word版習(xí)題課無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)章主要內(nèi)容小結(jié)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1、利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性；2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法n®¥å u若 lim u ¹ 0 ，則級(jí)數(shù)n¥n=1n 發(fā)散；否則由比值法、根值法、比較法及其極限形式判別；= r ír > 1，發(fā)散 ；ïr = 1，失效對(duì)一般項(xiàng)出現(xiàn)階乘、及 n 次冪形式，多用比值法， lim u n

2、+1n®¥ unìr < 1, 收斂ïî對(duì)一般項(xiàng)出現(xiàn) n 次冪形式，多用根值法， lim n u   = r ír > 1，發(fā)散 ；ïr = 1，失效n®¥ìr < 1, 收斂ïnî對(duì)一般項(xiàng)可經(jīng)縮小與放大處理后化成 p 級(jí)

3、數(shù)或幾何級(jí)數(shù)形式，則用 p 級(jí)數(shù)或幾何級(jí)數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)，采用比較法或極限形式，對(duì)比值法與根值法中 r = 1的情況，也可用比較法、求部分和法、積分判別法做；n®¥  un®¥注意：能用比值法判別收斂的級(jí)數(shù)一定可用根值法判別收斂，因?yàn)榭梢宰C明當(dāng)lim u n+1 存在時(shí)， lim n un®¥ un®¥n也存在，且 lim n u =

4、60;lim u n+1 ，反之不一定成立。nn3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法nå un  為收斂級(jí)數(shù)，若  å un   收斂，則  å un  絕對(duì)收斂；若  å un   發(fā)散，則  å u¥n=1¥n=1¥n=1¥n=1¥n=1n 

5、條件收斂；> 0 ，且 lim u   = 0 則交錯(cuò)級(jí)數(shù) å (-1) n-1 u   收斂，且 r   £ un®¥萊布尼茲判別法： u ³ unn+1¥n=1n n nn+1 。（二）求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1、標(biāo)準(zhǔn)形式的冪級(jí)數(shù)，先求收斂半徑 R

6、60;= lim ann®¥ an+1，再討論 x = ± R 的斂散性；ì通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式2、 非標(biāo)準(zhǔn)形式的冪級(jí)數(shù)íî直接用比值法或根值法。（三）冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法1、求部分和式的極限；2、初等變換法：分解、直接套用公式；3、在收斂區(qū)間內(nèi)，采用逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分的方法，套用公式，再對(duì)所求的和作逆運(yùn)算；ì直接求和：直接變換，求部分和；4、 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和íî間接求和：轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)，再代值；（四）函數(shù)的冪

7、級(jí)數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式1、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)直接展開(kāi)法：利用泰勒級(jí)數(shù)；間接展開(kāi)法：利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)；2、函數(shù)的傅立葉展開(kāi)式：系數(shù)公式、收斂定理、延拓方法。例 1 若級(jí)數(shù) å a與 å b   都收斂，且 a   £ c   £ b  (n = 1,2,L ) ，證明級(jí)數(shù) å 

8、c收斂。¥n =1n¥                                             

9、0;                                ¥n =1               &

10、#160;                                                 &

11、#160;  n=1n n n n nå (b證 明： Q 0 £ c - a £ b - a (n = 1,2,L ) ，則 由已知條 件nnnn¥n- a ) 收 斂，根據(jù) 比較判別 法有nå (c  &#

12、160;- a  ) 收斂， å c   = å (c   - a   + a  ) = å (c   - a  ) + å a   收斂。n =1¥¥¥

13、65;¥nnnnnnnnnn =1n=1        n=1                       n=1n=1說(shuō)明：注意比較判別法只對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)成立，對(duì)一般級(jí)數(shù)不可用。例 2判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（1）  å 2&

14、#160;+ (-1)（2） å；     （3）  å (n!)¥n=12 nn；¥n=11n × n nn=1¥ 22n 2；（4） å(1 +   )  2 ；   （5） å     

15、; ；（6）¥n=13n n n(1 + ln 2 n)nn=11    1 ¥ 1¥å 1 ；n ln nn=2解：（1）解法 1：  利用無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)： å¥n=122 n與¥å (-1) n 都是幾何級(jí)數(shù)，均收斂，所以2 nn=1å

16、60;2 + (-1)   = å+ å¥n¥2 nn=1n=122 n¥ (-1) n2 nn=1收斂；2 + (-1) n3£解法 2：該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，利用比較法，因?yàn)椋? n2 n¥å 3 收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂；2 nn=12 + (-1) n1解法 3：該級(jí)

17、數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，利用根值法，因?yàn)?#160;lim n=< 1，所以原級(jí)數(shù)收斂。n®¥2 n21  = 1 ，由比較法的極限形式知：級(jí)數(shù) å（2）因?yàn)?#160;lim n n = 1，所以 limn®¥n®¥1n × n nn¥n=11n × n n與¥å 1 具

18、有相nn=1å 1 發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。同的斂散性，而級(jí)數(shù)¥n=1nu(n + 1)!2（3）利用比值法： limn+1 = limn®¥ un®¥ 2(n + 1) 2n(n!) 22n 2= lim n 2 = +¥ ，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。n®¥n®¥n®¥(1

19、60;+   ) n2 = lim   (1 +   ) n =  < 1 ，所以原級(jí)數(shù)收斂。（4）利用根值法： lim n u = lim nn1    1 1   1 e3n n n®¥ 3 

20、;  n   3n(1 + ln  2 n)（5）一般項(xiàng) u =1n，利用比值法、比較法、根值法都不易判定級(jí)數(shù)的斂散性，注意到 u 是單n= ò +¥2      =2  - arctan ln 2 收斂，所以原級(jí)調(diào)遞減數(shù)列，因?yàn)榉e分 ò+¥2dx d

21、0;ln x2x(1 + ln 2 x)     1 + ln 2 x= arctan ln x+¥p數(shù)收斂。ln n  ³（6）因?yàn)?#160;nln n £ n n ，所以 1nn1nn®¥¾¾¾®1 ，即 lim 

22、 1n®¥ n ln n³ 1 ，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。（1） å (-1)ln    ；            （2） å          ；n     

23、;                    n + (-1) n例 3判別下列級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？¥¥n + 1(-1) nnn=1n=2（3） å (-1)n        

24、                                      ¥¥n=1( n + 1 - n ) ； &

25、#160;     （4） å (-1) nn=1n n+1(n + 1)!；n        nn®¥解：（1）因?yàn)?#160;u = lnnn + 1       1= ln (1 + ) 單調(diào)遞減，且 l

26、im u = 0 ，由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂ns   = å ln   = å ln(k + 1) - ln k  = ln(n + 1) - ln1 = ln(n + 1) ¾n¾¾¥® +¥&#

27、160;，所以 å ln   發(fā)散，k                                          

28、;                    nnk + 1n¥n + 1®nk =1k =1n=1原級(jí)數(shù)條件收斂。n®Ân®Ân + (-1) n   不單調(diào)，所以不能用萊布尼茲判別法，（2） lim 

29、u = limn1n + (-1) n= 0 ，但    1=     -      ，而  å         收斂， å   發(fā)散，所以因?yàn)?#160;u =n1n + (-1

30、) n =n - (-1) n    n  (-1) n ¥ (-1) n n ¥ 1n - 1    n - 1  n - 1         n - 1 n

31、 - 1n=2 n=2å= å     -   發(fā)散。¥n=2(-1) nn + (-1) nn=2¥ (-1) n n   1n - 1   n - 1n + 1 +   nn®¥n

32、74;¥n + 1 -   n =（3）u =1n>       1n + 2 + n + 1= un+1，且 lim u = limn1n + 1 + n= 0 ，原級(jí)數(shù)收斂，而 å (    

33、;n + 1 -   n ) = å¥¥n=1n=11n + 1 + n 發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)條件收斂。(n + 1)!  n®¥  u(n + 2)!（4） u =， limn+1 = limn所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。un n+1    &

34、#160;          (n + 1) n+2nn®¥n n+1      (n + 1) 2    1= lim       (1 + ) n = e >&

35、#160;1 ，(n + 1)!  n®¥ (n + 2)n   n說(shuō)明：若級(jí)數(shù)改為  å (-1)¥n=1n(n + 1)!n n+1，則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。例 4判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（1） ån=1  a¥n=111 + a n(a > 0) ； 

36、0;       （2） å¥ nan(a > 0) ；（3）  å (-1)¥n=1n1n p；解題思路：一般項(xiàng)中含有參數(shù)，需注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。解：（1）注意到  lim a n = í1ì0ï0 < a < 1a = 1，故就

37、 a > 1, a = 1,0 < a < 1 分別討論。ï¥n®¥當(dāng) 0 < a < 1 時(shí)， u =nî11 + a na > 1® 1 (n ® ¥) ，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散；

38、1 + a n211當(dāng) a = 1 時(shí)， u =®(n ® ¥) ，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散；n<   = (   ) n ，而級(jí)數(shù) å (   ) n 為公比絕對(duì)值小于 1 的幾何級(jí)數(shù)，是收斂的，由當(dāng) a > 

39、;1 時(shí)， u =n1    1   1 ¥ 1n=11 + a n  a n a a比較法原級(jí)數(shù)收斂。綜上所述：當(dāng) a > 1 時(shí)原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng) 0 < a £ 1 時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。a   nn®¥ 

40、60;       n®¥（2）一般項(xiàng) u = nan中含有 n 次冪，用根值法。因?yàn)?#160;lim n u = lim nnna n nan®¥a n = lim  a =1a ，由根值判別法，當(dāng)1a < 1 時(shí)，即a > 1

41、60;時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)1a > 1 時(shí)，即 0 < a < 1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；1a = 1 時(shí)，即a = 1 時(shí)根值法失效，此時(shí)lim u   = lim n = +¥ ¹ 0 ，由必要條件得級(jí)數(shù) å n 發(fā)散。n®¥n®¥&

42、#165;nn=1綜上所述：當(dāng) 0 < a £ 1 時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)a > 1時(shí)原級(jí)數(shù)收斂。（3）這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其絕對(duì)值級(jí)數(shù)為 p 級(jí)數(shù)，需分 p > 1, 0 < p £ 1, p £ 0 討論其絕對(duì)收斂與條件收斂。當(dāng) p > 1時(shí)，其絕對(duì)值級(jí)數(shù) å¥n=1

43、1n p是收斂的，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；是發(fā)散的，而級(jí)數(shù) å (-1) n當(dāng) 0 < p £ 1時(shí)，其絕對(duì)值級(jí)數(shù)  å¥ 1¥n pn=1n=11n p是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茲判別法可知n pn®¥       n®¥其收斂，所以原級(jí)數(shù)條件收斂。當(dāng) p £&

44、#160;0 時(shí)， lim u = lim(-1) n1¹ 0 ，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。n例 5設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)  å un  和  å vn  都收斂，證明級(jí)數(shù)  å (u¥n=1¥n=1¥n=1n+ v ) 2 也收斂。n+ 2u v  

45、+ v³ 0 。又已知級(jí)數(shù) å u分析：因?yàn)?#160;u ³ 0 ， v ³ 0 ，所以 u v ³ 0 ，且 (u + v ) 2 = unnnnnnn2            

46、0;    2n n n¥nn=1n  收斂，如果級(jí)數(shù)  å u和  å v和  å v¥¥¥22nnn=1n=1n=1收斂，由不等式+ v   2 與比較判別法即可推得 å 2u v   收斂，從而欲證結(jié)論成立。2u v

47、0;£ un nn2¥n n n證明：因?yàn)?#160; å un®¥¥n=1nn=1收斂，所以 lim u = 0 ，由極限定義，對(duì)正數(shù) e = 1 ，存在 N ，使當(dāng) n > N 時(shí)，有 0 < u < 1 ，n n< u&

48、#160; ，由比較判別法，級(jí)數(shù) å u   2 收斂，同理可證級(jí)數(shù) å v   2 收斂。從而 un2¥                           

49、            ¥n n nn=1n=1+ v   2 ，而 å (u   2 + v   2 ) 收斂，由比較法知級(jí)數(shù) å 2u v   收斂，又因?yàn)?#160;2u v 

50、;£ un nn2n=1¥ ¥n=1n n n n n所以  å (u   + v  ) 2 = å (u¥¥nnn=1n=1n2+ 2u v + v 2 ) 收斂。n n nn=1     

51、;                                            n=1  2例 6求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

52、與收斂域¥ 2 + (-1) n¥ n（1） åx n ；（2） å2 nnx 2n ；（3） å¥n=13n + (-2) nn(x + 1) n ；2 nn®¥  an®¥ 2  2 + (-1) na2&

53、#160;+ (-1) n1 2 + (-1) n+1(n = 1,2,L ) ，而 limn+1  = lim解：（1）因?yàn)?#160;a =不存在，用比值法求收斂半nn徑失效，故用根值法。因?yàn)?   2 + (-1) n   3££        

54、0;      。 而 lim n2 n 2 n     2 n n®¥1   1        3   1= ， lim n =n®¥2 n  2 

55、       2 n  2，故n®¥           n®¥r = lim n a= lim nn2 + (-1) n   1=  < 1 ，所以 R =

56、60;2 。2 n 2當(dāng) x = 2 時(shí)，原級(jí)數(shù)為  å 2 + (-1)¥n=1n ，由 lim2 + (-1) n  ¹ 0 ，此級(jí)數(shù)發(fā)散；n®¥同理，當(dāng) x = -2 時(shí)，原級(jí)數(shù) å 2 + (-1) n (-1) 

57、;n 發(fā)散；¥n=1所以所求收斂域?yàn)?#160;(-2,2) 。2 n（2）因?yàn)?#160;u ( x) = nnx 2n (n = 1,2,L ) ，原級(jí)數(shù)缺少 x 的奇次冪項(xiàng)，故直接用比值法。因?yàn)楫?dāng) x = ±   2 時(shí)，原級(jí)數(shù) å  n 發(fā)散，所以所求收斂域?yàn)?#160;(-  &

58、#160;2,   2) 。( x + 1) n ，令 y = x + 1 ，原級(jí)數(shù)為 ån                            &

59、#160;                          nu( x)(n + 1)2 n x 2(n+1)x 2n+1r = lim= lim=< 1 ，所以 x <2 ,

60、 R =2 ，n®¥ u ( x)n®¥2 n+1 nx 2n2n¥n=13n + (-2) n¥ 3n + (-2) n3n + (-2) ny n ，取 a   =（3）因?yàn)?#160;u ( x) =，nnn=1= lim  

61、;               = 3 ，所以 R =則 r = lim an+1n®¥ an= limn®¥3n+1 + (-2) n+1 n3n + (-2) n (n + 1)23n+11 +&

62、#160;(- ) n+1 n3n®¥ 23n 1 + (- ) n (n + 1)313，當(dāng) y =- 時(shí)，考察級(jí)數(shù)   å 3(-   ) n ， 易知級(jí)數(shù)  å (-1)å 1 ( 2 )n=1  

63、60;                                       n=1          

64、   n=1  n  31¥n + (-2) n1¥n¥3 n      3                n與n都收斂， 所以級(jí)數(shù)å 3¥n=1n+ (-2) n &#

65、160;1(- ) n 收斂；n      3當(dāng) y =  時(shí)，考察級(jí)數(shù)   å 3(  ) n ，因?yàn)?#160; å 1 發(fā)散，級(jí)數(shù) å (-1)1¥3n=1n+ (-2) n 1 ¥ ¥ n 2n

66、0;   3 n n  3n=1 n=1( ) n 收斂，所以級(jí)數(shù)å 3¥n=1n+ (-2) n 1( ) n 發(fā)散；n    3從而冪級(jí)數(shù) å¥n=13n+ (-2) n 1 1         

67、            1        1y n 的收斂域?yàn)? , ) ，由 y = x + 1 解不等式 -  £ x + 1 <  得原級(jí)數(shù)的收斂n  

68、60;              3 3                    3       3例 7求冪級(jí)數(shù)  å42域?yàn)?#160;-

69、 ,- ) 。33¥n=11n(n + 1) x n 的和函數(shù)解：因?yàn)?#160;r = lim1n®¥ (n + 1)(n + 2)1n(n + 1)= 1 ，且 x = ±1 時(shí)原級(jí)數(shù)收斂，所以收斂域?yàn)?#160;-1,1 。注意到1 = å x n (&

70、#160;x Î (-1,1) ，需用逐項(xiàng)微分法去掉一般項(xiàng)中分母的系數(shù)。¥1 - xn=0令 s( x) = å    ，則  s(0) = 0 ，當(dāng) x ¹ 0 時(shí) s¢( x) = åå xn=1n=1¥ x n &

71、#165;n(n + 1)1n + 1x n-1 =1x 2n=1¥ n+1n + 1，再令 s ( x) =  å xn + 1                1 - x11，則 s¢&#

72、160;( x) = å x n =n=1                         n=1¥ n+1 ¥ 1- 1 ，所以0      

73、60;                  0s ( x) = ò xs¢ ( x)dx + s (0) = ò x(11111 - x- 1)dx = - x - ln(1

74、0;- x) ( x ¹ 1) ，x              x故 s¢( x) =1        1  ln(1 - x)s ( x) = - -  &#

75、160;    ( x ¹ 0, x ¹ 1) ，2 1 2s( x) = ò xs¢( x)dx + s(0) = ò x- -1100xx 2ln(1 - x)dx= lim ò x- -s(1) = &#

76、229;     = å -    = lim s  (1)  = lim1 - + -+L + -    = 1 ；n(n + 1)     n  n + 1  

77、60;               2  2  3     n  n + 1n®¥           n®¥111 - xln(1 -&#

78、160;x)dx = 1 +ln(1 - x) ，e ®0+ exx 2x¥¥11111111nn =1n =1ì1 - xï0ï所以 s( x) = í1ïï1 +ln(1 - x)îxx = 0x = 1x ¹ 0, 

79、;x ¹ 1å n例 8求級(jí)數(shù)n=1¥ 2n!的和。解法 1：  考察冪級(jí)數(shù) å x n-1 ，易知收斂域?yàn)?#160;(-¥,+¥) ，由s( x) = å  x n-1 = å    x n-1¥ n 2n!n=1¥

80、 n 2¥nn!(n - 1)!n=1n=1= åò ¢ = å ¢ =  xå ¢ = ( xe x )¢ = xe x + e x¥n=1x nx n-10 (n - 1)!dx¥n=1x

81、0;n ¥ x n(n - 1)! n!n=0得 s(1) = 2e ，從而 å¥n=1n 2n!= 2e 。å n= å    = å解法 2：¥ 2 ¥ n ¥ n - 1 + 1n! 

82、    (n - 1)!    (n - 1)!n=1        n=1              n=1= å    + å    =

83、 å + å = e + e = 2e 。¥1¥1¥ 1¥ 1(n - 2)!(n - 1)!n!n!n =2n =1n =0n =0例9將下列函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)（1） f ( x) =x 2x 2 + 3x + 

84、2；            （2） f ( x) = ln(x + 1 + x 2 ) ；解：（1） f ( x) 是有理函數(shù)，應(yīng)將其化為冪函數(shù)與部分分式乘積的形式，再利用相應(yīng)公式展開(kāi)。f ( x) =xx 2      

85、;    1    1= x 2     -    2 + 3x + 2 x + 1  x + 2= x 2     -       = x 

86、;2 å (-1) n x n -  å (-1) n (   ) n ¥x111 ¥x1 + x222(1 + )n=0n=02= x 2 å (-1) n 1 -x n = å (-1) n 1&

87、#160;-¥1¥2 n+1n=0n=0易知收斂域?yàn)?#160;x Î (-1,1) 。12 n+1x n+21 + x 2   ，利用 (1 + x) m 的展開(kāi)式展開(kāi)（2）先對(duì) f ( x) 求導(dǎo)，得 f ¢( x) = ln( x + 1 + 

88、x 2 ¢ =1對(duì)展開(kāi)式逐項(xiàng)積分求解。因?yàn)?1 + x 2 ，再= 1 -  111 + x 2)   2= (1 + x 2 - 11 × 3 (2n - 1)!x 2 +    x 4 - L +

89、 (-1) n       x 2n + L2    2 × 4             (2n)!= 1 + å  (-1) n  (2n - 1)!¥n=1

90、(2n)!x 2n , x Î -1,1= x + å (-1) n所以 ln(x + 1 + x 2 ) = òx0dx1 + x 2¥n=1(2n - 1)!(2n)!(2n + 1)x 2n+1 , x Î -1,1 。例1

91、0   求冪級(jí)數(shù)  å (-1)¥n=1n-1(1 +1n(2n - 1) x 2n 的收斂域與和函數(shù) f ( x) （05 年考研題）。解：因?yàn)?#160;å (-1)x 2n = x 2 å (- x 2 ) n-1 =¥n=1n-1¥n=1x&

92、#160;21 + x2(-1 < x < 1)å (-1)x 2n = 2å (-1) n-1 ò xdx = 2ò xå   dx = 2ò xå ò x x 2n-2 dxdx¥n=1n-11n(2n 

93、- 1)¥ x 2n-1 ¥ x 2n-1 ¥0 2n - 1 0 2n - 1 0       0n=1                    &#

94、160;            n=1 n=1= 2ò xò xå x 2n-2 dxdx = 2ò xò x000 1 + x 2dx = 2ò x arctan xdx = 2 x

95、60;arctan x - 2ò x¥dxn=10= 2 x arctan x - ln(1 + x 2 )(-1 < x < 1)xdx0 0 1 + x 2所以冪級(jí)數(shù)的收斂域是 (-1,1) ， f ( x) =x 21 + x2+ 

96、2 x arctan x - ln(1 + x 2) 。例 11設(shè) f ( x) = 2 - x(0 £ x < 2) ，而 s( x) = å b  sin¥n=1nnp x2(-¥ < x < +&

97、#165;) ，其中0b = ò 2 f ( x) sinnnp x2dx(n = 1,2,L ) ，求 s(-1) 和 s(0) 。分析：此題不需要進(jìn)行傅立葉展開(kāi)，而是應(yīng)用狄利克雷定理判別當(dāng) x = 0 和 x = -1 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于何值。í解：由已知 s( x) 是 f (

98、 x) 在 0,2 上的正弦級(jí)數(shù)，也是奇函數(shù) F ( x) = ì- 2 - xî 2 - x- 2 £ x < 00 £ x < 2 在 -2,2 上間斷點(diǎn) x = 0 處， s(0) =  1的

99、傅立葉（正弦）級(jí)數(shù)。由狄利克雷定理，在F ( x) 的連續(xù)點(diǎn) x = -1 處， s(-1) = F (-1) = -1 ；在 F ( x) 的1 F (0 - 0) + F (0 + 0) =(-2 + 2) = 0 。22例 12 將 

100、f ( x) = sin x (-p £ x £ p ) 展成傅立葉級(jí)數(shù)。ìsin x分析：由 f ( x) = sin x = íî- sin x0 £ x £ p- p £ x < 0

101、60;，易知函數(shù) f ( x) 在 -p ,p  上連續(xù)，且有 3 個(gè)極值點(diǎn)，滿足狄利克雷收斂定理?xiàng)l件，將 f ( x) 以 2p 為周期做周期延拓后，直接求傅立葉系數(shù)。解：將 f ( x) 以 2p 為周期做周期延拓，由 f ( x) 為偶函數(shù)，得 b = 0 (n = 1,2

102、,L ) ，npa = 2nò p f ( x) cos nxdx = 2 ò p sin x cos nxdx = 1 ò psin(n + 1) x + sin(1 - n) xdx0 p 0 p 0p  

103、  n + 1      1 - n1 cos(n + 1) xcos(1 - n) x=-+ p01111=(-1) n-1 - 1- =(-1) n-1 - 1pn - 1n + 1p (n 2 - 1)4=íï   p (4k 2 - 1)ì0n = 2k - 1ï-n = 2kî(n ¹ 0,1)a   =    &