2020屆中考數學復習難題訓練：《銳角三角函數》(含答案)

1、2020屆 中考復習銳角三角函數難題訓練（一）一、選擇題1.如圖，在?中，? = ? ， mn 是邊 bc 上一條運動的線段(點 m 不與點 b重合，點 n 不與點 c 重合 )，且 ?=12?，? 交 ab于點 d，? ?交 ac 于點e，在 mn 從左至右的運動過程中，設? = ? ，?的面積減去 ?的面積為y，則下列圖象中，能表示y 與 x 的函數關系的圖象大致是()a. b. c. d. 2.一個正方體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示： ? =90 ，正方形defh 的邊長為 1m，? = 4?，? =8?. 當正方形defh 運動到某位置，使得?2=?2+ ?2，此時 ae的長為 ()

2、?a. 4916b. 4c. 17d. 2 33.如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形” .若? ?是“好玩三角形”，且? = 90度， ? ?，則 tan ?= ()a. 22b. 32c. 23d. 334.縉云山是國家級自然風景名勝區(qū)，上周周末， 小明和媽媽到縉云山游玩，登上了香爐峰觀景塔，從觀景塔底中心 d 處水平向前走14 米到點 a 處，再沿著坡度為0.75的斜坡 a 走一段距離到達b 點，此時回望觀景塔，更顯氣勢宏偉， 在 b 點觀察到觀景塔頂端的仰角為再往前沿水平方向走27 米到 c 處，觀察到觀景塔頂端的仰角是，則觀景塔的高度de 為()

3、( 參考數據：，a. 21 米b. 24 米c. 36 米d. 45 米5.如圖， 在反比例函數?=32?的圖象上有一動點a，連接ao并延長交圖象的另一支于點b，在第二象限內有一點 c，滿足 ? = ? ，當點 a運動時，點c 始終在函數?=?的圖象上運動，若tan ?= 2，則 k 的值為()a. b. c. d. -126.如圖， 在等腰直角三角形?中， ? = 90，? = 6，d 為 ac 上一點，若 tan ?=15，則 ad 的長為 ()a. 2b. 2c. 1d. 2 27.如圖， 直線 ?=12? + 1與 x 軸、y 軸分別相交于a、b 兩點，p 是該直線上的任一點，過點 ?

4、(3,0)向以 p 為圓心，12? 為半徑的 ? 作兩條切線， 切點分別為e、f，則四邊形 pedf 面積的最小值為()a. 54 3b. 5c. 2 5d. 52 3二、填空題8.如圖，在矩形abcd 中，? = 6，以點 c 為圓心，以cb 的長為半徑畫弧交ad 于e，點 e 恰好是 ad 中點，則圖中陰影部分的面積為_.( 結果保留 ?)9.如圖 ?中， ?= 90 ， ? 是?的外接圓， e 為 ? 上一點，連結ce，過 c 作? ?，交 be 于點 d，已知 ?=，? = 2，? = 5，則tan ?= _10.如圖，在平面直角坐標系中，矩形 oabc 的頂點 a、c 分別在 x 軸

5、的負半軸、 y 軸的正半軸上，點b 在第二象限 將矩形 oabc 繞點 o 順時針旋轉， 使點b 落在 y 軸上，得到矩形odef ，bc 與 od 相交于點?.若經過點m 的反比例函數 ?=?(? 0) 的圖象交 ab 于點 n，?矩形?= 32，tan ?=12，則 bn 的長為 _11.如圖， 15 個形狀大小完全相同的菱形組成網格，菱形的頂點稱為格點已知菱形的一個角為 60 ，a、b、c 都在格點上，點d 在過 a、b、 c 三點的圓弧上，若e也在格點上，且?= ?，則 cos?= _12.如圖，在正方形abcd 中，? = 2 3， 把邊 bc 繞點 b 逆時針旋轉 30得到線段bp

6、，連接ap并延長交cd于點e，連接pc，則 ?的面積為13.如圖，在 ?中， ?= 60 ，d 是邊 ab的中點， e 是邊 bc 上一點若de平分 ?的周長，且? = 3，則 ac 的長是 _ 14.如圖，在平面直角坐標系中，矩形oabc 的頂點 a、c 分別在 x軸的負半軸、y 軸的正半軸上，點b 在第二象限將矩形oabc 繞點 o 順時針旋轉，使點b 落在 y軸上，得到矩形odef ，bc 與 od 相交于點 ?.若經過點m 的反比例函數 ?=?(?0)的圖象交ab 于點 n，?矩形?= 32，tan ?=12，則 bn 的長為 _15.如圖，現有一塊四邊形的木板余料abcd，經測量 ?

7、 =25? ， ? = 54? ， ? = 30? ，且 ?= ?=43，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點m、n 在邊 bc 上且面積最大的矩形pqmn ， 則該矩形的面積為_三、解答題16.如圖，已知ab 是 ? 的直徑，點m 在 ba 的延長線上， md 切 ? 于點 d，過點 b作? ? 于點 c，連接 ad 并延長，交bn 于點 n(1) 求證： ? = ? ；(2) 若 ? 半徑的長為3，?=25，求 ma 的長17.已知，如圖，在?中， ?= 90 ， ? = 60 ，? = 2， ?= 30 (1) 如圖 1， ?的邊 ? ，邊 on 過點 c，求 ao 的長；(2) 如圖 2，

8、將圖 1 中的 ?向右平移， ?的兩邊分別與 ?的邊 ac、bc相交于點e、f，連接 ef，若 ?是直角三角形，求ao 的長；(3) 在(2) 的條件下， ?與?重疊部分面積是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由18.交通安全是社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載某中學八年級數學活動小組的同學進行了測試汽車速度的實驗如圖， 先在筆直的公路1旁選取一點p，在公路 1 上確定點o、b，使得 ? ? ，? = 100 米， ?= 45.這時，一輛轎車在公路1 上由 b 向 a 勻速駛來，測得此車從b 處行駛到 a 處所用的時間為3秒，并測得 ?= 60.此路段限速每小時80

9、 千米， 試判斷此車是否超速？請說明理由 (參考數據： 2 = 1.41， 3 = 1.73)19.如圖，在矩形abcd 中， e 是 ad 的中點，以點e 為直角頂點的 ? ?的兩邊ef，eg 分別過點b，c， ? = 30 (1) 求證： ? = ?；(2) 如圖 2，將 ?繞點 e 按順時針方向旋轉，當旋轉到ef 與 ad 重合時停止轉動，若 ef，eg 分別與 ab，bc 相交于點m，n 求證： ? ?； 若? = ?，求當 ? 面積最大時， k 的值； 當旋轉停止時，點b恰好在 fg 上(如圖 3)，求 sin ?的值20.如圖，?(5,0)， ?(3,0)， 點c在y軸的正半軸上，

10、 ?= 45 ， ?/?， ?= 90.點p從點?(-4,0)出發(fā)，沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度運動，運動時間t秒(1) 求點 c 的坐標；(2) 當 ?= 15 時，求 t 的值；(3) 以點 p 為圓心， pc 為半徑的 ? 隨點 p 的運動而變化，當 ? 與四邊形 abcd的邊 (或邊所在的直線) 相切時，求t 的值21.【探索發(fā)現】如圖 ，在銳角 ?中， ? 、 ? 、 ?的對邊分別是a、b、c，過a 作? ?于 d。求證：?sin?=?sin??！绢惐纫辍客砜勺C：?sin?=?sin?,?sin?=?sin?，所以?sin? =?sin?=?sin?即：在一個三角形中，各邊

11、和它所對角的正弦的比相等。在銳角三角形中，若已知三個元素 (至少有一條邊)，運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素如圖 ，?中， ? = 45 ，? = 75 ，? = 60，則 ? = _；? = _?！纠斫鈶谩咳鐖D ，甲船以每小時30 2海里的速度向正北方向航行，當甲船位于?1處時，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 ?1處，且乙船從?1處按北偏東 15 方向勻速直線航行，當甲船航行20 分鐘到達 ?2時，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 ?2處，此時兩船相距 10 2海里求乙船每小時航行多少海里？圖答案和解析1.a 解：過點a 作? ? ，交 bc 于點 h，? = ?

12、，? = ? =12? ， ? = ?，設 ?=12? ， ? = ? = ? ，則 ?= ? ，? = ? -?- ?= 2?-?- ?= ?- ? ，?= ?= ?， ? = ?= ?， ? = ? ?= (?-?)?，?= ?- ?=(2?- ?)= ?-均為常數，故上述函數為一次函數，2.a 解：如圖，連接cd，設 ? = ? ，可得 ? = 8 - ? 正方形 defh 的邊長為1 米，即 ? = 1米，?2= ?2+ ?2= 1 + (8 - ? )2，?2+ ?2= ?2+ 16，?2= ?2+ ?2，1 + (8 - ?)2= ?2+ 16，解得： ?=4916，所以，當 ?

13、=4916米時，有 ?2= ?2+ ?23.b 解：如圖， ? ? ， 只有 bc 邊上的中線， 滿足條件， ? = ? ，設? = ? = ? 則 ? = 2? ，? = ? ，? = 2? ， ? = 90 ， ?= 30 ，? = 3? ，?=?= 324.a 解：作 ? ? 于 g，? ? 于 f，設 ? = 3? ，? 坡的坡度為 0.75，? = 4? ，? = 4?+ 14，? = 4?+ 41， ?= 45 ，? = ? = 4?+ 14，在 ?中， ?=?，即4?+144?+41= 0.4，解得， ?= 1，? = 3?+ 4?+ 14 = 21( 米) ，5.b 解：如圖，

14、連接oc，過點 a作? ? 軸于點 e，過點 c 作? ? 軸于點 f， 由直線 ab與反比例函數 ?=32?的對稱性可知a、b 點關于 o 點對稱，? = ? 又 ? = ? ，? ? ?+ ?= 90 ， ?+ ?= 90 ， ?= ?，又 ?= 90 ，?= 90 ， ? ?，?=?=?，tan ?=?= 2，? = 2? ， ? = 2? 又 ? ? =32，? ? = |?| ，?= 6 點 c 在第二象限，?= -6 ，6.a 解：作 ? ? 于 e 點，如圖，tan ?=15=?，? = 5? ， ?為等腰直角三角形， ? = 45 ，? = ? ? = 5? ，又 ? = 6，

15、? = 6? + ? = 5? + ? = 6，? = 2， 在等腰直角 ?中，由勾股定理，得? = 2? = 27.a 解：如圖，連接dp， 直線 ?=12?+ 1與 x 軸、 y 軸分別相交于a、b 兩點，當 ? = 0時， ?= 1，當 ?= 0時， ?= -2 ，?(-2,0) ， ?(0,1)，? = 22+ 12= 5， 過點 ?(3,0)向以 p 為圓心，12? 為半徑的 ? 作兩條切線，切點分別為e、f，? = ? ，? ? ，? = ? ，? = ? ， ? ?(?)，? 的半徑為 52，? =?2- (52)2，當 ? ? 時， dp 最小，此時? = ? ?sin ?=

16、5 55= 5， 四邊形 pedf 面積 = 2?= 2 12? ? = 52? ， 四邊形 pedf 面積的最小值為52( 5)2- (52)2=5348.6?+932解：如圖，連接ec在 ?中， ? = 90 ，? = ? = 2? ， ?= 30 ， ?= 90 ， ?= 60，? = ? = 6，? = 3，? = 3 3 ，9.13解：連接ae，tan ?=12， 設? = 2?，? = ?，? = 5? = 2 10，? = 2 2，? = 4 2，? = 2 2， ?= ?，tan ?=12，? = 5，同理求得 ? = 5，? = 2 5， ?+ ?= ?+ ?= 90 ， ?

17、= ?， ?+ ?= ?+ ?= 180 ， ?= ?， ?= ?， ? ?，?=?= 2， 設? = ? ，? = 2? ，? 是 ? 的直徑， ?= 90 ，?2+ ?2= ?2，(2?)2+ (5 + ?)2= (2 10)2，?= 1(負值舍去)，? = 2，? = 6，tan ?= tan ?=?=26=1310.3 解： ?矩形?= 32，? ? = 32， 矩形 oabc 繞點 o 順時針旋轉，使點b 落在 y 軸上，得到矩形odef ，? = ? ，? = ? ，在 ?中， tan ?=?=12，即 ? = 2? ，? ?2? = 32 ，解得 ? = 4，? = 4，? =

18、8，在 ?中， tan ?=?=12，而 ? = ? = 4，? = 2，?(-2,4) ，把 ?(-2,4) 代入 ?=?得?= -24 = -8 ， 反比例函數解析式為?= -8?，當 ? = -8 時， ?= -8-8= 1，則 ?(-8,1) ，? = 4 - 1 = 311.12解：在圖中標上點m、e，連接 bm， 四邊形 amcb 為菱形，? ? ，bm 平分 ac ?= 60 ， ?為等邊三角形，? = ? ， 點 m 為圓弧的圓心? = ? ， 以點 m 為圓心 am 長度為半徑補充完整圓，點e 即是所求，如圖所示? 所對的圓周角為?、?， 圖中所標點e 符合題意 四邊形 ?為

19、菱形，且 ?= 60 ， ?為等邊三角形，cos ?= ?60 =1212.9 - 5 3解： 四邊形 abcd 是正方形， ?= 90， 把邊 bc 繞點 b 逆時針旋轉 30得到線段bp，? = ? = ? ， ?= 30， ?= 60， ?是等邊三角形 ?= 60， ? = ? = 2 3，在 ?中， ? = 2 3，?= 30，? = 4，? = 2，? = 2 3 - 2，? = 4 -2 3如圖，過點p 作 ? ? 于點 f，? =32? = 2 3 - 3， ?的面積為12? ? =12(2 3 - 2) (2 3 - 3) = 9 -5 313.2 解：延長 bc 至 m，使?

20、 = ?， 連接 am，作? ? 于 n，? 平分 ?的周長，? = ? ，又 ? = ? ，? =12? ，?/? ，? = 2 3， ?= 60 ， ?= 120 ，? = ? ， ?= 60 ，? = ?= 3，sin ?=?，14.3 解：?矩形?= 32，? ? = 32， 矩形 oabc 繞點 o 順時針旋轉，使點b 落在 y 軸上，得到矩形odef ，? = ? ，? = ? ，在 ?中， tan ?=?=12，即 ? = 2? ，? ?2? = 32 ，解得 ? = 4，? = 4，? = 8，在 ?中， tan ?=?=12，而 ? = ? = 4，? = 2，?(-2,4)

21、 ，把 ?(-2,4) 代入 ?=?得?= -24 = -8 ， 反比例函數解析式為?= -8?，當 ? = -8 時， ?= -8-8= 1，則 ?(-8,1) ，? = 4 - 1 = 315.486?2解：如圖2，延長 ba、cd 交于點 e，過點 e 作? ? 于點 h，?= ?=43， ? = ?，? = ? ，? = 108? ，且 ? ?，? = ? =12? = 27? ，?=?=43，? =43? =4327 = 36? ，在 ?中， ? = ?2+ ?2= 45? ，? = 25? ，? = 20? ，? 的中點 q 在線段 ab 上，? = 30? ，? = 15? ，?

22、 的中點 p在線段 cd 上，中位線pq的兩端點在線段ab、cd上，?/?， ? ?，?=?，即?54=?-?，? = 54 - 2? ，設 ?= ? ，則 ?矩形?= ? ?= ?(54- 2?)= -2?2+ ? = -2(? -272)2+7292， 當? =272時， ?矩形 ?最大值為， 矩形 pqmn 的最大面積為14? ? = 486?2，答：該矩形的面積為486?216.(1) 證明：連接od，? 切 ? 于點 d，? ? ，? ? ，?/? ， ?= ? ，? = ? ， ?= ?， ?= ? ，? = ? ；(2) 解：由 (1)?/? ， ?= ?，cos ?= ?=25

23、，在 ? 中， cos?=?，? = ? ，?= ? + ? = 3 + ? ，33+?=25，? = 4.517.解： (1) ?= 30 ，? ， ?= 60 ， ? = 60 ， ?是等邊三角形，? = 2，? = 2，在 ?中， ?= 90 ，? = 60 ，? = 2，? = 4，? = ? -? = 2；(2) ?= 90 ，設 ? = ? ，根據題意得 ? = 4 -? ，? = 3?3， ? = 4 - ? ，?= 32，?=125， ?= 90 ，設 ? = ? ，根據題意得? = 4 - ? ，? = 3?3，? = 4 - ? ，?= 32，?=83， ?是直角三角形時，

24、ao 長為125或83；(3) 設? = ? ，根據題意得? = 4 - ? ， ? =33，設重疊部分的面積為s，根據題意得：?= ?-?-?，?= 2 3 -12? 3?3- 34(4 - ?)2，整理得： ?= -5 312?2+ 2 3? - 2 3，?= -5312 80千米 / 小時， 此車超速19.(1) 證明：如圖1中， 四邊形 abcd 是矩形，? = ? ， ? = ? = 90 ，? 是 ad 中點，? = ? ， ? ?，? = ? (2) 解：如圖2 中，由 (1) 可知， ?是等腰直角三角形， ?= ?= 45 ， ?= ?= 90 ， ?= ?= 45 ， ?=

25、?= 90 ， ?= ?，? = ? ， ? ?；?為等腰直角三角形 ? ?=12?2作 ?于點 h 易證： ?(?)?四邊形 ?= ?四邊形 ?當 s?最小時 s?最大當 me 最小時即 ?= ?，即 ?= 1； 解： 如圖 3 中， 作? ? 于?. 設? = ?， 則 ? = 2?， ? = ? = 3?， ? = 6?.? = ?+ 3? = (1 + 3)?，?=12? ? =12? ? ，? = 3?(1+ 3)?2?=3+ 32?，在 ?中，sin ?=?=3+32? 6?= 6+ 2420.解： (1) ?(5,0)， ?(3,0)，? = 5，? = 3， ?= 45 ，?

26、= ? = 3， 點 c 的坐標 (0,3) ；(2) 當 p 在點 b 的左側時， ?= 45 ， ?= 15 ?= ?- ?= 45 -15 = 30 ，? = 3，? = 33? =3，?(-4,0) ， ? = 3 + 4， 點 p 沿 x 軸向右以每秒2 個單位的速度運動，? = 3+42， 當 p 在點 b 的右側時， ?= 45 ， ?= 15 ， ?= ?+ ?= 45 + 15 = 60 ，? = 3，? = 3? = 3 3，?(-4,0) ， ? = 3 3 + 4， 點 p 沿 x 軸向右以每秒2 個單位的速度運動，? =3 3+42，綜上所述當 ?= 15 時， t的值為3+42或33+42；(3) 如圖 1，當 ? ?時， ? 與 bc