exex0， f（x） 0，排除選項(xiàng)b，故選： a4學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為n 的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在50，60）元的同學(xué)有30 人，則 n 的值為（）a

9、100b1000c90d900解：由頻率分布直方圖得支出在50，60）元的同學(xué)所占頻率為：1（ 0.01+0.024+0.036） 100.3，支出在 50，60）元的同學(xué)有30 人，n100故選： a5已知 alog32，b ln2，c0.50.2，則 a，b，c 的大小關(guān)系為（）aacbbabccbc adca b解：，log23 log2e1，且 0.50.20.501，abc故選： b6已知三棱錐pabc 中，pa平面 abc，abc 是邊長為3 的等邊三角形，若此三棱錐外接球的體積為，那么三棱錐pabc 的體積為（）abcd解：如圖，設(shè)底面三角形abc 的外心為g，則 ag，再設(shè)三棱

10、錐外接球的球心為o，連接 oa，og，則 og底面 abc，得 ogag，設(shè) oar，由外接球的體積為，可得r3，則 r2，則 pa 2og2三棱錐pabc 的體積為故選： d7已知雙曲線， abc 為等邊三角形若點(diǎn)a 在 y 軸上，點(diǎn) b， c 在雙曲線m 上，且雙曲線m 的實(shí)軸為 abc 的中位線， 雙曲線 m 的左焦點(diǎn)為f，經(jīng)過f 和拋物線x216y 焦點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（）abcd解：因?yàn)殡p曲線m 的實(shí)軸為等邊abc 的中位線，所以 abc 的邊長為4a，不妨設(shè)點(diǎn)b（ 2a，a）在第一象限，代入1，得1，解得 ab，所以 c2a2+b22a2，得 ca，

11、所以雙曲線m 的左焦點(diǎn)f 的坐標(biāo)為（a，0），因?yàn)閽佄锞€x216y 焦點(diǎn)為 d（ 0，4），所以 kdf，因?yàn)闈u近線的斜率為k 1，所以1 或 1（舍去），所以 a2，b2，所以雙曲線的方程為1，故選： b8已知函數(shù)f（x） sin（x+ ）（0，|），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且直線x是其中一條對稱軸，則下列結(jié)論正確的是（）a函數(shù) f（x）的最小正周期為b函數(shù) f（x）在區(qū)間 ，上單調(diào)遞增c點(diǎn)（，0）是函數(shù)f（ x）圖象的一個(gè)對稱中心d將函數(shù) f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得到g（x） sin2x 的圖象解：函數(shù)f（x

12、） sin（x+ ）（ 0，|），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為?， 4，f（x） sin（4x+）直線 x是其中一條對稱軸，4（）+k +，k z， ，f（x） sin（4x）故函數(shù) f（x）的最小正周期為，故 a 正確；當(dāng) x ，4x ，函數(shù) f（x）沒有單調(diào)性，故b 錯誤；令 x，求得f（x） 0，可得點(diǎn)（，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對稱中心，故 c 正確；將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變，可得ysin（ 2x）的圖象；再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得到g（x） sin（2x+）的圖象，故d錯誤，故選： ac9已知函數(shù)f（x），若對任意x r，f

13、（ x） |x2k|x1|0 恒成立，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是（）a（，1，+）b（，+）c（， +）d（， 12，+）解： yf（x） |x1|，在直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y f（x） |x 1|和 y |x2k|的圖象，當(dāng) 2k 1 即 k時(shí)，它們都過（1，0），當(dāng) x1 時(shí)， y|x1|1x，yf（x） |x 1| 2x2+3x1，由 1x（ 2x2+3x1） 2x24x+22（x 1）20，則有x1 時(shí)， f（x） |x2k|x1|0 恒成立，x1 時(shí)，由圖象可得f（x） |x2k|x1|0 恒成立；當(dāng) 2k即 k時(shí)，它們都過（，0），當(dāng) x，y|x|x，由于 x1 時(shí)， f（x） 0，只

14、要考慮x 1，yf（ x） |x1| 2x2+3x 1，由 x（ 2x2+3x1） 2x22x+ 2（x）20，則有x1， f（x） |x2k|x1|0 恒成立，x1 或 x時(shí)，由圖象可得，f（x） |x2k|x1|0 恒成立，則 k，時(shí)，對任意x r，f（x） |x 2k|x1|0 恒成立；當(dāng) 2k1 或 2k，即 k或 k時(shí)，由圖象平移可得，對任意x r， f（x） |x2k|x1|0 恒成立綜上可得， k 的取值范圍為k或 k故選： b二、填空題：10若復(fù)數(shù)，則 z解： z，故答案為：11二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為80解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為tr+1?（ 2）r?，令0，求得 r3

15、，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為?（ 2）3 80，故答案為：8012已知 a0， b0，且 a+b1，則的最小值為解： a0，b0，a+b1，1a+b 2， 0 ab，當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)取等號，設(shè) t， t （0，則+ab+abt+，t （0，y t+在 t （0，上單調(diào)遞減，當(dāng)t時(shí)，函數(shù)y 取得最小值為，即+ab 的最小值為故答案為：13若函數(shù)f（x） ex x 圖象在點(diǎn)（ x0，f（x0）處的切線方程為ykx+b，則 kb 的最小值為 1解：函數(shù)f（x） exx 的導(dǎo)數(shù) f（ x） ex1，可得切線的斜率為kf（x0） ex01，則切線方程為y（ ex01）（ xx0）+ex0 x0，即 y（

16、ex01）xex0 x0+ex0，因?yàn)榍芯€方程為ykx+b，所以 kex01，b ex0?x0+ex0，所以 kbex0 x01，對于函數(shù)yxex1， y ex（x+1），當(dāng) x 1 時(shí)， y 0，yxex1 遞減；當(dāng)x 1 時(shí)， y 0，yxex1 遞增故函數(shù) yxex1 在 x 1 處取得極小值，即為最小值，所以 kb 的最小值是1故答案為：114天津是一個(gè)古老與現(xiàn)代、保守與開放相融合的城市，歷經(jīng) 600 多年，特別是近代造就了中西合璧、古今兼容的獨(dú)特城市風(fēng)貌，成為國內(nèi)外游客首選的旅游圣地2021 年元月份以來，來天津游覽的游客絡(luò)繹不絕，現(xiàn)通過對來津游客問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每位游客選擇繼續(xù)游玩的

17、概率都是，不游玩的概率都是，若不游玩記1 分，繼續(xù)游玩記2 分，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立，從游客中隨機(jī)抽取3 人，記總得分為隨機(jī)變量x，則 x 的數(shù)學(xué)期望 e（x）5解： x 的可能取值為3，4，5，6，p （x3） ， p （x4） ， p （x 5） ，p（x6），所以 e（x）5故答案為： 515如圖，在abc 和 aef 中， b 是 ef 的中點(diǎn)， abef2，cacb3，若點(diǎn) h 為ca 上的動點(diǎn)，則的最小值為，若，則等于2解：，設(shè)點(diǎn)b 到 ac 的距離為h，所以，解得，所以，故故的最小值為因?yàn)?，所以，由，可得，所以故答案為：?三、解答題：16已知 abc 中，角 c 的對邊分別

18、為a，b， c，3bcosc+2csincsinb0（1）求角 c；（2）若，求 a+b 的值（3）若，求解：（ 1）由正弦定理及3bcosc+2csincsinb 0 得 3sinbcosc+2sincsincsinb0因?yàn)?sinb0，所以 3cosc+2sin2c0，即 3cosc+22cos2c0，解得 cosc或 cosc2（舍），由 c 為三角形內(nèi)角得c；（2）因?yàn)?sabc，所以 ab 4，因?yàn)?c2，由余弦定理得c2a2+b22abcosc，即 12 a2+b2+ab（ a+b）2ab（ a+b）2 4，所以 a+b4；（3）由正弦定理得，所以 sina，cosa，故 sin2

19、a2sinacosa，cos2a12sin2a，所以+17如圖，已知平面bce平面 abc，直線 da平面 abc，且 daabac（1）求證： da平面 ebc；（2）若，de平面 bce；（）求二面角abde 的余弦值；（）在直線ce（除 c、e 兩點(diǎn)外）上是否存在一m，使得直線am 與平面 bde 所成角的余弦值為，若存在，求的值；如不存在，請說明理由解：（ 1）證明：過點(diǎn)e 作 efbc 于點(diǎn) h，因?yàn)槠矫鎎ce平面 abc，又平面bce平面 abcbc，eh? 平面 bce，所以 eh平面 abc，又因?yàn)?da平面 abc，所以 adeh，因?yàn)?eh? 平面 bce，da? 平面 b

20、ce，所以 da平面 ebc；（2）（）因?yàn)閐e平面 bec，所以 deb dec ，由 abac，可知 db dc，dede， deb dec ，則 bece，所以點(diǎn) h 是 bc 的中點(diǎn)，連接ah，則 ahbc，所以 ah平面 ebc，則 deah，aheh，所以四邊形dahe 是矩形以 h 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以hb、 ha、he 所在直線為x、y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) da2a，則 e（0，0，2a），a（0，a，0），b（ a，0，0）， d（ 0，2a），（ a，a，0），（ 0，0，2a），（ a，），（ a，0， 2a），設(shè)平面 abd 的一個(gè)法向量為（ x，y，z），由，

21、得，取 y1，得（，1，0）設(shè)平面 bde 的一個(gè)法向量為（ x0，y0，z0），由，得，取 z01，得（ 2，0，1），設(shè)二面角abde 的平面角為 ，由題知是鈍角，則 cos ，則二面角abde 的余弦值為（）設(shè)，（ 0， 1），（ 1，2 ），設(shè)直線 am 與平面 bce 所成角為 ，則 sin |cos|，解得 0（舍）或所以在直線ce（除 c、e 兩點(diǎn)外）上是存在一m，使得直線am 與平面 bde 所成角的余弦值為，且18設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，且等比數(shù)列bn 的前 n 項(xiàng)和為tn，滿足 a1b12，s26，s312，b1+b23（1）求 an ， bn的通項(xiàng)公式；（2

22、）求滿足條件的最小正整數(shù)k，使得對 ?nk（n n*）不等式tn+1 sn恒成立；（3）對任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列 cn 的前 2n項(xiàng)和解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列 bn 的公比為q，由 a1b12，s26，s312，b1+b23，可得 2a1+d6，3a1+3d12，解得 a12，d2，所以 b11，b22，q2，所以 an2n，bn2n1；（2）由（ 1）可得 snn（2+2n） n2+n，tn2n1，tn+1sn即為 2nn2+n，當(dāng) n1 時(shí)， tn+1sn 2；當(dāng) 2n 4 時(shí)， tn+1sn；當(dāng) n5 時(shí)， 2n2（c +c +c） n2+n+2 n2+n，所以

23、滿足條件的最小正整數(shù)k 為 5；（ 3 ） c2n1（），所以 c1+c3+.+c2n1（+.+）（）；c2n8n?（）n，則 c2+c4+.+c2n8?+16?（）2+.+8n?（）n，（c2+c4+.+c2n） 8?（）2+16?（）3+.+8n?（）n+1，兩式相減可得（c2+c4+.+c2n） 2+8（）2+.+（）n8n?（）n+12+8?8n?（）n+1，化簡可得c2+c4+.+c2n（n+） ?（）n+1，所以數(shù)列 cn的前 2n 項(xiàng)和為（）+（n+） ?（）n+1（n+）?（）n?19已知橢圓的離心率為，以橢圓中心為圓心，長半軸長為半徑的圓被直線3x+4y+50 截得的弦長為（

24、1）求橢圓 c 的方程；（2）橢圓 c 的左頂點(diǎn)為a，右頂點(diǎn)為b，右焦點(diǎn)f，m 是橢圓位于x 軸上方部分的一個(gè)動點(diǎn)，以點(diǎn)f 為圓心，過點(diǎn)m 的圓與 x 軸相交，交點(diǎn)t 在 f 右邊，過點(diǎn)b 作 x 軸的垂線l 交直線 am 于點(diǎn) n，過點(diǎn) f 作直線 femt，交直線l 于點(diǎn) e，判斷是否為定值，并給出證明解：（ 1）由題意可得：，解得：，則橢圓方程為：（2）設(shè)直線 am 的方程為yk（x+2），聯(lián)立直線方程和橢圓方程可得（4k2+3）x2+16k2x+16k2- 120，由可得，以 f 為圓心， |fm |為半徑的圓為，聯(lián)立可得，線段 mt 的中垂線為：y2k（x- 1），又，所以 e 為線段 bn 中點(diǎn)，20已知函數(shù)f（x） xex1a（x+lnx）， a r（1）當(dāng) a1 時(shí)，求函數(shù)f（x）的單減區(qū)間；（2）若 f（x）存在極小值，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；（3）設(shè) x0是 f（x）的極小值點(diǎn)，且f（ x0） 0，證明： f（x0） 2（x02x03）解：（ 1）a1 時(shí)， f（x） xex1 xlnx，f（x）的定義域是（0