三角形解的個(gè)數(shù)問題專題演示教學(xué)

1、精品文檔解三角形專題2三角形解的個(gè)數(shù)問題A為銳角A為鈍角或直角圖形UjL廠嚴(yán)* a-c.AF”關(guān)系A(chǔ)<bsi nAA=bsi nAbsin A<a<ba > ba< b解的 個(gè)數(shù)無解一解兩解一解無解1已知下列三角形中的兩邊及其中一邊的對(duì)角，判斷三角形是否有解，并指出有幾解？ a 7,b 8, A 105°(2) a 10,b 20, A 80°(3) b 10,c 5、6, C 60°(4) a 2、3,b 6, A 30°答案:(1) A 90°而a b，故無解 A 90°,a bsi nA b，故有無

2、解(3) c b，故有一組解(4) A 90°,bsi nA a b，故有兩組解2 在厶ABC中, A=450，AB=*3，則“ BC= 2 ”是“ ABC只有一解且 C=60° ”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既為充分也不必要條件另解法法1:大角對(duì)大邊在已知 ABC中的邊長a，b和角A，且已知a，b的大小關(guān)系，常利用正弦定理結(jié)合“大精品文檔 邊對(duì)大角” 來判斷三角形解的個(gè)數(shù)，一般的做法如下，首先利用大邊對(duì)大角,判斷出角B與角A的大小關(guān)系，然后求出B的值，根據(jù)三角函數(shù)的有界性求解.B 45，求 A、解：由正弦定理，得sinA彎B 3sin45B 4

3、5290 , b a，二 A 60 或 120 .當(dāng)A 60時(shí),C 75 ,bsin Csin B.2 si n75sin 45,2 ；2當(dāng)A 120時(shí),C 15 ,bsin Csin B.2sin15sin 45例 1】在 ABC 中，已知 a ,3 , b 、.2 ,精品文檔點(diǎn)評(píng)：在三角形中,B si nA si nB這是個(gè)隱含條件，在使用時(shí)我們要注意挖掘.法2: 二次方程的正根個(gè)數(shù)般地，在 ABC中的邊長a , b和角A，常?？蓪?duì)角A應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2 2bccosA b2 a2 0，若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；若方程有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形

4、有一解；若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解.DAD 10, AB 14,【例2】如圖，在四邊形ABCD中，已知AD CD ,BDA 60 , BCD 135，求 BC 的長.解：在 ABD中，設(shè)BD由余弦定理得142 x2102 2 10xcos60 AC整理得x2 10x 960，解得x 16 .由正弦定理，得BCBDsin CDB 16sin30sin BCD si n135 點(diǎn)評(píng)：已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，我們可以采用正弦定理或余弦定理求解，從上述 例子可以看出，利用余弦定理結(jié)合二次方程來判斷顯得更加簡捷.法3:畫圓法已知 ABC中，A為已知角（90 ），先畫出A，確定頂點(diǎn)A，再在A的一邊上確定頂點(diǎn)C ,使AC精品文檔邊長為已知長度，最后以頂點(diǎn)C為圓心，以CB邊長為半徑畫圓，看該圓與A的另一邊是否有 交點(diǎn)，如果沒有交點(diǎn)，則說明該三角形的解的個(gè)數(shù)為0;若有一個(gè)交點(diǎn)，則說明該三角形的解的個(gè)數(shù)為1； 若有兩個(gè) 交點(diǎn)，則說明該三角形的解的個(gè)數(shù)為 2.(C)有兩解3，作 CAD 60，b 3，貝U ABC解的情況【例3】在ABC中，A 60，a ,6，(A)無解(B)