數(shù)學(xué)初高中銜接(整式)

1、整式的變形是重要的代數(shù)式的恒茅變形，也是高中數(shù)學(xué)中極其常見的運算.高中生計算能力差，符號(字母)運算錯誤率高是一個普遍問題.我們在初中階段已經(jīng)了解整式的概念，會進行簡單的整式加' 減運算，乘法運算(其中的多項式相乘僅指一次式相乘)；會利用平方差、完全平方公式進行簡單計算；會用提 公因式法、公式法(直接用公式不超過二次)進行因式分解(指數(shù)是正整數(shù)).根據(jù)高中學(xué)習(xí)的需要，我們還將學(xué)習(xí)一些靳的乘法公式，因式分解的新方法，對于要 分解的因式也不限于二次多項式.i希望同學(xué)們對“配方法”與“待定系數(shù)法”這兩種基本方法有一定的認(rèn)識.而對整式 j 的恒等變形，應(yīng)注意加強高次多項式運算的練習(xí)，提高計算能

2、力.°修豹識拔理1. 整式單頊?zhǔn)胶投検浇y(tǒng)稱整式.2. 整數(shù)指數(shù)茶正霍數(shù)指= a a -a (“為正fitt).0整數(shù)指數(shù)需：o° = 1(0 * 0)負(fù)整數(shù)指數(shù)需：=n為正整敦).a整教指好的運算性質(zhì)：丁宀嚴(yán)：(2)宀宀嚴(yán)；(3)胡=亍b”； (4)” =務(wù)(5)(獷)”=產(chǎn).(以上a、b都不為0嘰n都為整救)注：高中將學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)歩.3.乘法公式(1) 平方差公式:(a + b)(a-b)二(2) 完全平方公式：a±b=a2±labb2我們還需要掌握的乘法公式：(1) 立方和公式：(a + b)(/- +，)= /+/*(2) 立方差公式：(a-b)

3、3+ +，)= /-幾(3) 三數(shù)和平方公式：(a + b + c)2 =a2 +b2 +c2 + 2ab-i-2bc + 2ac :(4) 兩數(shù)和立方公式：+戻+3駁+力幾(5) 兩數(shù)差立方公式：(a- b)3 = a3-b3- 3a2b + 3ab2 以上公式均可以通過證明得到.4 因式分解把一個多項式化成幾個益式的枳的形式.這種變形叫做把這個多項式分解因式.因式分解與整式乘法是 互連的.除了初中學(xué)習(xí)的提公因式法、公式法.還應(yīng)拿握以下方法：(1) 分組分解法；(2)十字相乘法：(3)求根法：(4)待定系數(shù)法.分解因式時要靈活運用各種方法.并且要把每一個多項式因式分解到不能再分解為止例如t

4、- 4 = & + 2x* - 2）是不夠的.應(yīng)該為丘-4 = x + 2xx + v2）（x-方）【例1】已知求(x+lxp*+0(-疋+ 1)(疋1)"屮的值分析先化簡，后求值是解決這類問題的一般作法.但如果展開再化簡顯然太麻煩，觀察發(fā)現(xiàn)可用隸法 公式解決.【例 1】解：原式=(x3+1)(x6-x3+1)(x9-1)-2w=(+1)(-1)-218= x18-1-218 y 。 人二原式=一 1 評注在計耳過強中.要注念整數(shù)扌旨數(shù)*的運算法則. 如果(x- 2)5 = ax5 +bx° + c? + 卅 + 飯+ f ,那么 a+ b+ < + / +

5、& + f 的值為多少？i將x = l代入等式的兩邊，等式仍然成立./. (1-2)5 =a l5+d l4+c 13+ l2+e 1 + /, !忙越補充分解因式的幾種方法：1. 分組分解法對于一個名頊?zhǔn)降恼w若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時可考慮分步處理的方法. 即把這個多項式分成幾組.先對各組分別分解因式.然后再對整體作因式分解.如 4r + 2r-少'一 列=(4x，(lx- 3y)= (2x+ 3y)(2x 3y) + (2r- 3)0= (2r+ 3y+ 1x»一 3y)2. 十宇相乘法一般地，對于二次三項式d + fcc + c(amo),

6、如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)z枳.即"血， 常教頊c可以分解成兩個因敦z積，即c = do.把a】，g ci. g排列如下：ac2a2c按斜線交叉相乘，再相加得到66 +殍1若它正好尊于二次三項式flt + hr + c的一次項系數(shù)b.即 。16 +好1 =亠 那么二次三項式就可以分解為兩個因式apr+g與之積.即ax2bx+c=(axx+ci)(pyx + c?)像這種借助畫十字交叉線分解系數(shù).從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法通常叫做十字相乘法.3. 求根法若&+fex + c = o0h 0)有兩個實數(shù)根兀、x,.則二次三項式ax2 +&v + c就可

7、分解為a(x-兀)(兀-切(參 考第五章)【例2】分解因式：(1) 3丘 8x-3i(2) p-5 弓+ 6尸|(3) 2? - 7 + 6y2 + 2x-y -12 .【分析這兒個題用捉公因氏法和公瓦法都不太容易.不妨*慮十字相柬法.分紐分解法.求根法.待定 系數(shù)法等等.第(3)題可將多項式看成變量x的二次式.【例：解：(1)法一(十字相乘法)：把二次頊的系數(shù)3分解成1. 3兩個因數(shù)的積.常數(shù)項一3分解成-3. 1兩個因數(shù)的積.當(dāng)我們把1. 3、-3. 1寫成后.發(fā)現(xiàn)lxl+3x(-3)正好等于一次項的系教-8. 3x2 - 8 3 = (x-3x3x+1) 法二(求根法)：令3*-歐-3=

8、0解得方程有兩根x1 = 3,x2 = -|.【例2】分解因式：(1) 3v-8x-3 |(2) x2-5x + 6/|(3) 2?-7 + 6/+2x-y-12 .【分析這幾個越用捉公因瓦法和公氏法都不太客妨.不妨才慮十字枷東法.分紐分解法.求根法.待定 系軟法等等.第（3）題可將多項式看成變量x的二次式.（2）法一（十字相乘法）：不妨將y看作常數(shù).該式可視為關(guān)于x的二次三項式x + 6y把二 次項的系數(shù)1分解成1. 1兩個因數(shù)的枳.常數(shù)頂印'分解成-3）兩個因式的積.當(dāng)我們把1. 1.后.發(fā)現(xiàn)-3y + (-2刃=-5兒 x2 - 5xp + 6“ = (x- 2y)(x- 3y)

9、 法二(分組分解法)：原式=(丘坷)(3xy-6/)=x(x-2y)-3xx-2y)= (x-3y)(x-2j).（3）法一（十字相乘法）：原式=2x2+（2-7y）x + （6/-y-12）,將該式視為關(guān)于x的二次三項式. 把二次項的系數(shù)2分解成1. 2兩個因數(shù)的枳.常數(shù)項6/-j-12分解成-（邛，-3）.-"4）兩個因式的積$當(dāng)我們把1, 2, -（2丁_3）. -（3丁 + 4）寫成1/ -(2y-3)-(3y+4)后.發(fā)現(xiàn)_(3丁 + 4)_畑_3)=2_7八 2x2 - 7 + 6y2 + 2x- y - 12 = (x-2y + 3x2x-3y-4) 法二(待定系數(shù)法)

10、：由 2x2 - 7x>» + 6y2 = (x- 2y)(2x- 3y).因此設(shè) 2x3-7>y + 6/ + 2x-y-12= (x-2y + a2x- 3y + b),則lx2 - 7xv + 6y2 + 2x - - 12 = zx2 - 7切 + 6y2 + (n + b)x - (3a+ 2d)y + ab .2a + d=2,比較兩邊對應(yīng)系數(shù)，得l(3a + a) = -1,解之，得a=3,d = -4.az? = -12b原式=(x_ s + 3)(2x_ 3y _ 4) 評注用十字相乘法把形如corbxc的二次三項式分解因無時應(yīng)注意/、c2中.豎向的兩個

11、數(shù)必須滿足關(guān)系aia2 = a, cc2 = c.斜向的兩個數(shù)必須滿足關(guān)系ac2 + aci = b.分解思路為“看兩端，湊中勞一驗、丁可取任何實數(shù),“待定系數(shù)法.和鋁分組分解法円也是分解因式的重要方法那么x2 + 4y2 - 4» + 2x- 4y + 3的最小值是多少?法一：v k = (x- 2j02 + 2(x- 2>9 + 3 = (x- 2y +1)2 + 2 , /.當(dāng) x-2y + l=0 時，原式有最小值 為 2.法二：由 x2 +4y2 -4 = (x- 2y)2，設(shè) x2 + 4;-3-4x)'+ 2x-4y= (x-2y + w)2 + n,比較

12、兩邊 系數(shù)，可得加=1, n=2.(后略)【例3】(1)比較a2 +b2 +c2 ab + bc + ca的大小(2)已知函數(shù)y=x的圖象經(jīng)過點(耳小)與(x3,y2),且xx<x2 ,求證：yx <y2.分析作差法是比較兩個實數(shù)大小的基本方法.它的一般步驟是：作差t變形t定號. 【例 3】解：(1) a2+b2+c2- (abbccct) = -(la2 +lb2 + lc2 - lab-2bc-2ca)o=丄(a »+(b q)2+(c a)2p0.(當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c 時，取等號) a2 +b2 +c2 > ab +be+ ca (2) 函數(shù)y =

13、y?的圖象經(jīng)過點(xjjj與匕2，兒)，二必二球，= xi -必-y2 = xf - 2 =(耳-2)(v + ¥2 + 君)，/ x! < x2 ,- x2 < 0 又 xj + 3qx2 + xj = xj + xx? +(¥)' + ¥=(耳+學(xué))？+匯>0,(由于耳工七，所以不能取等號).必-乃<0，即必<y2斬知詭常 見的配方變形有：a2± b2=(a by2 2ab = (d b)三十 2ab:/十丄= 0c+丄y 2=(x丄亍+2 :x*xx<72 + tr 十 c21 = (a 十七十 0)三一

14、2(qb 十 be 十 ca) </ 十b十u，十a(chǎn)b十be十ca = (a十b) 十(b十u)，十(u十a(chǎn))勺$(1) 除了 “配方法”，還有其它方法證明“對于任何實數(shù)a,b(dhb), /+ f >0恒成立”嗎？(2) 已知函數(shù)y= -x3+2xil點(mj，(心開),且<x2 < 1 ,試用作差法比較j),兒的大小.(1) .(|a|-|b|)3 >0, /. a2 +b2-2abq , :. a2 +b22ab>ab-ab ,第一個等號在 a=b時成立，第二個等號在a、b有一個為0時成立，第三個等號在a、b異號或一個為0時 成立.當(dāng) a = b=0

15、時，有 a2 +b2 = -ab . y arb、:. a2 +b2 > -ab ,即 a2 +ab + b2 > 0.評 注眥題還可以構(gòu)造二次函數(shù)y = x2+bx + b利用判別式進行分析(參考第七章)(2) - y2 = (-xj + 2不)- (-xf + 2x?) = (xj _x；)+ 2(兀-x» = (x2 -x1)(x2+xl - 2),xj < x2 < 1 t /. - y3 < 0 ,艮卩 < y2 .【例 4把多頊?zhǔn)絰3-xaqk + 1) =(x3* - y2*) x2 + x2 y2k - y2*2 = (x2* -

16、y2*) x2 + (x2 - y2)-y2jk=宀(上)+ (云-b) y"x v + 3= 4x=3c 由丿- 得.廠，代入s=x + y + 2二中化簡得s= = +2.x +尹 + 二=2ly =二一 1+2x+2表示成a(x-l)3+b(x-l)2+c(x-l) + c/ 的形式.分析題目指明了整式變形的方向，可以釆取待定系數(shù)法，也可以考慮換元法.【例4】解法一(待定系數(shù)法):將a(x-l)3+&(x-l)2+c(x-l) + rf化簡為三次多項式，i 比較它與x3-x2+2x+2的對應(yīng)項系數(shù)，得a二10 = 2,c =3,rf = 4. x + 2x + 2 =

17、(x 1)' + 2(x - 1) + 3(x -1) + 4解法二(換元法)：設(shè) 17,則x=y + l,于是 x3-x2 + 2x+2 = 0，+ 1丫-0 + 1)? + 2(> + 1)+2=y3 + 2y2 + 3y + 4=(x-1)3 + 2(x-1)2 + 3(x-1) + 4 .評注這兩種解法，以換元法為最簡.已知 x3 -x2 4- 2x4- 2 = a(x- 2)3 +b(x- 2): +c(x- 2) + n,求 d 與 a + b + c .令 x=2,則 23 - 22 + 2 2+ 2 = a(2- 2)3 +d(2- 2)2 +c(2- 2) +

18、6?,于是 d=q '今x=3,則 3 3? + 2 3+2 = a(32)'+032)，+c(32) + n,于是a + b + a + = 26, a + b + c = 16.【例5】已知n為正整». x. 丁為正整數(shù).且弋+f能被尤卄 整除.求ue：也能被整除.分析將配湊成含因式的式子.【例5】證明：v+r /=x2 - v1+ x2 y-x2 *y= x2(r"+y") + cv2 -/-x2 /)=fx +>")+yn(y2 一 x2)= fx*十十f fr+x-x).vx"+/能被x+j-整除.且0，+刃(&

19、gt;，一x)也能被x+s除，./x +y")+/(>, + xx>，-x)能被 x+y 整除.二丄七叮2也能被尸工整除.評注木題用到了 “配凍法”，它是從整體考察，通過恰當(dāng)?shù)呐錅?，使間題明了化、簡單化從而達到比 較容易解決問題的一種方法.(1) 記 xar) = x" - y" a(k + 1) = x2*3 一 y2m 試用 a(k 表示 a(jc + 1) (2) 已知丿一 .且s=x + y+2二.試用二表示s.x + y+ 二=2一、選擇題1. 將t+w+i因式分解得().a. (x2 +x + v)(xi +x+t)b.(x'-x

20、+ dx+x+i)c(x2 +x + 1xx3 - x+1)d.(x， 一 x + lxx3 - x + 1)2. 已知 a + b + c = 4, ab + bc + ac = 4 ,則 a2 +b:+c:的值是()a. 6b. 8c.10d.123. 初c的三邊a、b、c滿足a2 + 2b2+c2-2b(a + c)=q,則此三角形的形狀是(a直角三角形b.等腰宜角三角形c.等邊三角形d.都有可能4. 方程x3 -尸+xb-卩32的正整數(shù)解的個數(shù)為()a. 0b. 1c. 2d.不小干 35. 若 avb, x<y ,且 a= ax + by , b= bx + ay ,則 >

21、;1、b 的大小關(guān)系是().a. a>bb. a=bc. a<bd.不能確定二、填空題6. 分解因式：(1) a2 +b: +c2 - 2bc + 2ca- 2ab =(2) jr + x (a2 a)=?(3) lx2 y2 - 4-x + 5y -6 =；(4) x3 +x- 2 =.7. 若0c十口4?十<2芒十+ 十a(chǎn)。，則十a(chǎn)?十43 + 4+05 =8若x 1是多項式/ +- 3,的因式，則力=9已知 t= x-y (0wx<yw2),化簡：|r 十 2| + |r| =.10.已知a>0, b>0,且qhb,則/十決與a呀十/滬的大小關(guān)系是三、

22、解答題11. 已知x,兒二為三個非員實數(shù).且膺足3x+2y+r-5, x+y-z= 2 ,著s=2x + y二,求s的最 大值與最小值的和.12. 已知11"+1尹】（刀是某個正整數(shù)）是133的借數(shù),求證：11叫1嚴(yán)也是133的倍數(shù).一、選擇題a 1b 2c. 31. 方程(x2+r-ir3 = 1的所有整數(shù)解的個數(shù)是().2. 已知 a、b. e 滿足 a<b<c. ab + be + ac = 0、abc = 1,貝lj ()a. | a 十 b|>|c|b |a 十 b<c c. ab = cd. abc的大小關(guān)系不能確定4方程x?-(a + 8)x +

23、 8a-l = 0有兩個整數(shù)根，那么整數(shù)q的值是(a. -8b. 8c. 7)d.5設(shè)x、兒二均為不超過1的非負(fù)實數(shù)，若上= x + y(l-x) +二(1-x)(l-y),則上的求值范圍是()a. owtwlb. w1二、填空題6當(dāng)上=時，x(x+l)(x+2)(x+3) +七是一個完全平方式.7. 如果x2 -3x+2是多項式x4 - 5x3 +11x2 + px+q的一個因式，那么p =, q=.8. x、y可取任何實數(shù)，r = x3+4 + 5/-2 + 2,當(dāng)“,尸時，了有最小值為9. 使等式6x一口 q- 3y'-x-7y- 2=0+口 y+口 )( x+fjy- 2)成立

24、的方格中所有的數(shù)字和是10. (1)定義新運算：/(x) = x2 + 2x-1,那么/(x + 1) =；(2)定義新運算：/(x + 1) = x2+4x+2,那么/(x) =.(結(jié)果都要求化簡)三. 解答題11. 已知-lwa + bw3. 2wa-bw4,令t=2a + 3b ,求:t的最大值.并指岀t取最大值時a、b的值.12. 已知多項式q+qx + ay + %己°分解因式后為(41嚴(yán).求:(1 )+ 勺 + $ 200 的值 <(-)6 +冬+冬 h ©99的值i(3) (a。+d? +條+0200) _(兔+6 +他+兔射)2 1. c.點撥】法一：

25、y+p+ihx+t + x3) - 0?-1)=丘(丘 + x+ l)-(x-lxx3 +x+l) = (x1 +x+ l)(x3 -x+1) 法二：取x = 1可否定a：取x = 1可否定b、d.2 b.點撥a'+ b+c'= (a + b+c)'- 2(ab + dc + ac) = 8 3 c點抜】/ aj + 2b2 + c3 - 2b(a + c) = (aj - 2a6 + z?2) + (b2 - 2bc + c2) = (a - bf + (b - c)j = 0.a = b=c.x= 3v =】4 b.點撥原方程可分解為(x-yx + yy = 32 = 2 x 42 = 8x：2 = 32xi2 .由xy均為正整數(shù)，ft0<x-y <x + y故有且只有；' 3 -.解得x+y = 4原方程的正整數(shù)解的個數(shù)為i.5. a. .sft (<zv + by")- (bx4-ay =