畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）-淺談置換群的性質(zhì)與應(yīng)用

1、重慶科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題目學(xué) 院數(shù)理學(xué)院專業(yè)班級應(yīng)數(shù)普082指導(dǎo)教師 職稱教授評閱教師職稱2012 年 5 h 23 h注意事項(xiàng)1設(shè)計(jì)（論文）的內(nèi)容包括：1）封而（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封而格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）屮文摘要（300字左右）、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞5）1=1次頁（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論）、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對論文支持必要時(shí)）2. 論文字?jǐn)?shù)要求：理工類設(shè)計(jì)（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于1萬字（不包括圖紙、程序淸單等），文科類 論文正文字?jǐn)?shù)不少于1.2萬字。3. 附件包括：任務(wù)帖、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)卬件）。4文字、圖表耍求

2、：1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯別字，不準(zhǔn)請他人代 寫2）工程設(shè)計(jì)類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計(jì)算機(jī)繪制，所有圖紙應(yīng)符合國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注禪必須使用工程字書寫，不準(zhǔn)用徒手畫3）畢業(yè)論文須用a4單面打印，論文50頁以上的雙血打卬4）圖表應(yīng)繪制于無格子的頁面上5）軟件工程類課題應(yīng)有程序淸單，并提供電子文檔5.裝訂順序1）設(shè)計(jì)（論文）2）附件：按照任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂3）其它學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明本人以信譽(yù)聲明：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行 的設(shè)計(jì)（研究）t作及取得的成

3、果，設(shè)計(jì)（論文）中引用他（她）人的文 獻(xiàn)、數(shù)據(jù)、圖件、資料均已明確標(biāo)注出，論文小的結(jié)論和結(jié)果為本人獨(dú)立 完成，不包含他人成果及為獲得重慶科技學(xué)院或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證 書而使用其材料。與我一同工作的同志對本設(shè)計(jì)（研究）所做的任何貢獻(xiàn) 均己在論文中作了明確的說明并表示了謝意。畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者（簽字）:年摘要本文旨在基于群的基本理論，如群的概念和分類、子群、單群等，研究置換群在群 論中的基本性質(zhì)，特別包括置換、對換、轉(zhuǎn)換與置換群的相互關(guān)系等性質(zhì)，進(jìn)而推導(dǎo)出 置換群的生成方法、軌道計(jì)算、型的研究、了群的性質(zhì)這些重要結(jié)論。特別地，作者通 過研究對對稱群和交錯群的二元生成問題提出了某些新的結(jié)論，并

4、對已有結(jié)論推導(dǎo)出了 簡易證明方法。最后，作者通過研究置換群在解決對稱問題、不動點(diǎn)問題的應(yīng)用實(shí)例， 結(jié)合生活，提出置換群及其性質(zhì)在解決實(shí)際問題上新的應(yīng)用方法和更廣泛的適用范圍。 關(guān)鍵詞：置換群 二元生成 軌道 單群 對稱abstractthis article aims to be based on the basic theory of groups, such as the basic nature of the concept and classification of the group, subgroup, single group, the study of permutation

5、groups in group theory, including the exchange, conversion, replacement and to define its own nature and the permutation group links characteristics, and thus derive the permutation group generated orbital calculations, the type of research, the nature of the subgroups of these important conclusions

6、. in particular, by studying the symmetric group and the alternating group, some new conclusions and has been the conclusion deduced a simple method of proof. finally, through the study of permutation groups in solving the symmetric problem, fixed point problem of the application examples, combined

7、with the life of the permutation group and its nature in the new applications to solve practical problems and the wider scope of applicatio n.keywords: permutation groups； element generation； orbital； single group: symmetry目錄摘要tabstractii1 弓丨言11. 1問題的提出11.2置換群的歷史冋顧12 預(yù)備知識42. 1基本概念42. 1. 1群的概念42. 1.2

8、相關(guān)基本定義42. 1.3特殊的群62. 1.4置換群特例:對稱群和交錯群72. 2基本性質(zhì)73置換群的性質(zhì)93. 1置換群的生成方法93. 1. 1對稱群的二元生成93. 1.2交換群的二元生成103. 1.4 結(jié)論113.2置換群的軌道問題123.3置換群的型153.4置換群的子群164置換群的應(yīng)用184. 1置換群在對稱上的應(yīng)用184. 1. 1對稱研究的歷史184. 1.2兒何對稱184. 1.3代數(shù)對稱214. 2置換群不動點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用235總結(jié)255. 1結(jié)論255. 2不足之處與展望25參考文獻(xiàn)26致謝271引言1.1問題的提出置換群是變換群的一種特例，在代數(shù)里山一個(gè)很重要的地位

9、。置換群的研究在群論 歷史上無疑是里程碑式的。正是利用置換群，galois成功地解決了代數(shù)方程時(shí)候可以由 根式求解的問題。冇限群的研究是從置換群開始的，每一個(gè)有限群都與一個(gè)置換群同構(gòu)。 因此從代數(shù)結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)來看，而這似乎是沒有區(qū)別的，然而有種種理由說明有必要對置 換群進(jìn)行特殊的研究。首先，由于置換群有一個(gè)特點(diǎn)，就是它們的元可以用一種很具休 的符號來表示，使得在這種群里的計(jì)算比較簡單。其次，置換群理論中有一些起重要作 用的概念(如不動點(diǎn)和傳遞性)，在抽象群的理論中是沒有的，在每一個(gè)置換群中，某 些子群可以自然而然地被區(qū)別岀來。最后，置換群不僅在數(shù)學(xué)的理論中扮演著重要的角 色，也是研究幾何體的對稱

10、，晶體的結(jié)構(gòu)等應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域所不可缺少的工具。今天，置 換群已不僅在數(shù)學(xué)上，而口在物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)上都有著廣泛的應(yīng)用，甚至在美 學(xué)和藝術(shù)領(lǐng)域，日益發(fā)揮著它巨大的作用。1.2置換群的歷史回顧群論的產(chǎn)生最早源于對代數(shù)方程求根的研究。一元二次方程的代數(shù)解法早在公元前 20000年就為古巴比倫人所知道。一般三次和四次方程的求根公式也在十六世界為意大 利的數(shù)學(xué)家費(fèi)羅(sferro, 1465-1526)、塔塔利亞(fontana, 1499-1557 卡爾丹 (g. cardano, 1501-1576)和費(fèi)拉里(l. ferrari)先后獲得。在隨后的近300年間,數(shù) 學(xué)家們希槊能找到五次或更高乘

11、此的方程的求根公式，但都徒勞無功。直到1770年，拉格朗h才第一個(gè)宣布“不可能用根式解四次以上方程”。他以置換 為研究“工具”，以解代數(shù)方程為“目的”，使人們的代數(shù)思維方式發(fā)生了轉(zhuǎn)變，把以方 程根的計(jì)算為主的研究轉(zhuǎn)到方程根的置換性質(zhì)的研究。群論產(chǎn)生的初期主要受拉格朗h 思想方法的影響，但他卻沒能證明“四次以上方程沒有根式解”這個(gè)論斷。1799年，魯菲尼在專著方程的一般理論屮給出了一個(gè)證明，對置換群盡心了詳 細(xì)的考察，引進(jìn)了群的傳遞性和本原性等概念，得到了高于四次的-般方程的不可解性。 并強(qiáng)調(diào)置換本身的研究。但他的證明是不完整的。沿著這種趨向，在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下，柯西以置換理論為研究

12、“目的”, 使其成為一門獨(dú)立的研究領(lǐng)域，并實(shí)現(xiàn)了向置換群論的轉(zhuǎn)變。1815年，柯西發(fā)表了關(guān)于重慶科技學(xué)院木科畢業(yè)設(shè)計(jì) 1引言 置換群的重要文章。他以方程論為背景，證明了不存在n個(gè)字母（n次）的群，使得它 對n個(gè)字母的整個(gè)對稱群的指數(shù)小于不超過n的最大素?cái)?shù)，除非這個(gè)指數(shù)是2或1。在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)中一個(gè)長達(dá)三世紀(jì)z久而未能解決的難題，即五次和五次以上代 數(shù)方程的根式解問題，被法國青年數(shù)學(xué)家伽羅瓦和挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾徹底解決，從而推 動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，更為重要的是，他們在解決這一問題時(shí)引入了一種新的概念和新思想, 即置換群的理論，它對今后數(shù)學(xué)的發(fā)展特別是代數(shù)學(xué)的發(fā)展起著口大的關(guān)鍵性的作用。 也因此可以說

13、，阿貝爾與伽羅瓦是群論與抽象代數(shù)的創(chuàng)始人。利用置換群，伽羅瓦使人 們從偏重“計(jì)算”研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛谩敖Y(jié)構(gòu)”觀念研究的思維方式，他引進(jìn)了止 規(guī)子群、兩個(gè)群同構(gòu)、單群與合成群等概念，成功的解決了代數(shù)方程是否可用根式求解 的問題。然而，這種新的思維方式當(dāng)時(shí)并未引起人們足夠的重視。直到1846年劉維爾 出版了伽羅瓦的手稿，他的這種思想方法才逐漸被接受，并產(chǎn)生了重要的影響。柯西在1844-1846年間，寫了一大批文章全力研究置換群。他把許多已有的結(jié)果系 統(tǒng)化，證明了伽羅瓦的斷言：每個(gè)有限置換群，如果它的階可被一個(gè)素?cái)?shù)p除盡，就必 定至少包含一個(gè)p階子群。他還研究了 n個(gè)字母的函數(shù)在子母交換下所能取

14、得形式值（即 非數(shù)字值），并找出-個(gè)函數(shù)，使其取給定數(shù)口的值。置換群的理論（主要指伽羅瓦的 工作）在1870年由若爾當(dāng)整理在他的置換與代數(shù)方程之中，他本人還發(fā)展了置換 群理論及其應(yīng)用。伽羅瓦在這方面的工作現(xiàn)已經(jīng)發(fā)展成為代數(shù)學(xué)中一種專門的理論伽羅瓦理論。 在兒乎整整一個(gè)世紀(jì)，伽羅瓦的思想對代數(shù)學(xué)的發(fā)展期了決定性的影響。伽羅瓦理論被 擴(kuò)充并推廣到很多方向。戴德金曾把伽羅瓦的結(jié)果解釋為關(guān)于域的子同構(gòu)群的對偶定 理。隨著20世紀(jì)20年代拓?fù)浯鷶?shù)系概念的形成，徳國數(shù)學(xué)家克魯爾推廣了戴徳金的思 想，建立了無限代數(shù)擴(kuò)張的伽羅瓦理論。伽羅瓦發(fā)展的另一條路線，也是由戴德金開創(chuàng) 的，即建立非交換環(huán)的伽羅瓦理論，并

15、成功地建立了交換域的一般伽羅瓦理論。伽羅瓦 理論還特別對尺規(guī)作圖問題給出完全的刻畫。中國數(shù)學(xué)家在抽彖代數(shù)學(xué)的研究始于30年代。當(dāng)中已在許多方面取得了有意義和 重要的成就，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。華羅庚先生于1930 年12月出版的科學(xué)15卷2期上發(fā)表文章蘇家駒之代數(shù)的五次方程式不能成立之 理由而得到熊慶來推薦稱為清華大學(xué)數(shù)學(xué)系的助理員，由此為起點(diǎn)而打開了通往抽彖 數(shù)學(xué)研究的大門。綜合看來，置換郡論研究起源于代數(shù)方程論的研究，代數(shù)思維方式的轉(zhuǎn)變是其產(chǎn)生 與發(fā)展的重耍原因。雖然起步較晩，但是發(fā)展迅速。通過“數(shù)計(jì)算”的研究向“符號結(jié) 構(gòu)”觀念的研究的轉(zhuǎn)變，為置換群論在解決實(shí)際問

16、題上的應(yīng)用的推廣起到了非常關(guān)鍵的 _jlhuojp* o2預(yù)備知識2. 1基本概念2.1.1群的概念定義 我們說，一個(gè)不空集合g對于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群，假 如(1) g對于這個(gè)乘法來說是閉的；(2) 結(jié)合律成立：a(bc) = (cib)c對于g的任意元a, b, c都對；(3) g里至少存在一個(gè)左單位元e,能讓ea = a對于g的任何元a都成立；(4) 對于g的每一個(gè)元a,在g里至少存在一個(gè)左逆元a",能讓aa = e2.1.2相關(guān)基本定義排列與置換是代數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要概念，在很多科學(xué)領(lǐng)域，比如計(jì)算機(jī)科學(xué)、應(yīng)用數(shù) 學(xué)以及概率統(tǒng)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。在計(jì)算機(jī)科學(xué)屮，排列與

17、置換常用于算法分析，比如 在插入排序、選擇排序、氣泡排序等許多基本的排序算法中排列與置換起著重要作用。 而在置換群中我們町以找到與之相對應(yīng)的概念，從而更容易通過研究得到相關(guān)的結(jié)論。定義1設(shè)m二1,2,，n, 訥,我們以(也，人)表示集合m的一個(gè)s-輪 換,即把a(bǔ)變到2變到，is變到a，而把m中其余元素保持不變的置換。并稱 2-輪換為對換問。排列的奇偶性是定義行列式的概念時(shí)不可缺少的，在計(jì)算行列式或算法分析時(shí)也常 用到排列的奇偶性。而置換的奇偶性是研究置換群的一個(gè)重要工具。定義2奇數(shù)個(gè)對換之積叫做奇置換，偶數(shù)個(gè)對換之積叫做偶置換。奇置換與偶置 換z間存在一一對應(yīng)，因此各有加/2個(gè)何。定義3設(shè)h是

18、群g的一個(gè)子群，h在g中的全體左(右)陪集組成的集合的基數(shù)，叫做h在g中的指數(shù)，記做g:h叭定義4 g是一個(gè)群,x是一個(gè)非空集合。g中每個(gè)元素g都對應(yīng)x的一個(gè)映射：兀t g兀， xe x ,若滿足法則：(1) e(x) = x ；(2) (gg2)(x)= gl(g2(x)；其中e是g的單位元，4，g2wg, xex，貝稱群g作用在集合x上。g作用于x上的充 分必耍條件是，g同態(tài)于x上的一個(gè)置換群。定義5 g是一個(gè)群，取x=g。對任意的gwg,兀wx,規(guī)定g(x) = gxgl ,稱g(x)為x在群g上的共轆變換。元索gxg"稱為x的共軌元。定義又對任意的8|，&2丘6, x

19、g ,有(1) e(x) = exel = x ；(2) (g&)(兀)=(&&)兀(g&f =®(g2xg2“)g=gi(g2(o)o所以共軌變換定義了群g在集合g上的一個(gè)作用，稱為共軌作用麗。定義6設(shè)群g作用在集合x上，xgx o稱x的子集ox =gxgeg為x在g下的軌道。如果x木身是一個(gè)軌道，則稱群g在集合x上的作用是傳遞的。定義7設(shè)群g共轆作用于其自身，xggo易知，0x = g(x) i g w g = gxg j i g w g,ifugx=g egg(x) = x=g wgigxgt =x =g eggx = xg所以a由所有與x共軌的

20、元素組成，a由所有與x町交換的元素組成。通常稱a為 x所在的共軌類，稱g,為x的中心化子，記做cu)o并月冇igi=g:c(x)。x定義8設(shè)群g作用在集合x上，gwg, xex o(1) 如果gm = x，則稱x為g的一個(gè)不動點(diǎn)。g的全部不動點(diǎn)的集合稱為g的不 動點(diǎn)集，記做行。(2) 如果對任意的gwg,都有g(shù)(x) = x,貝i稱x為g的一個(gè)不動點(diǎn)。g的全部不動 點(diǎn)的集合稱為g的不動點(diǎn)集，記做厲。定義9現(xiàn)在研究s”屮元索的共轆分類。設(shè)cre5，設(shè)將(唯一地)表示成沒有公 共元素的輪換之積。如果其中長為r的輪換共有人個(gè)，其中15廠5。則稱置換b的型 為1忖於。例：s?中的置換(1 2 3)(4

21、 5)的型為i2213,40506070 9 o當(dāng)人=0時(shí)，即b中沒有長為i的輪換,可略去。則例了里面b的型為27。2.1.3特殊的群定義1g的一個(gè)非空子群u稱為g的一個(gè)子群，如果u對于g的乘法是一個(gè)群。等價(jià)于, 對所有的%,)隹，廠和才 都在u中。把u是g的子群記為u<g o進(jìn)一步,如果u $g , 那么稱u稱為g的真子群，記為"vg。定義2集合m二1,2,，n到口身的一個(gè)一一對應(yīng)”稱為一個(gè)n階置換，簡稱為置12 n12 n換，記為<7 = (.)。其中人2，.仏分別是1,2,-, n的象。一個(gè)特殊的置換稱為單位置換，它使每個(gè)象與原象相等。一個(gè)有限集合的若干個(gè)置換作成的

22、一個(gè)群叫做一個(gè)置換群。兩個(gè)置換的乘積定義為m到m上映射的合成，即若(7、廠分別是m上的兩個(gè) 置換，則置換or定義為:(crr)(z) = cr(r(z) , m 。定義3設(shè)群g作用在集合x上，xgx o稱gx=g egg(x) = x為x在g中的穩(wěn)定子。因?yàn)間,為g的一個(gè)子群。所以也稱»為x的穩(wěn)定子群。如果 g(x) = x = xpx2,.,xn,并設(shè) g1(x) = xpi = l,2,.,n(g為恒等置換),那么 g =嚴(yán)。定義4設(shè)g是一個(gè)群，h是群g的子群，如果對每個(gè)f/ego都有ah = ha ,則稱h是 群g的一個(gè)正規(guī)子群或不變了群，記做hvg叭如果多每一個(gè)元素(d/)w

23、xx x都恰存在一個(gè)gwx使g(q = b ,那么稱g在x上的 作用是正則的。如果'是g的正則作用在x上的正規(guī)子群，那么n稱作g的正則正規(guī)子群。定義5群g的單位元子群刃和群g木身都是g的正規(guī)子群，這兩個(gè)正規(guī)子群稱為g的 平凡正規(guī)子群，如果g只有平凡的正規(guī)子群的群，且gh£,則稱g為單群。2.1.4置換群特例：對稱群和交錯群定義1 一個(gè)包含n個(gè)元的集合的全體置換作成的群叫做n次對稱群，用s”來表示。 定義2 n個(gè)元素的集合m二1,2, ，n的全體偶置換組成s“的一個(gè)子群叫做n次交 錯群叫用人表示，并口ia”|=*is=*!2. 2基本性質(zhì)定理1每一個(gè)置換可表示成互不相交的輪換的

24、乘積，口若不計(jì)次序，分解是唯一的9o證明：b = b02q$, cy = 5®，o-1a2.(rj = r1r2.rj1) 可以表示成互不相交的輪換之積。歸納證明。2) 唯j性。假設(shè)b = bsqs, b =5。令x=g(t2q$, 丫 = 昭2.升。任取jwx ,円=（“2心），加>1,證明3rzey使得= 從而x匸丫。同理yx o（9定理2每-個(gè)置換都可以表示成-些對換的乘積：（門2卩乂加仏丿皿）叭證明：（數(shù)學(xué)歸納法）1）s二3 時(shí)，心3）=（沖3）（*）；2）假設(shè)當(dāng)s二k吋命題成立，即4 i2 . ik） = （/1 g 心）（人2）;3）當(dāng) s=k+l 時(shí)，（a i2

25、. +】）=（并 4+i）qi i2 4）= （a l+i）（a k 4）o綜上，命題得證。定理3同一置換的不同分解式屮對換的奇偶性是確定的。當(dāng)s為奇數(shù)，g i2 . z；）是 偶置換；當(dāng)s為偶數(shù)，（z i2 . z；）是奇置換問。定理 4 若qws”，則 0（也,=（&（，） a©2）a（i$）。證明：設(shè)l<i<s不在q（0 ,處2）,。億）中出現(xiàn)，貝不在“2,is中出現(xiàn), 因止匕©恣一匕）=aai） = i。因此2 不改變處1）嶇）心）以外的文字。由于 araa（i>j） = a（ij+l）對 1 <j< 廠成立且 araai） =

26、 命題成立。定理5長為s的輪換<7 = （/. i2 .卩的階數(shù)為s。證明：對輪換中的任意元心，其中m=l,2,s-1,有=,"億）=人。因此經(jīng)過s-m次變換變?yōu)樵僮儞Q一次變?yōu)?最后再經(jīng)過曠1次變換a變?yōu)樾模唇?jīng) 過s次變換把任意心變回心，di ,所以長為s的輪換的階數(shù)為s。定理6設(shè)任意長為n的置換b = （12.zi）,冇= o證明：由定理5,得到=i。所以cr1 = cr-1 = lox = （j'1 o命題得證。3置換群的性質(zhì)3.1置換群的生成方法關(guān)于群的二元生成的研究，最早追溯到六i 年代，其中特別提到steinberg的工作, 歲后，有緣有限典型群的二元生成，

27、成了人們工作的重點(diǎn)。高有、游宏的文標(biāo)志著有限 典型群的二元生成的研究基木結(jié)束。rtr丁置換群與典型群在群論中具有同等重耍的地 位，這是我們考慮置換群的二元生成問題，特別是對稱群和交換群的二元生成問題。3.1.1對稱群的二元生成定理1當(dāng)772時(shí)，s可由(1 2), (1 3),，(1 71)這n-1個(gè)對換生成。證明：(數(shù)學(xué)歸納法)1) n二3 吋，(1 2 3) = (1 3)(1 2)；2) 假設(shè)當(dāng)n二k時(shí)命題成立,即(12m) = (1炕(1 1).(12)；3) 當(dāng) n二k+1 時(shí)，(12.£ + l) = (l£ + l)(12.£) = (lk + l)(

28、lk).(12)。綜上，命題得證。定理2當(dāng)n>2w, s”可由(1 2), (2 3),，(n-1 «)這葉1個(gè)對換生成。證明：由定理1,只需證明任意對換(心+ 1)可由對換(1幻表示，其中a=l,2,-,n-l； k=2, 3,，n。由(° a +1) = (1 d)(l a + 1)(1 a)矢1命題成立。定理3設(shè)任意長為n的輪換b = (12.)，對換r = (l。)，其屮a<n o當(dāng)時(shí), ”和廠是置換群s “的生成元。證明：(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)乞是由<7和。生成的s”的了群。1) n=2時(shí)，驗(yàn)證h2 = s2,命題成立。2) 假設(shè)n二k時(shí)成立,即hk=

29、sko3) 當(dāng) n=k+l 時(shí)，證明 hjt+i = sr+i o因?yàn)?2 3 r +1) = (1 2)(1 2 r +1) w hk(1 k + l) =伙+ 1 r 1)(2 3. £ + 1) = (1 2 . £ + 1)*(2 3 r +(1 2. k) = (l k + l)(l 2. k + v)whk“由 2)知(la)、(1 2 . k)生成耳。因此skh屮，且(im 如。而由定理一知(12), (1 3),，(1m)是s “的生 成元,故hk+l =sk+1 o命題得證。定理4設(shè)任意長為n的輪換<t = (12. n),對換j=(gq + 1),

30、其屮os。當(dāng)n>2 時(shí)，和匚是置換群s”的生成元。證明：由定理2,任意s“中置換可分解為對換(qq + 1)的乘積。乂因?yàn)橐襝r-1 = o-w_，所以j ="心刁=久心=曠七“”-2 =嚴(yán)比嚴(yán)曲。命題得證。3.1.2交換群的二元生成定理1當(dāng)“a3時(shí)，全休長為3的輪換形成九的一個(gè)生成元系。證明：設(shè)廠h1是偶置換，則廠是偶數(shù)個(gè)對換z積。從而只需證任意兩個(gè)對換z積可 用長為3的輪換表示即可。對于r = (/ j)(r 5),其中心八 心幾 如果(/j) = (r5),則 r = l o 如果 j = r , &s ,則"(j s j)。如果 i, j, r, s

31、兩兩不等，貝ijt = (r i s)(i j r) 0 命題得證。定理2當(dāng)n>3時(shí)，人可±(1 2 3), (1 2 4),，(1 2 n)這2個(gè)3-輪換生成。證明：由于九是由全體長為3的輪換生成的。只需證明任意一個(gè)3-輪換(z j k)可 由3-輪換(12r)生成。因?yàn)?i jk) = (jki) = (ki j)9只需考慮以下三種情況:1) 若 i, j, k 中有 1 和 2,則(1 k 2) = (1 2 k)( 2 k)；2) 若i, j, k中只有1或2,不妨設(shè)只有1,則(1 )= (1r2)(12 )(12燈;3) 若 i, j, k 中無 1 和 2,則(ij

32、) = (lz 2)(1 2)(1 j 2)(1 2 i) o綜上，命題得證。定理3當(dāng)72>3時(shí)，人可由(1 2 3), (2 3 4),，(n-2 n-l n)這口-2個(gè)3-輪換生 成叫證明：由定理2,只需證明任意對換(dd + ld + 2)可由對換(12幻表示，英中 a二 1, 2, n2； k二3, 4, n。由(2 1o) = (12d)(12a)(a a +1 a + 2) = (2 1 a)(l 2 a + 2)(2 1 a +1)(1 2 a)矢口命題成立。定理4設(shè)任意長為n的輪換<t = (1 2. n), 3-輪換2(12 3)。當(dāng)23時(shí)，和廠是 交錯群人的生成

33、元陽。證明：由 2. 1.2 定理 4 知，<tqt=(2 3 4) ,<722 = (3 4 5),，an-2rcy-2 =(n-2 n-ln), arcy =n- n 1), antan = (/i 1 2)。乂由定理 3, a” 是由3-輪換t = a <7-1 a-2)生成。命題得證。3.1.4結(jié)論由于置換群具有表示抽象結(jié)構(gòu)的功能，我們可以把以上結(jié)論推廣到一般，不再局限 于集合中的“數(shù)”，而更多的關(guān)注集合中各元素的“結(jié)構(gòu)”，從而得到以下結(jié)論。結(jié)論一當(dāng)心時(shí)，s“可由(沖2)，(心)，(")這葉1個(gè)對換生成，其中沖2,乙 是1,2, n的一個(gè)排列。結(jié)論二 當(dāng)n&

34、gt;2時(shí)，s”可由(和2)，(譏)，, o)這n-l個(gè)對換生成，其中 a，“；是1, 2,n的一個(gè)排列。結(jié)論三 設(shè)任意長為n的輪換b =對換乙 w),其中as,帚2,，2；是1,2,-, n的一個(gè)排列。當(dāng)n>2時(shí)，和匚是置換群s “的生成元。結(jié)論四設(shè)任意長為n的輪換b =(a i2 . in),對換ra = (iaj ,其中a<n,也，,s是1,2, n的一個(gè)排列。當(dāng)心2時(shí)，b和匚是置換群s“的生成元。結(jié)論五當(dāng)n>3時(shí)，人可由(w)，(w ，(也必)這n-2個(gè)3-輪換生成, 其中是1,2,，n的一個(gè)排列。結(jié)論六當(dāng) n 3時(shí),人可由4 2，3），（，2 h，4），&一

35、2 h g這n-2個(gè)3-輪換生 成，其中也，仃是1, 2,n的一個(gè)排列。結(jié)論七設(shè)任意長為n的輪換& = 4 i2 . /；）, 3-輪換工=仏1爲(wèi)），其中a<n-, 帚2，幾是1, 2,n的一個(gè)排列。當(dāng) a3時(shí)，o和。是交錯群a”的生成元。3. 2置換群的軌道問題定理1設(shè)h是群g的一個(gè)了群，那么ah =hf ah與hz間存在一個(gè)一一映射叭證明：作映射（/>:ah -> h心h ,顯然0是滿射。設(shè)h嚴(yán)it?,則有ah = ah2,則0是單射。所以0是映射，故有ah =ho命題 得證。定理2 （lagrange定理）設(shè)g是有限群，h是g的子群，貝ljg= g:hh8o證明

36、：因?yàn)間是有限群，h在g屮的左陪集個(gè)數(shù)必有限，假設(shè)g關(guān)于h的左陪集分 解為g = a】h <ju2h 5.2其屮k = g:ho由定理1得到cith 1=1 h i, i =又因?yàn)樽笈慵纸庵械母鱾€(gè)左陪集兩兩不相交，因此命題得證。定理3設(shè)群g作用在集合x上，則（1）對任意的兀wx, 0*與0），或者完全相同，或者沒有公共元素；（2）x是一些不同軌道的并x=uax,其中，x取遍不同軌道的代表元素；（3）如果x為有限集，則1x1二£loji=其中，兀是不同軌道的代表元索。證明：（1）設(shè)qcovh0。任取zwqcoy,貝!j存在弘弘“，使g|x = z = g2）。所以冇由此得到0宀

37、0,。同理可證所以0, =。、,。（2）因?yàn)閷θ我獾膞ex ,有xeoxf所以x = u。，xex o在上式中去掉重復(fù)的軌道，則由（1）得到結(jié)論。（3）設(shè)o“,0七,，匕為全部不同的軌道，貝i1=1 ,因?yàn)閛 xjcoxj=0 （i工j）,所以1x1 二 £loji=lo綜上，命題得證。定理4設(shè)群g作用在集合x上，exo則0：。宀 g/gx gx ggx為a到g/g,的一一對應(yīng)叭證明：（1）izg = g2x ,貝lg2glx = x ,所以 g2g ggv,從而 ggx = g2gx 0 由此得到0是g到g/g,的映射。（2）對任意ggxeg/gxf有g(shù)xeox9使得0（加）=心所

38、以0是q到g/g,的滿射。（3）設(shè)如果 0（g|x）= 0（g2%），bp = g2gx，則 g2-1, egv,所以&2一切兀=尤，由此得到臚=&2兀，所以0是g到g/g,的單射。綜上，得到0是q到g/g,的一一映射。命題得證。由此定理我們得到，當(dāng)g為有限群是，每個(gè)軌道q.僅有有限個(gè)元素，且io=igi/igvi。定理5設(shè)有限群g作用在有限集合x上，兀w x。貝u（1）（軌道公式）ighoj.igj；ixi=£g:gj,其中兀取遍不同軌道的代表元素。/=1證明：根據(jù)定理4得到。定理6 （伯恩賽德（burnside）引理）設(shè)有限群g作用在有限集合x ±, n

39、表示x 在g的作用下的軌道數(shù)。則其中，丨化i表示g的不動點(diǎn)的個(gè)數(shù)。證明：對任意的xgx , gwg,定義（g，兀）二'如果 g（x） = x； 如果g（兀）h x.由定義知ifj=工 （g,x）xexig,l=/（g,x）ix 匸工（2（g，x）=s（工5（g，x）=工ig_jgwggeg xgxxgx gwgxex如果xeoxi ,則ox = 0xi,從而所以，如果兀,兀2,心為n個(gè)軌道的代表元素，則l=ig, l =igi = nlgixwxi=l由此得n =y 1 f 1igi急"o命題得證。3. 3置換群的型ig=igiigi=igv i定理 對稱郡s”中連個(gè)置換共軌

40、的充要條件是它們有相同的型。證明：設(shè)曠和”是s“中兩個(gè)置換。如果o和cr共轆，貝ij存在qws”使得=0一、， 將<7表示成無公共元素的輪換之積：(y = (a b c).(a p ./) o 則<y -= (r(a) r(b) .t(c).(r(«)(0) .r(/) 0這是因?yàn)?化盯")(訊0) = (q)(q) = r(cr(a) = v(b)即當(dāng)o把a(bǔ)變成b吋，把(a)變成廠), 丁是o和o有同樣的型?，F(xiàn)在設(shè)o和o有同樣的型：(j = (abp ./), cr = (ah0./ )。a b . c a 0 丫、令r =( . -.，q，),則q廠=cr。

41、命題得證。a b . c. a p . y例 求s4的所有共輒元素類。以1嘰於表示s”中型為1尬於的全部置換(1人+2人+ % ”)組成的共覘元素類。答:14:/(恒等置換)1吩:(1 2),(1 3),(1 4),(2 3),(2 4),(3 4).13: (1 2 3),(1 3 2),(1 2 4),(1 4 2),(2 3 4),(2 4 3),(1 3 4),(1 4 3).22：(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3).4':(1 2 3 4),(1 2 4 3),(1 3 2 4),(1 3 4 2),(1 4 2 3),(1 4 3 2).3.

42、4置換群的子群定理1當(dāng)h5時(shí)，交錯郡九是單郡。證明：設(shè)1工川1人，我們分兒步證明n = ano1) n中必包含一個(gè)元素是長為3的輪換。事實(shí)上，設(shè)twn,并且b將%“ 小盡可能多地兀素保持不動。我們證明c恰好變動3個(gè)，從而必是長為3的輪換。首 先，cr至少變動3個(gè)q (因?yàn)橹蛔儎觾蓚€(gè)q的為對換，而對換是積置換不屬于觀)。現(xiàn) 在把7寫成沒有公共元索的輪換之積，并且把最長的輪換寫在左邊。若7恰好變動4個(gè) , 貝i7 = (°禺2)(。3勺)。 由于 n5 , 從而 0 = (。3。4。5)丘觀， 而 6 =卩邙 1 =(叩2)(%5)wn，于是6t| = (a3a4)(a4a5) = (a

43、3a4a5) g n ,即是長為 3 的輪換。 若b至少變動5個(gè)勺，則又分三種情形考慮：11) o包含長度 14 的輪換,即(j = (aa2a3a4.). 0 取 0 = (a3a4a5)ean ,則 5 =0妙"二厲勺)丘川，而冷5時(shí),cr(a.) = cr1(ai),從而n中“戶至多變動4 個(gè)也，這與b變動也個(gè)數(shù)的極小性矛盾。22) b中輪換最大長度為3,則7 = (%2。3)(%5),由于o至少變動5個(gè)坷,從 而7不是長為3的輪換。因此這樣的7至少變動6個(gè)色。取0 = 2。3偽)丘九，則 t| =陽曠=(aia3a4)(a2a5.).en ,而n中置換至多變動5個(gè)勺，這又導(dǎo)致

44、矛盾。33)設(shè)ct是一些對換之積：7 =(冷2)(%4)，它至少變動6個(gè)務(wù)。取p = (a2a3aj e 4 , 則°=00j=(cg)(*2)wn,而)只變動4個(gè)勺，孑盾。綜合上述，可知n中包含元素是氏為3的輪換。2) 再證：所有長為3的輪換均屬于n。由于1)中已證有長為3的輪換屬于n。 現(xiàn)設(shè)b是人中任意一個(gè)長為3的輪換，由于b和b有同樣的型，從而有resn使 (j = t (jt °若&丘4?，則(t e n °若廠* 4?，即廠為奇置換,由于"a 5 , 口j知b至少固 定兩個(gè)文字，不妨設(shè)是和勺。令0 =(%2)，則卩“郵,于是 (0門g(

45、0r) = “0 'o/?r = r 'crr = cr 0而肛w a從而乂得到wn。于是n包含所有 長為4的輪換。3) 根據(jù)3.1.3定理1,全部長為3的輪換生成人。因此n =,即人為單群(n>5)o命題得證。定理二當(dāng)n>5時(shí)，九是s”的唯一非平凡正規(guī)子群。證明：已知a<s”。另一方面，設(shè)1hn<s”。如果n",則n <人，由3.4 定理1知n =人。如果n包含奇置換，則n c人v & ,并且an/nr>an=nafl/n=stl/n 0 于是但是<觀，乂由定理知nca,為九或。若ncafa,則,從而n = sno若

46、nca嚴(yán),則ini=2。易證n>5時(shí)s“不可能有2 階正規(guī)子群。從而只能n = sn或九，即九是s”的唯一非平凡正規(guī)子群。命題得證。4置換群的應(yīng)用4.1置換群在對稱上的應(yīng)用4.1.1對稱研究的歷史自然界中充滿了對稱的現(xiàn)象?，F(xiàn)實(shí)世界的種種對稱現(xiàn)象總是以某種方式與置換群相 聯(lián)系。置換和置換群很好的刻畫了藝術(shù)創(chuàng)作和科學(xué)研究屮的齊種對稱現(xiàn)象：幫助藝術(shù)家 設(shè)計(jì)和創(chuàng)造美妙的圖案，物理學(xué)家確定晶體的種類，化學(xué)家研究分子內(nèi)部的結(jié)構(gòu)。1962 年，物理學(xué)家格爾曼和尼曼應(yīng)用置換群的理論預(yù)言，存在著一種被稱為。-負(fù)粒子的新 粒了，兩年后這個(gè)預(yù)言在實(shí)驗(yàn)室里被證實(shí)。根據(jù)cayley定理，每一個(gè)有限群都同構(gòu)于一個(gè)置

47、換群。我們可以把置換群理論應(yīng) 用到生活小的各種例子里。粗略的地考察一年東西方數(shù)學(xué)的發(fā)展倆哈斯就會發(fā)現(xiàn)，一元n次方程和各種正規(guī)圖 形是人類自古以來共同的研究目標(biāo)麗o4. 1.2幾何對稱任何一種集合對稱性都可以理解為一種運(yùn)動，物體通過這種運(yùn)動保持圖形或形狀不 變。定義使圖形不變形的變到與自身重合的變換稱為這個(gè)圖形的對稱變換。一個(gè)圖形 的一切對稱變換關(guān)于變換的乘法構(gòu)成群，這個(gè)群稱為這個(gè)圖形的對稱變換群叫一個(gè)圖形的對稱變換群可以用一個(gè)置換群表示。置換群可以很好地反映圖形的對稱 性質(zhì)，是研究圖形對稱性質(zhì)的有力工具。圖形的旋轉(zhuǎn)和反射都可以根據(jù)軸對稱和點(diǎn)對稱 看作頂點(diǎn)的置換。由此我們得到兒何圖形的對稱變換群

48、。例1表示梯形對稱變換的置換群。為了用置換表示梯形的對稱變換，用數(shù)字1、2、3、4表示梯形的四個(gè)頂點(diǎn)。由圖4.1可以看出，梯形的對稱變換只有兩個(gè):(1) 恒等變換；(2) 關(guān)于直線l的反射(1 2)(3 4) 0得到表示梯形對稱變換的置換群為% = (1),(1 2)(3 4)。例2表示正方形的對稱變換的置換群。由圖4.2,正方形的對稱變換有兩種：(1) 繞中點(diǎn)o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的變換(1 2 3 4)、旋轉(zhuǎn)180。的變換(1 3)(2 4)、旋 轉(zhuǎn)270。的變換(1 4 3 2)、旋轉(zhuǎn)360°的變換；(2) 關(guān)于直線l1的反射(1 2)(3 4).關(guān)于直線l2的反射(14

49、)(2 3)、關(guān)于直線l3 的反射(13)、關(guān)于直線l4的反射(2 4)o得到表示止方形對稱變換的置換群：h2 = (1),(1 3),(2 4),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3),(1 2 3 4),(1 4 3 2)一般的，正n邊形(n>3)的對稱變換群是s “的一個(gè)子群，記作d“，稱為二面體 群。易知，正n邊形有n個(gè)旋傳(包括恒等變換)和n個(gè)反射，所以二而體群的階數(shù)是 2no例3表示正四面體對稱變換的置換群。1圖4. 3止四面體由圖4. 3,正四面體的對稱變換有三種：(1) 恒等變換;(2) 繞任一條過頂點(diǎn)及其對而屮心點(diǎn)的軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°

50、; , 240°的變換 (2 3 4),(2 4 3),(1 3 4),(1 4 3),(1 4 2),(1 2 4),(1 2 3),(1 3 2)；(3 )繞任一條過正四面休對邊中心的軸旋轉(zhuǎn)180 °的變換 (1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。得到表示正四面體對稱變換的置換群是四次錯群比。我們知道總共存在五種正多面體。除了正四面體，還有正方體、正八面體、正十二 面體和正二十面體。例4求立方體對稱變換群的階數(shù)。解：設(shè)立方體的六個(gè)面按上下、左右、前后依次編號為®、帀2、勺、心、帀5、。令x 龍,龍2 9兀39兀4，龍5，兀6 

51、6;立方體的每一個(gè)旋轉(zhuǎn)都導(dǎo)致了x的一個(gè)變換。這就定義了g在x上的一個(gè)作用。由3. 2定理五易知,ioj= x, ig腫4。所以igi=iojigj=24。通過例四的方法，求得這幾個(gè)正多面體的對稱變換群的階數(shù)分別是24、24、60、60, 分別是四次對稱群和五次交錯群。止是這個(gè)止十二面體(二十)面體對稱群的構(gòu)造決定 了一般五次方程不能用根式表示解的重要定理。正十二面體正二十面體圖4.4其它止多面體由此得到結(jié)論，一個(gè)圖形的對稱變換群階數(shù)越高，圖形的對稱程度就越高。我們可正六面體正八面體以運(yùn)用置換群來刻畫圖形的對稱性，從而得到他在現(xiàn)實(shí)生活中更加廣泛的應(yīng)用。4.1.3代數(shù)對稱對于一元n次方程f + q

52、門+. + q。= 0 ,簡潔解析公式表示方程根的問題可以誰說經(jīng)歷坎坷。人類從研究遺愿線性方程到一元四次方程盡管遇到了各種困難，但最 后還是取得了預(yù)想的結(jié)果。表4.1從一次方程到四次方程的根表示n方程根公式形式1ax+ b = 0(dho)hx = a2ax + bx + c = 0 (qho)%)2 = (_b ± j 4qc ) 2a3x3-=0x, = 1x2= cdx= (1 + iy/3)兀3 = = (1 z>/3)23x3 + hx2 +cx + d =(b令兀=y得)'+py + g = 0y 嚴(yán)+才鷗）2+即 +/_2_2）2+（3）3l羈+掙+占-於

53、+（夕兒=站尋+j伊+（f）3 +彳-計(jì)j伊+（夕4432x + a3x + a2x +e四次方程的4個(gè)根與線而兩個(gè)二次方曾的4個(gè)根完全相同x2 +（色 + 占-4（79） + （y + ,） = 0x +（。3 丁8+。3 4。2）+（y1-；）-0上式中的y是三次方程8/ 一4a2y2 + （2cg -8a0）y + aq（4a2-a；）-a = 0 的任根然而從一元五次方程開始，盡管一大群最頂尖的一流學(xué)者都投入了大量精力和時(shí) 間，但根的解析表示依然像一道無限高的屏障，眉然不動，攔住了人們的前進(jìn)道路。挪 威天才數(shù)學(xué)叫阿貝爾19歲就銷定決心要攻克一元五次方程根公式表示這一世界難題。 阿貝爾的

54、論文論方程的代數(shù)解中指出：“代數(shù)屮最有趣的問題z是求方程的代數(shù) 解。因而我們發(fā)現(xiàn)幾乎所有卓越數(shù)學(xué)家都涉獵過這一課題。我們能夠很容易地得出前四 次方程根的一般表示公式。發(fā)現(xiàn)了解了這些方程的同意方法，人們相信它也能應(yīng)用到任 意詞的方程上。但是，靜觀拉格朗日和其他杰出數(shù)學(xué)家進(jìn)了一切努力，預(yù)期的目的都沒 有達(dá)到?！焙颓拜呁耆煌?，阿貝爾在1825年的論文張明確指出，用代數(shù)方法不可能解 一般一元五次方程。同時(shí)，他還指出這一工作的可能途徑：1）找出所有任意給定次數(shù)的代數(shù)可解方程；2）決定一個(gè)已知方程是否代數(shù)可解的條件。阿貝爾在這一方面表現(xiàn)出的醉倒革命性創(chuàng)新思想是一一他給出了一元五次方程代 數(shù)解的一個(gè)否定性

55、結(jié)果。這時(shí)°,與阿貝爾同時(shí)代的法國青年伽羅瓦最終圓滿的解決了一 元五次方程無根式解得問題。定義 設(shè)f(xpx2,.,xj是數(shù)域k上的一個(gè)n元多項(xiàng)式。如果集合x=xx2,.,xj的一 個(gè)置換保持多項(xiàng)式不變，則稱這個(gè)置換為多項(xiàng)式f(心兀2,心)的一個(gè)對稱變換。易知， 多項(xiàng)式fy,®心)的全體對稱變換關(guān)于變換的合成構(gòu)成s”的一個(gè)子群，這個(gè)群稱為多 項(xiàng)式f(xpx2,.,xw)的對稱變換群。例1設(shè)f(x,兀2,e)是數(shù)域k上的一個(gè)n元多項(xiàng)式。則多項(xiàng)式fo“2,，£)的對稱變 換群等于s”的成分必耍條件是fg,兀2,心)是n元對稱多項(xiàng)式叫例2表示多項(xiàng)式k +花-兀3-兀4對稱變換的置換群。解：由于多項(xiàng)式兀1 +兀2 -尤3 -無4的任一置換最多只能將兀1與兀2或兀3與兀4互換。所以多項(xiàng)式e +吃-兀的對稱變換群g是由(1 2)與(3 4)生成的群，即g=<(1 2),(3 4) >。從而得到表示州+七-兀3-勺對稱變換的置換群是g = (1),(1 2),(3 4),(1 2)(34)。由此得到結(jié)論，一個(gè)多元多項(xiàng)式的置換群階數(shù)越高，這個(gè)多元多項(xiàng)式的對稱性越強(qiáng)。 因此，多元對稱多項(xiàng)式是對稱性最強(qiáng)的多項(xiàng)式。例3分解函數(shù)f(x1,x2,x3) =彳兀2 + x1x2 +彳兀3 + xx3 + x2x3 +