2017年高考數(shù)學(xué)(考點解讀+命題熱點突破)專題09三角恒等變換與解三角形文

1、盤n2=tan專題 09 三角恒等變換與解三角形 文【考向解讀】正弦定理和余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，1. 和差角公式、二倍角公式是高考的熱點，常與三角函數(shù)式的求值、化簡交匯命題既有選擇題、填 空題，又有解答題，難度適中，主要考查公式的靈活運用及三角恒等變換能力.2. 預(yù)測 2017 年高考仍將以和差角公式及二倍角公式為主要考點，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起足夠的重視.3. 邊和角的計算；4. 三角形形狀的判斷；5. 面積的計算；6. 有關(guān)的范圍問題.【命題熱點突破一】三角恒等變換例 1、(1)(2016 高考全國乙卷)已知0是第四象限角，且 sinJ +_nf=害,則 tanJ寸=_,4【答案

2、】：3【解析兒基本法：將寺?；?amp;+汨由題意知曲殲扌=聖B是第四象限角，所決cos-B+滬,所以亡辭+申=寸1-話用3+宇tan j!=tan日+扌_刖=-Q 心4_COV+1L4sin+0 |3nn速解法：由題意知0+ 為第一象限角，設(shè)0+4=a,二tane = tan424【答案】：-43【解析】如圖，不妨設(shè)在 RtAC沖，/A=a，由 sina=匚可得，5BC=3,AB=5,AC=4,n4B= a ,： tan B= 3,4-tanB= (2)若 tana 0，則()A. sina 0B. cosa 0C. sin 2a 0 D.cos 2a 0【答案】：C【解析】：基本法：由t

3、an得農(nóng)星第一或第三象限甬若粒是第三象限甬，則A, B錯由血2a= 25m fiocosaJU sin 2a0j C正確3盤取舸打ccs2a2cos2fit1=2 I2- 1D錯-故選 U速解法：丁畫。=栄即抽處m/.sin 2a=2sinacos a0,故選C.【感悟提升】 解決三角函數(shù)問題的基本思想是“變換”，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q達(dá)到由此及彼的目的在三角函數(shù)問題中變換的基本方向有兩個：一個是變換函數(shù)名稱，一個是變換角的形式.變換函數(shù)名稱可以使用誘 導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等；變換角的形式可以使用兩角和、差的三角函數(shù)公式、倍角公式，對角進(jìn)行代數(shù)形式的變換等.【變式探究】(1)已知 sin52

4、L+a=-，那么 cos 2a亠豐二“rfSinT sin .5 sin Jsin(1 )由題意知2(- + ) =- +-、cos J cosiicos J cos 5 cos JCQSB化簡得2 sinACQSB+sin 5COSJ) = sin J-sinB ,即2sin(-r4 + B) = sin J + sinB.Xif因為A + B+C = 71 j所以sin(j4+.5)= sin( 7CC)= sin C.從而sinl + sin 5 =2 si n C.由正弦定理得ab=2c.II由（I ）知學(xué),r/金亠占rcT-b (-ab半目僅當(dāng)ab時，等號成立.故cosC的最小值為【

5、感悟提升】 關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”， 即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”， 這是使問題獲得解決的突破口.求三角形中的角，關(guān)鍵是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根據(jù)角的范圍求出對應(yīng)的角的大小解題時要注意利用三角形內(nèi)角和定理，即A+ B+ On .3fb a.11= _ + 丿 1王一丿g 盤 b42(2 )由 sin+ sinin于，則 sin45，于是所以cosC =5【答案】23n【解析】cos B2a b- + + = 0,cos Cc c ccos B + 2a

6、cos C + bcos C = 0,由正弦定理得 sin Ccos B + 2sin Acos C + sin Bcos C = 0, sin ( B+ C) + 2sin Acos C = sin A + 2sin Acos C = 0,12Tsin A 工 0, cos C = 2, C= 3n.23【變式探究】在厶 ABC 中，內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別是 a, b, c,且 csin B = bcos C = 3.(1)求 b；21若厶 ABC 的面積為，求 c.【解析】解:（1）由正弦定理得sin Csm B=sin Bcos C,又sin BOf所以sin C=cos C

7、?所決C=45=.因為bcosC=3j所b=3遙.1 21 =4102n n 2n nCOSsin8 81.【2016 高考新課標(biāo) 3 理數(shù)】在AABC中，B=n,BC邊上的高等于(A)6!25(B)4825(C) 1(D)1625【答案】A【解析】由tan：=3，得sin4216 cos ：亠2sin 24 25253 ,COSJi5126425，上或sin2cos：55故選 A.，所以(A)丄10(B)10(C) 一10(D)3 1010【答案】C【解析】設(shè)邊上的高為 ,貝iJ-5C = 3.dD；所AC 二&辺匚+DC = 屁 D；AB=D*由余弦定理， cosA =+ HC亠R

8、C*ZiZJ亠 + 生_9=40“J10 ,MgAD“帀，故選口2AB-AC2.【2016 咼考新課標(biāo)452理數(shù)】ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小6若05 Sew宀1，21【答案】2113【解析】因為COSA=4,COSC -,且AC為三角形的內(nèi)角，所以sinA =35135sin B =sinn (A C) =sin(A C) =sin ACOSCCOSASin C二63，又 因為一65si nA,a sin B 21 b =si nA 133.【2016 高考天津理數(shù)】在厶ABC中，若 AB=.13,BC=3, C =120,則AC=()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 43.【2

9、016 年高考四川理數(shù)】2 :【解析】由二倍角公式得COS2 -sin2二二、2COS842-BC ,則COSA=(311【答案】A【解析】由余弦定理得13 =9 AC2- 3AC= AC =1,選 A.4.【2016 高考江蘇卷】在銳角三角形ABC中，若sin A = 2si nBsi nC，則tan Ata nBta nC的最小值是 _ .【答案】8.【解析】si nA=s in （B+C）=2si nBsi nC= ta nB+ta nC=2ta nBta nC，又tan A=tan B+ tanC，因tan B tan C-1tan Ata nBta nC =ta nA tanB ta

10、nC = ta nA 2ta nB tanC22ta nA tanB tanC= an Atan Bta nC亠8,即最小值為 8.1.【2016 年高考四川理數(shù)】（本小題滿分 12 分）在厶ABC中，角A B C所對的邊分別是a,b,c,且OsCOs -snC.a b c（I）證明：sin Asin B二sinC； 2 2 26（ll ）若b c-abc，求tan B.5【答案】（i）證明詳見解析；（n）4.【解析】12|脫正弦定理,可設(shè)總=島=爲(wèi) 2。）.貝U aksin A?bksin B, c=ksin C.mi cos J cos 5或口6+代入+二中有a b ccos弓cosBsi

11、nC-+- -sin Asin E=sin Acos B+cos Asin B=sin (A+B).在厶陂 中，由A+B-K?=7l有sin(A+B)=sin(n -C)=sin C,所以i sin Asin B=sin C,(II)由已Hb b%：rbm很據(jù)余弦定理，有滬+八/3cos A=-二,Ibc5由(I), sin Asin 5=sin Acos E+cos Asin B?所以一win B= cos B+ sin B（本題滿分 14 分）在厶ABC中，內(nèi)角A B, C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.(I )證明：A=2B;2a（II ）若厶 ABC 的面積S=，求

12、角A的大小.4n n【答案】（I ）證明見解析；（II ）或一24HinJW曲2.【2016 高考浙江理數(shù)】所以sin A=13【解析】14(1 )由正弦定理得sin 5 -sinC = 2sin Jcos ,Sft 2sin -1 cos 5 = $1115 +sin (.4 + 5) = sin5 +sinAcosB+cos4sin5 ,于是sin E二sin lyl-號】.又B ft/0 A B 7tfB =TC(A = A Bj因此川二兀(舍去)或A = 2Bf所1,A = 2B,(II )由S二纟-得absin C =；故有sin 5 sin C = sin 2 = sinBcosB

13、；424=因為sin 50 ,所sin C =coB .又叭所Wc = -.當(dāng)B+C = B寸，A- 77*當(dāng)C-B-時，A-.4綜上，月=工或川=巴243.【2016 高考山東理數(shù)】(本小題滿分 12 分)(n)求 cosC的最小值.1【答案】(I)見解析；(n)-2【解析】sin A sinB、sin Asin B2廠cosA cosB cosAcosB cosAcosB化簡得2 sinAcosB sin BcosA二sin A sinB, 即2sin A B =sin A sin B.因為A B嘰所以sin A B = sin：/-C = sinC.在厶ABC中，角A B,C的對邊分別為

14、(I)證明：a+b=2c;tan Aa，b,c,已知2(tanA tanB)=cosBtanBcosA(I)由題意知15從而sin A sin B=2sin C.由正弦定理得a 2c.當(dāng)且僅當(dāng)a二b時，等號成立1故cosC的最小值為丄.21.【2015 高考四川，理 12】sin15 sin75二【答案】2sinl5;+sin芒二bin 1亍 貴=心sin(15;+45;)= S1U151+sin乃rin(4 + 站(4亍+30) = 245 cos30=法二2訕”小I空+空二應(yīng)2. 2015 高考浙江，理 11】函數(shù)f(x)二Sifx Pnxcosx的最小正周期是仙=+沁 +仁晅sin(2x

15、-J【解析】22243二7二 k二，k刁88k匸Z? 22 i兀f (x) = sin x sin . x (n)由(i)知c42所以cosC二b2-c2a b、22ab2 2a b(W 3 b a 11-=(+ )啟2ab【解析】 法一,，單調(diào)遞減區(qū)間【答案】二,-k；7k：8 832，故最小正周期為 二，單調(diào)遞減區(qū)間為163. 2015 高考天津，理 15】(本小題滿分 13 分)已知函數(shù)6,X，R(I)求f(X)最小正周期；17【解析】由已知，有f()卜2-2丄2(II)因為f(x)在區(qū)間36上是減函數(shù)，在區(qū)間6 4上是增函數(shù)，-f(_)=_l f(王)=亟-p p46244，所以f(x

16、)在區(qū)間34上的最大值為4，最小值為-2.f(x)=sin-x gin x-V3cos2x4.【2015 高考重慶，理 18】 已知函數(shù)2(1) 求f x的最小正周期和最大值；二糾(2) 討論fX在3上的單調(diào)性2八3r: 5 -52二_- -【答案】(1)最小正周期為P，最大值為2-；( 2)f(x)在6 12上單調(diào)遞增；f(x)在12 3上單調(diào)遞減.(II)求f(X)在區(qū)間-黔上的最【答案】(I)二；(II)f (X)maxf (X)minl-cos2.rT所以的最小正周期=7118【解析】192-羽atf的最小正周期為菟,最大值為2x e-.02x-當(dāng) &彳時，有3,從而02x-x

17、 當(dāng)32時即612時,-2x-x當(dāng)23時，即12孑時,fw單調(diào)遞減嚴(yán)5亍更刼綜上可知，/在了垃上單舷増；（對在巨丁16【答案】15/()= sin-x；sinx-費cos*x -cos xsinx一 (1 + cos2x)5.【2015 高考上海，理 14】在銳角三角形-C 中,1tan2,D為邊二C上的點,D與*CD的面積分別為2和4過D作D；：,m 于上，DF AC于F，則D DF二上單調(diào)遞【解析】 由題意得:1sin A：-r ,cos A-,1AB -AC sin5 2A =24= AB AC =12 5，又201132AB DE =2, AC DF =4 二 AB DE AC DF

18、=32= DE DF =2212、5,因為 DEAF 四點共圓，因此TT DE DF cos(兀 _A)=蟲辛工(一)=D；：DF12、55156.【2015 高考廣東，理 11】設(shè)ABC的內(nèi)角A,B ,C的對邊分別為a,b ,c，若a、3,sinB212xnf (x) =4cos -cos( -x) -2sin x-|ln(x +1) |7.【2015 高考湖北，理 12】函數(shù)22的零點個數(shù)為【答案】2/(x) = 4 a)s:- cos(-x)- 2 sin x-1 tn(x亠1|【解折】因為22=2(1 +cossin x-2 sinx-ln(x+l) | = sin 2x-|ln(x + l)所以函數(shù)f的霧點個數(shù)為的數(shù)八鈕衣與 K 血(“1) I圖象的交點的個數(shù),國數(shù)=sin濃與卜圖象如圖，由圖知，兩國數(shù)圖象有2個交點，所以國數(shù)(血有2個 點13】在ABC中,B=120，AB=J，A的角平分線A住方，則AC=_【答案】6NADB=45， 從而NBAD =15 = NDAC， 所以C =180*120 30*=30，C =n,【答案】1.1 sinB =【解析】因為5兀2且B0-，所以6或B飛，又C6，所以.3sin三又a二3，由正弦定理得sin A sin B即