2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.4空間直角坐標(biāo)系學(xué)案(含解析)新人教B版必修2

1、I在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作Mx,y,z），其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M2.4空間直角坐標(biāo)系2.4.1 空間直角坐標(biāo)系2.4.2 空間兩點(diǎn)的距離公式-學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航-1了解空間直角坐標(biāo)系的建系方式.（重點(diǎn)）2.能在空間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo)和已知坐標(biāo)作出點(diǎn).（重點(diǎn)）3.理解空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過(guò)程和方法.（重點(diǎn)）4掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式，能夠用空間兩點(diǎn)間距離公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.（難點(diǎn)）k_ ；基礎(chǔ)初探 教材整理 1 空間直角坐標(biāo)系閱讀教材 P106Pl07練習(xí)”以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題.1 空間直角坐標(biāo)系疋義以空間中兩兩垂直且相交于一點(diǎn)0的二條直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，這時(shí)就

2、說(shuō)建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz,其中點(diǎn)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo) 軸.通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為xOy平面、yOz平面、zOx平面畫(huà)法在平面上畫(huà)空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使/xOy135 ，/yOz= 90圖示llj說(shuō)明本書(shū)建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系，即在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指 向.軸的正方向，食指指向yj由的正方向，中指指向z軸的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐 標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系2.空間中一點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可用有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫做點(diǎn)M階段1認(rèn)知預(yù)習(xí)質(zhì)疑知識(shí)梳理要點(diǎn)初探2的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).- 做休

3、驗(yàn)0判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“x”)Ox軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0，b，c).()yOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可寫(xiě)成(0 ,b,c).()Oz軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)可記作 (0,0 ,c).()xOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,0,c).()【解析】(1)錯(cuò)誤.x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)是縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)都為0.、正確.【答案】x(2)V(3)V(4)V教材整理 2 空間兩點(diǎn)間的距離公式閱讀教材 P108內(nèi)容，完成下列問(wèn)題.1.點(diǎn)F(x,y,z)到坐標(biāo)原點(diǎn)00,0,0)的距離 IOp= ,x2+y2+z2.2 .任意兩點(diǎn)F(X1,y1,乙),P2(%,y2,z間的距離|FP2I =2 2 2(X1X2) + (y1

4、y2) + (Z1Z2).- 微休驗(yàn)-在空間直角坐標(biāo)系中，A 1,2,3),巳 2,1 ,m),若|AB=00，則m的值為【解析】|AB= ( 1 2)2+ (2 1)2+ (3 m2=110,(3 m)2=100,3 m= 10. m= 7 或 13.【答案】7 或 13小組合作型上，且C&*CD H為GG的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出E、F、G H的坐標(biāo).【精彩點(diǎn)撥】要求點(diǎn)的坐標(biāo)，需求得橫、縱、豎坐標(biāo)的值，即確定出所求點(diǎn)的坐標(biāo).【自主解答】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn)E在z軸上，它的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)(1) 在空間直角坐標(biāo)系中，在(2) 在空間直角坐標(biāo)系中，在(3) 在空間直角坐

5、標(biāo)系中，在(4) 在空間直角坐標(biāo)系中，在階段2合作探究通關(guān)在棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCDABCD中，E、F分別是DD BD的中點(diǎn),G在棱CD3點(diǎn)G在y軸上，其x、z坐標(biāo)均為 0，又GD=寸，故G點(diǎn)坐標(biāo)為 0,30 .由H作HK1CG于K,由于H為CG的中點(diǎn)，故H22C28.0,i 建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則（i）讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi);（2）充分利用幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性.2.求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找出這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個(gè)坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影（或者通過(guò)它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號(hào)）,確定第三個(gè)坐標(biāo).再練一題1.在棱長(zhǎng)都為 2 的正三棱柱ABC

6、ABC中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出三棱柱ABCABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：45722118】【解】 取BC BC的中點(diǎn)分別為O O,連接OA OO,均為 0,而E為DD的中點(diǎn)，故其坐標(biāo)為由F作FMIL AD FNL DC由平面幾何知FN=*， 貝U F點(diǎn)坐標(biāo)為12,名師j4根據(jù)正三棱柱的幾何性質(zhì)，OA OB OO兩兩互相垂直，且OA?x2= 3 ,以O(shè)A OB OO所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,5則正三棱柱ABCABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:A3, 0,0) ,B(0,1,0) , qo, 1,0) ,Ai( 3, 0,2) ,B(0,1,2) ,C(0，

7、- 1,2).求空間對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)仞在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P( 2,1,4).(1) 求點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) 求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M2 , 1, 4)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【精彩點(diǎn)撥】對(duì)照空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)的規(guī)律直接寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo).【自主解答】(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為R( 2, 1, 4).(2) 由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱(chēng)后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為F2( 2,1 , 4).(3) 設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P3(x,y,z)，則點(diǎn)M為線(xiàn)段PF

8、的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x= 2X2 ( 2) = 6,y=2X(1)1= 3,z=2X(4)4=12,所以F3的坐標(biāo)為(6 , 3, 12).任意一點(diǎn)P x,y,z，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是P1x, y, z;關(guān)于x軸 橫軸 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是P2x,y,z;關(guān)于y軸 縱軸 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是P3x,y,z;關(guān)于z軸 豎軸 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是Rx, y,z;關(guān)于xOy平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是P5x,y, z； 關(guān)于yOz平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是Rx,y,z;關(guān)于xOz平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是P7x, y,z I ,求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的問(wèn)題可以用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)，誰(shuí)保持不變，其余坐標(biāo)相反”的口訣來(lái)記憶再練一題2.已知M2,1,3),求M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)M,M關(guān)于

9、xOy平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)M,M關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)M,M.【解】 由于點(diǎn)M與M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以M( 2, 1, 3);點(diǎn)M與M關(guān)于xOy平 面對(duì)稱(chēng)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以M(2,1 , 3) ;M與M關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，貝 UM的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，即M(2, 1, 3),同理M( 2,1 , 3).探究共研型探究 1 已知兩點(diǎn)P(1,0,1)與Q4,3 , 1)，請(qǐng)求出P、Q之間的距離.6【提示】 |PQ= (1 4)2+ (0 3)2+ (1 + 1)2= 22.探究 2 上述問(wèn)題中，若在z軸上存在點(diǎn) M 使得|MP=|MQ，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).【提

10、示】 設(shè)M0,0 ,z)，由 IMP=|MQ,得(1)2+ 02+ (z 1)2= 42+ 32+ ( 1 z)2,z= 6. M0,0 , - 6).例如圖 2-4-1 所示，在長(zhǎng)方體ABCDABGD中，|AB= |AQ= 3, |AAi| = 2，點(diǎn)M在AC上，|MQ= 2|AM,N在DC上且為DC的中點(diǎn)，求線(xiàn)段MN勺長(zhǎng)度.IDD|=|CC|=|AA|=2,C(3,3,2),D(0,3,2),/ N為CD的中點(diǎn),N2,3, 1 .M1,1,2).由兩點(diǎn)間距離公式,|MN=2 1 + (3 1)2+ (1 2)2=利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題的一般步驟為:【精彩點(diǎn)先建立空間直角坐標(biāo)

11、系，求出點(diǎn)M N的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.【自主解如圖所示，分別以AB AD, AA所在的直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)由題意可知 Q3,3,0),D(0,3,0)M是AC的三分之一分點(diǎn)且靠近A點(diǎn),2_21：2 .DC圖 2-4-17的空間直角坐標(biāo)系.C q=|CB= |CA= 2,40,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),B(0,2,2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,D( 1 ,1 ,0) ,E(0,1,2) ,F( 1 ,0,0),IDE = ,(1 0)2+ (1 1)2+ (0 2)2= 5, |EF =/(0 1)2+ (1 0)2+ (2 0

12、)2=6.1.點(diǎn)A1,2,1）在x軸上的投影點(diǎn)和在xOy平面上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（）A. ( 1,0,1) , ( 1,2,0)再練一題3.如圖分別是棱AB【解2-4-2 所示，直三棱柱ABGABG中，|Gq= |CB= |CA= 2,ACL CB D, EB C的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn), 求DE EF的長(zhǎng)度.沁:以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA CBCC所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示階段3體驗(yàn)落實(shí)評(píng)價(jià)課堂回饋 即時(shí)達(dá)標(biāo)）4圖 2-4-28B. ( - 1,0,0) , ( - 1,2,0)C. ( - 1,0,0) , ( - 1,0,0)D. ( - 1,2,0) , ( - 1,2,0)

13、【解析】 點(diǎn)A( - 1,2,1)在x軸上的投影點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 1,縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為 0,故為(1,0,0)，點(diǎn)A- 1,2,1)在xOy平面上橫、縱坐標(biāo)不變且豎坐標(biāo)是 0，故為(1,2,0)【答案】 B2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,4,5)與Q3 , - 4,- 5)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是()A. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)B. 關(guān)于xOy平面對(duì)稱(chēng)C. 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D. 以上都不對(duì)【解析】 點(diǎn)P(3,4,5)與Q3 , - 4,- 5)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，而縱、豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以?xún)牲c(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).【答案】 A3._已知A(3,2 , -4) ,B(5 , - 2,2)，則線(xiàn)段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為 _ .【導(dǎo)學(xué)號(hào)：45722119】【解析】 設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo,zo),3 + 52 2 4+ 2貝Ux= = 4,y= = 0,Z0=2= - 1,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0 , - 1).【答案】 (4,0 , - 1)4. 設(shè)A(4 , - 7,1) ,B(6,2 ,z), |AB= 11,則z=_.【解析】 由 |AB=(6 - 4)2+ (2 + 7)2+ (z- 1)2= 11 ,解得z= 7 或5.【答案】 7 或-55