旋轉(zhuǎn)運動柔性懸臂梁的動力特性及振動主動控制研究

1、第24卷第1期2005年 1月機械科學(xué)與技術(shù)mechanical science and technology文章編號003-8728 （2005 ） 01 -0070-05旋轉(zhuǎn)運動柔性懸臂梁的動力特性及振動主動控制研究蔡國平，洪嘉振（上海交通大學(xué)工程力學(xué)系上祥200240）蔡國平摘要：對破轉(zhuǎn)運動下柔性懸骨梁的動力特性和振動主動控制進(jìn)行了研究。研究中考慮了 2種動力學(xué)模型：牢次近 似模型和一次近似模型。重點通過算例揭示2種模型之間的巨大差異以及最優(yōu)控制方法的有效性。算例結(jié)果表 明，無控制時，家次近似模型只適用于校小旋轉(zhuǎn)用速度時的情況；對于施加控制的惜況，該模型的適用范固可放寬許 多。一次近似模

2、型不但能適用于較小用速度的情況，而且能夠適用于校大用速度時的情況，且適用于無控制或有控 制時的情況。聶優(yōu)牠制方法能夠使非慣性系下柔性梁的振動得到完全鎮(zhèn)定。關(guān) 鍵 詞：旋轉(zhuǎn)運動柔性懸臂桀；最優(yōu)控制；零次近似模型；一次近似模型中圖分類號：0232文獻(xiàn)標(biāo)識碼：adynamics and active control of a rotating flexible cantilever beamcai guo-ping, hong jia-zhen(department of engineering mechanics, shanghai jiao tong university t shanghai

3、200240) abstract: dynamics and active vibration control of a rotating flexible cantilever beam are investigated in this paper. two mathematical models used to describe the dynamic behavior of the rotating beam is con sidered: the zero-order approximation coupling model and the first-order approximat

4、ion model. emphasis is placed on numerical simulation to demonstrate the big difference between the two models, and the effec tiveness of the optimal control method for suppressing the steady vibration of the cantilever beam in non- inertial reference frame. simulation results indicate that the conv

5、entional zero-order model is only applicable to the case with small angular velocity and without control for the beam. for the case with control t the applicability of the zero-order approach model can be broadened. the first-order approximation coupling model is available not only for small angular

6、 velocity but also for large one, and is applicable to the cases with or without control for the beam.key words: flexible cantilever beam with rotating motion ； optimal control; zero-order approximation model; first-order approximation model對于剛?cè)狁詈蟿恿ο到y(tǒng)目前人們常采用零次近似模型 對其動力特性進(jìn)行研究。1987年，kane等以一個作高速 旋轉(zhuǎn)的懸臂梁

7、的振動問題作為計算反例，指出了零次近似模 型在處理該問題時將產(chǎn)生鉗誤的結(jié)果，并首次提出動力剛化 的概念。隨后眾多學(xué)者對動力剛化問題進(jìn)行了大fit研究，并 提出許多處理方法”。動力剛化問題的提出表明人們在 關(guān)于柔性多體系統(tǒng)剛?cè)岱Q合動力學(xué)的認(rèn)識機理以及所采用 的數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性等問題上仍存在很大的局限性，同時該 問題的提岀也推動了人們對剛?cè)狁詈蟿恿ο到y(tǒng)建模理論的收稿日期2003二12二08 基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（10472065）和上海市自然科學(xué) 基金項目（03zr14062）資助作者簡介：蔡國平（1965 -）男（漢），河南副教授博士email ：caigp sjlu. cn深入研究。

8、近年來，洪嘉振課題組x®提出了對剛?cè)醾?cè)合動 力系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述的一次近似模型，并通過實驗驗證了動 力剛化現(xiàn)線的存柱以及一次近似模型的正確性（5jo該研 究工作提高了人們對剛?cè)狁詈蟿恿ο到y(tǒng)的認(rèn)識水平而且也 為動力學(xué)分析提供了可靠的數(shù)學(xué)模型保障。因此有必要將 一次近似模型用于主動控制設(shè)計的研究。本文對2種模型的動力特性進(jìn)行研究，并對非慣性系 下柔性懸臂梁的嚴(yán)優(yōu)控制方法進(jìn)行研究。重點通過算例揭 示2種模型之間的巨大差異，以及最優(yōu)控制方法在抑制非 慣性系下柔性梁的振動的有效性。1非慣性系下柔性懸首梁的動力學(xué)模型考慮圖1所示的在水平面內(nèi)作回轉(zhuǎn)運動的柔性懸臂梁 系統(tǒng)。x0oy0為固定坐標(biāo)系，x0

9、y為固結(jié)在梁上的浮動坐標(biāo)系。梁一端固定在基座上，并隨基座作旋轉(zhuǎn)運動。忽略 基座尺寸，且不計霾力影響。梁的參數(shù)如下也為梁的長 度；e為彈性模氏汀為截面對中性軸的慣性矩;p為單位體 積的質(zhì)冊皿為橫截面積汕為外部驅(qū)動力矩泊為大范圍運（研）2血+弓_£以（昭）2血（5）式中：町代表叫、紉2對的一階和二階備導(dǎo)數(shù)。根據(jù)方程（3）和方程（5）可以計算動能和勢能的變分 刃和外力所做的虛功包括分布參數(shù)形式的外力7所 做的虛功和外力矩7所做的虛功。為方便表達(dá)，設(shè)外力7 在浮動坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為/=/,/；t,則7在慣性系下的 坐標(biāo)為0。因此外力所做的虛功可表達(dá)為 8wr = t80 + f （矽丁&

10、;昇h(6)根據(jù)hamilton變分原理（6t - 8h + swf）dt = 0,可圖2梁的變形位移描述以得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程為l4"elf pawl - 2pa0w2 -圖2為浮動坐標(biāo)系xoy下梁上任意點p。的變形位移 示意圖。為未變形時p。點在梁上的位置，變形后p。點到 達(dá)p點。p點在固定坐標(biāo)系x0oy0中的坐標(biāo)可表達(dá)為rp = （r0 + ri）式中為浮動坐標(biāo)系相對于固定坐標(biāo)系的方向余弦陣，r coso - = | .,；r0為p。點關(guān)于浮動坐標(biāo)系xoy的坐i sin coso j標(biāo)陣/o 25 *,0t；rb為p。點的變形位移坐標(biāo)陣“| = t 幻丫，可表示為l4'

11、ej卜卜卜占詈）叫式中：us為耳點到達(dá)p點而引起梁的軸向伸長他；2為橫 向彎曲變形笊對于細(xì)長梁，橫向彎曲變形讖比軸向伸縮就pa&2w2 - pa (x + wj ) - eaw dx = f (7) 1 ipawj + 2pa0wy + pa0x + wj) - pao1 w2 +£7吟+站呂硝q(如)知血=f2 (8) i pa 6 j + wj + u/j + 2x( wt + wf) + (x + wt)w2 - w2w( + 20x(wt + we) + wjw, + w,w2 | dx = f9 (9) 式中：片、幾和幾分別為關(guān)于w,.w2和0的廣義外力。fi =(

12、皿幾=丁 + 1 s ( % + 妙1 ) - /嚴(yán) 2 i 血b(xtt) = - (x + w, + ) - 20w2 + w, + wc(10)(11)（-iw2 (13)需要折出，在方程(7) 方程(9)的推導(dǎo)中，由于變形 煙合項叫是w2的二階小址，因此舍去了與叫相關(guān)的一些 高階項，如3：、3嚴(yán)八叭叫、込s八12近、叫叭竽；另外可認(rèn)為 x + w, + w, * x + wj o要大許多因此可認(rèn)為氣f變叫八t（等）好為由于橫向彎曲變形氣引起梁的軸向縮短斌。在零次近似 模型中直接套用了結(jié)構(gòu)動力學(xué)的小變形架設(shè)，認(rèn)為氣= 叫，忽峪變世唄。對于有大范圍運動的剛?cè)嵯韬蟿恿ο到y(tǒng), 當(dāng)大范圍運動為較

13、高速時，叭將對系統(tǒng)的動力特性產(chǎn)生重 要影響，這將在算例部分通過數(shù)值仿真予以顯示。系統(tǒng)的動能可表示為t - -yjparjfpdx（3）式中汀p可由對式（1）求一次導(dǎo)數(shù)得出為圖3梁的有限元模型rf = （r0 + rt） + 的 系統(tǒng)的勢能可表達(dá)為.下面考慮對方程（7） 方程（9）進(jìn)行離散化本文采用 有限元法對系統(tǒng)進(jìn)行離散化。對梁進(jìn)行n個單元劃分，單元 i的長度為厶，單元坐標(biāo)系免0p在柔性梁浮動坐標(biāo)系的位置 用其第一個節(jié)點在浮動坐標(biāo)系中的位置曲來表示，梁的有 限元模型如圖3所示。通過形函數(shù)將單元i任意點p的變形量叫和氣表示為 單元節(jié)點的變形坐標(biāo)的線性插值rw.c%,：）=肝 g）嚴(yán)（14）(15

14、)(16)(17)(18)(19) 式中：為由單元編號決定的布爾(boole)指示 矩陣(20)(21)(22)u,=n、q -1幻nq-(23)(24)(25)(26)(27)式中：£表示p點在單元坐標(biāo)系中的縱向坐標(biāo)，而%仍表示 該點在浮動坐標(biāo)系下的縱向坐標(biāo)。呼為等參單元形函 數(shù)j = 1,2；9(°為單元節(jié)點的變形坐標(biāo)列陣。/v；°(x) - (1 -門0,0,0,0】= 0,1 -3/ +2個，厶(2孑 +/),0,3/+)j式中：c = x/li<p(l)=冷才()；$'” =壬扌(厶)設(shè)g(“為總體的變形位移列陣，表示為9(0 «

15、訥，訶)理嚴(yán),訥同則單元i的變形坐標(biāo)列陣可表示為嚴(yán)=b；q(“0 0 13 0 0 00 /3 oj式中：xrg為單位陣。將方程(19)代入方程(14),可得lw2(x,«) = n2(x)q(l)式中:/v,(x)和他(可為浮動坐標(biāo)系下的有限單元形函數(shù)。t/v2(x) =將方程(21)代人方程(2),可得第i個單元上p點在 浮動坐標(biāo)系下的位移列陣為式中為輻合形兩數(shù)陣，為對稱和非負(fù)定矩陣 jr , t . .*r(0 .s(x)(|z/!離散后的第i個單元的動力學(xué)方程可表達(dá)為1:：凱削:1>(:;h；卜臥即式中：m； wf代表著第i個單元的轉(zhuǎn)動慣=m,，其 中為柔性梁的廣義彈性

16、質(zhì)扯陣；m； e 斤皿“和m誕刊則代表善大范圍運動和彈性變 形之間的非線性慣性犧合“來源于陀螺效 應(yīng)；為剛度陣；q；“,和q； wrwm為 慣性力項；耳卍和分別為單元i所受的廣 義外力矩和廣義外力陣。=厶 +“兇 + 2unq -d；g=嘰+g廠m： =:pa(n：n、+/v>2)dx(28)k；=& $1mi + d_(29)q；二-26(+ 扁-/djy)(30)q；=滬；(31)耳-匕伽-皿9+人(衍+刃-0.5人s(i,刃刃冊(32)f； = mx +mz "s(i，刃c航(33)式中:“為結(jié)構(gòu)動力學(xué)有限元中的廣義彈性 剛度陣。需要捋出的是，傳統(tǒng)的零次近似模型套

17、用了結(jié)構(gòu) 動力學(xué)的小變形假設(shè)，因此所建立的動力模型中不包含方 程(26)、方程(29)和方程(30)中的下劃線項，且有s(i,x) =0o而在一次近似模型中，由于在變形位移中考慮了橫向 位移引起的縱向位移變化而產(chǎn)生的二階耦合項，從而在動 力學(xué)方程中產(chǎn)生了這些附加項。在某些條件下，這些附加 項將對系統(tǒng)的待性產(chǎn)生重要影響，這將在文中算例部分通 過數(shù)值仿真予以顯示。人=pag +x)2dx(34)卯:網(wǎng)等)也)呵制(韻押(35) 兀=j：m(® + dxtj = 1,2(36)d = £加(衍 +%)s(itx)dx(37)g； =- n：njde(38)j 0式中:ji w r

18、' ；兒 ed； eg； e且必為非負(fù)定陣。在考察非慣性系下柔性梁的動力學(xué)問題時，大范圍運 動通常是已知的。根據(jù)方程(25),可以很容易再出非慣性 系下柔性梁單元i的一次近似觸合動力方程為m念 + 20gq + (曲 + 蛉溝 7 * f； (39) 式中：v為大范圍運動所產(chǎn)生的動力剛度陣;q為慣性力陣。& = - 02mt + if c/ + 礦d；(40)qi =(4i)式(40)中下劃線項是考慮了變形位移的二階輜合項而產(chǎn) 生的動剛度；對于零次近似模型，該項為零。則整個柔性梁的動力學(xué)方程可表示為mq + 20gq * kq = q 七 f(42)式中:m =二 fg；,k=

19、 £(« + &),a ii ii當(dāng)柔性懸臂梁處于勻速轉(zhuǎn)動階段時，大范圍運動的角 加速度為零,此時只需在式(40)和式(41)中取6=0。2最優(yōu)控制設(shè)計在此小節(jié)，采用掖優(yōu)控制方法對非慣性系下柔性懸皙 梁進(jìn)行主動控制設(shè)計。作旋轉(zhuǎn)運動的柔性懸誓梁的橫向掘 動位移較大，而縱向振動幅值較小，因此對梁的振動控制更 多地體現(xiàn)在對其橫向振動的控制。本文采用在懸臂梁上施 加集中力的方式來對梁的橫向振動進(jìn)行控制。假定在梁上 作用有個主動控制集中力，用向m u（l）«/：,，/；t表示。此時方程（33）可寫為f；=必（可咒（43）式中冃為單元i內(nèi)第丿個主動控制力在該單元坐標(biāo)系

20、中的 橫坐標(biāo)。若該單元內(nèi)無主動控制力作用，則f；=0o將式（42）轉(zhuǎn)到狀態(tài)空間，有y =+ bu + e（44）式中：y w /?6（"4,k,；4 eee斥6（n l）xl-20mgb = ,£ = ° （45）式中:厶（.為單位陣；變量禺可結(jié)合式（43）,通過對r個控制力在梁上的位置進(jìn)行分析而 得出。j = （ypy +（46）式中”為性能指標(biāo)；0e/?6u為正定增益陣，譏r*為半正定增益矩陣。極小化目標(biāo)函數(shù)式（46）,可得最優(yōu)控制律為u（t） = -（47）式中：戸疋"“""”為如下riccati代數(shù)方程的解pa + arp -

21、 pbr'lbyp = q（48）3算例本節(jié)對旋轉(zhuǎn)運動柔性懸臂梁的主動控制進(jìn)行數(shù)值仿 真。采用和文獻(xiàn)7,8相同的計算模型，模型簡圖如圖1 所示；該模型常被用來闡述動力剛化現(xiàn)欽。梁的參數(shù)為：長 度l = 8 m,橫截面積4 =7.2968 x 10'5 n截面慣性矩" 8.2189 xlo-9 m，體積密度 p =2.7667 xlo5 kg/m彈性模 ft £=6.8952 xlo,0 n/m假定懸臂梁由靜止開始旋轉(zhuǎn)加 速，在t=15 s時達(dá)到角速度u0 =4 rad/so角速度規(guī)律為采用有限元法，對梁進(jìn)行5個等單元劃分。當(dāng)對梁不施 加主動控制措施時,在上述

22、角速度規(guī)律下，梁的自由端的響 應(yīng)時程如圖4所示。由圖4可看岀，零次近似模型的結(jié)果出 現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象。兩者間的巨大差異可以從方程（40）中得到 解釋。在零次模型中，由于忽略了橫向和縱向變形的二階耦 合量，此時的動力剛度陣 為- e2mt + e gj 式中:m,為正定的廣義彈 性質(zhì)扯陣；-6% 為負(fù)定 的離心剛度陣；在旋轉(zhuǎn)運 動加速階段，角加速度0 -y- 1 - cos（t）為0.10.1盤-0.3型-0.5“07圖4 大范的運動懸臂梁 自由端的響應(yīng)時程非負(fù)和有界最。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度增大時，動力剛度陣k：逐漸 滅小，出現(xiàn)剛度“軟化”現(xiàn)象;如果角速度足夠大,k；的影響 會超過廣義彈性剛度陣&而

23、使式（39）中的剛度陣（人+ &）出現(xiàn)負(fù)剛度，從而導(dǎo)致運動失穩(wěn)。而在一次近似模型 中，動力剛度陣為k；=滬 + 6 gj + 滬 d；式中:滬以為與耦合變形攝相關(guān)的非負(fù)定陣；在旋轉(zhuǎn)加速 運動階段，滬d：的作用完全抵消了離心負(fù)剛度陣的影響, 從而保證了系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性。圖4所示的結(jié)果與文獻(xiàn)7,8中的仿真結(jié)果是一致 的。另外，在梁的穩(wěn)態(tài)振動階段（t n 15 s），由fft變換可計 算岀梁的橫向振動基頻為0. 54 hz,髙于無大范圍運動時懸 臂梁的基頻0.46 hz,說明大范圍旋轉(zhuǎn)運動使梁的基頻有所 增加，這就是所謂的動力剛化現(xiàn)象。因此，動力剛化問題實 質(zhì)上是一個非慣性系下的結(jié)構(gòu)動力學(xué)問

24、題，是作大范圍運 動的懸臂梁因大范圍運動和梁的變形之間相互耦合而導(dǎo)致 柔性梁的剛度增加，即附加剛度。一般地人們認(rèn)為零次近似模型的適用范國是以無大范 圍運動懸臂梁的基頻為分界點（9j0jo圖5給出了當(dāng)如=0.5 rad/s、l rad/8、2 rad/s和2. 5 rad/s時分別采用零次近似模 型（虛線）和一次近似模型（實線）所得出的梁的自由端的響 應(yīng)時程。從圖中可看出，即使旋轉(zhuǎn)運動角速度小于無大范圍 運動梁的基頻，兩種模型的計算結(jié)果也會出現(xiàn)較大遮異。當(dāng) 旋轉(zhuǎn)運動角速度較低時兩種模型的結(jié)果吻合較好，但當(dāng)角速 度較大時誤差較大。而當(dāng)角速度值超過無大范圈運動梁的 基頻時，零次近似模型將導(dǎo)致發(fā)散的結(jié)

25、果（如圖4所示）。 另外由圖5中還可看出,2種模型所導(dǎo)致的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（15 $）階段的橫向振動頻率也存在著很大差異，一次近似模型的 頻率要奇于零次近似模型的頻率；而且旋轉(zhuǎn)角速度越大，這 種差異也越大。由圖4和圖5中可看岀，梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（115 8）保持 一種在平衡位置附近的小幅穩(wěn)態(tài)振動。在此考慮對該振動 進(jìn)行主動抑制，控制設(shè)計采用一次近似模型。對于梁的主 動控制，許多的理論和實驗研究是采用一個粘貼在梁上的 壓電作動器所產(chǎn)生的控制力對梁的撮動進(jìn)行抑制，因此本 文考慮在梁上施加單個控制力，控制力的位置取梁的中間 位置，即4 m處，該位置位于靜止懸臂梁的第二階模態(tài)振型 的峰谷附近（3.77 m）。計算

26、時去掉梁的固定端的3個坐 標(biāo)，因此系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為15個。采用最優(yōu)控制方法時，式(46)中增益矩陣0取值為0 =diagam6mcm心厶,5，1 ,其中 = 1= io3 = 1 j = 1 -5。因系統(tǒng)中只有一個控制力，式(46)中a為標(biāo)屋，取值為r =0. lo取<00 =4 wd/8,并假定在/ = 15 8時刻開始對梁施 加控制力。圖6給岀了梁的自由端的響應(yīng)時程(虎線為無 控制，實線為施加控制)，圖6(b)為15 8時的響應(yīng)時程 的放大圖。由圖6(b)中可看出非慣性系下梁的穩(wěn)態(tài)振動基本得到完全鎮(zhèn)定。圖7給出了在18 s時刻開始對梁 施加主動控制力的結(jié)果q(c) eg2 rad/s

27、型進(jìn)行控制時梁的自由端的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時程結(jié)果，圖中同時 給出了采用一次近似模型的控制設(shè)計對一次近似模型進(jìn)行 控制的結(jié)果，可看出，對于小的旋轉(zhuǎn)角速度，即使角速度值 大于梁的基頻，零次近似模型的控制設(shè)計仍然非常有效，能 夠達(dá)到和一次近似模型幾乎相同的控制效果，梁的穩(wěn)態(tài)響 應(yīng)可得到鎮(zhèn)定。圖8(b)為w0=8 r&(l/8時的結(jié)果，可看出, 雖然2種模型的控制效果存在差異，但零次模型的控制設(shè) 計仍然有效。下面考慮角速度取大值的情況。圖8(c)給 出了 = 12 rad/8時的仿真結(jié)果，可看出，此時零次模型的 控制設(shè)計岀現(xiàn)了發(fā)散失穩(wěn)。因此，對于非慣性系下柔性懸 臂梁的主動控制問題，零次近似模型也存在

28、適用范國的問 題,適用范圍的分界點不是靜止懸臂梁的基頻，而是遠(yuǎn)大于 基頻的某個點。-零次模型控制設(shè)計控制一次模型 次模型控制設(shè)計控制一次模型圖5不同旋轉(zhuǎn)角速度下采用2種模和 所得岀的梁的自由端響應(yīng)時程時間時間(s)(a)(b)圖6梁的自由瑞的響應(yīng)時程( =4 rad/s,1 = 15。時刻開始施加控制)由圖4的仿真分析 和文獻(xiàn)4 6的理論分 析與實驗研究可知，一次 近似模型能夠?qū)Ψ菓T性 系下梁的動力響應(yīng)進(jìn)行足夠精確的數(shù)學(xué)描述，零 次近似模型在旋轉(zhuǎn)角速 度較大時將產(chǎn)生錯誤的 結(jié)論。對于施加主動學(xué) 制的情況，有必要探討乗圖7梁自由端的稔態(tài)響應(yīng)(o>0 =4 rad/ej = 18 »

29、;時刻開始施加控制)用零次近似模型所得到的控制設(shè)計是否適合于真實結(jié)構(gòu)。 控制設(shè)計參數(shù)0和斤仍取前值。圖8(a)給出了當(dāng)如=4 詛d/s時采用零次近似模型所設(shè)計的控制律對一次近似模?)書1617 1819 20時間(s)(a) ry()=4 rad/s(b) q()= 8 rad/s8 12 16 20時間(c)納產(chǎn) 12rad/$2 10 12 圖8梁自由端的響應(yīng)時程(« = 15 6時刻開始施加控制)4結(jié)論(1) 無控制時，傳統(tǒng)的零次近似模型只適用于較小旋 轉(zhuǎn)角速度的情況；即使當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度值小于伸止懸皙梁的 基頻,2種模型的動力特性仍有可能存在較大差異；(2) 對于施加控制時的悄況

30、，零次近似模型的適用范 國能夠放寬許多；當(dāng)大范圍旋轉(zhuǎn)運動角速度小于某一值時, 2種模型的控制設(shè)計能夠取得較好的控制效果，但當(dāng)旋轉(zhuǎn) 角速度大于該值時，零次近似模型控制設(shè)計失效；該臨界角 速度值遠(yuǎn)大于靜止懸胃梁的基頻；(3) 最優(yōu)控制方法能夠使得梁的振動得到鎮(zhèn)定；(4) 由于在動力控制方程中計及了動力剛化的影響，將 使數(shù)值仿真結(jié)果能夠更加客觀地反映出實際的控制效果。(下轉(zhuǎn)第78頁)座質(zhì)駅對系統(tǒng)響應(yīng)的形響逐漸變得明顯起來。進(jìn)入混沌的 道路主耍以陣發(fā)性為主，而以倍周期倒分岔離開混沌運動； 航著松動端軸承支座質(zhì)最的堆大，圖3(a)中= 1095 ll38.75ra<l/8區(qū)城的擬周期運動逐漸鎖相為

31、p-2周期運 動，圖5為3 = 1132 md/8,不同松動支座質(zhì)扯時的poincar6 載面圖，當(dāng)松動支座質(zhì)滋m, =3.0 kg為擬周期運動，= 10. 0 kg時擬周期運動消失，為p-8運動，當(dāng)叫二15.0 kg時 鎖相為p-2運動。隨著松動端釉承支座質(zhì)fit的増大，系統(tǒng) 響應(yīng)的混沌運動區(qū)域逐漸滅小，周期運動區(qū)域增大，由于隨 著松動支座質(zhì)僦的增大,要使其離開平衡位置需要更大的不 平衡力才能克服重力的約束，所以隨著松動軸承支座質(zhì)億的 增大，其對系統(tǒng)的運動規(guī)律彫響會逐漸變小，同時松動支座 質(zhì)斌加快了系統(tǒng)響應(yīng)由混沌運動向周期運動的演化過程。3結(jié)論(1) 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)具有單一碰縻故障時，在亞臨

32、界轉(zhuǎn) 速區(qū)，系統(tǒng)響應(yīng)主要以周期運動為主，期間有短暫的擬周期 和混沌運動。在臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，系統(tǒng)響應(yīng)為周期運動，振幅相 應(yīng)增大。在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，系統(tǒng)響應(yīng)以混沌和擬周期為主 要運動形式。(2) 轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)具有松動-碰摩耦合故障時，系統(tǒng) 響應(yīng)以混沌和周期的交替運動為主，期間只有短暫的擬周 期運動，且隨著松動支座質(zhì)徴的增大，擬周期運動逐漸消 失，演變?yōu)橹芷谶\動。進(jìn)入混沌的道路主要以陣發(fā)性為主， 而以倍周期倒分岔離開混沌運動。(3) 隨著松動端釉承支座質(zhì)量的增大，系統(tǒng)響應(yīng)的混 沌運動區(qū)城逐漸減小，周期運動區(qū)域増大，即松動支座質(zhì)鳳 加快了系統(tǒng)響應(yīng)由混沌運動向周期運動的演化過程。(4) 軸承支座響應(yīng)衽轉(zhuǎn)速較低

33、時在松動間隙的下邊緣 做微幅運動，在轉(zhuǎn)速達(dá)到一定大小時，軸承支座響應(yīng)突然增 大，該閾值隨著軸承支座質(zhì)量的增大而堆大。參考文獻(xiàn)1 kim y b. noah s t. stability and bifurcation analysis of otcilla- tors with piecewise-linear characteristics： a general approach j asme journal of applied mechanics. 1991, 58(6)： 545 -5542 lee a ct kang y. liu s l steady analysis of a r

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