(word完整版)2015年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1卷(理)試題及答案word版,推薦文檔

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分第I卷 1 至 3 頁(yè)，第n卷 3 至 5 頁(yè).2答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試題相應(yīng)的位置3全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回第I卷一. 選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足= i，則| z| =1 z(A)1(B)2(C)、3(D)2sin20cos10 con160sin 10 =(A)弓2(B)F2(C)2(D)12設(shè)命題 P:2nn

2、 N，n 2，則 P 為(A) nN，n22n(B) nN，n2 2n(C) nN，n20,錯(cuò)誤!未找到引用源。(I)求an的通項(xiàng)公式：(n)設(shè)錯(cuò)誤!未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤!未找到引用源。的前 n 項(xiàng)和(18) 如圖，四邊形 ABCD 為菱形，/ ABC= 120,E, F 是平面 ABCD 同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE 丄平面 ABCD,DF 丄平面 ABCD, BE= 2DF , AE 丄 EC.(1) 證明：平面 AEC 丄平面 AFC(2) 求直線 AE 與直線 CF 所成角的余弦值BC(19) 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi) x(單位：千元)對(duì)年 銷售量 y(單位

3、： t)和年利潤(rùn) z(單位： 千元)的影響， 對(duì)近 8 年的年宣傳費(fèi) Xi和年銷售量 yi(i =1, 2, ，(10)(A)108)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值 .(I)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y= a+ bx 與 y= c+ dd 哪一個(gè)適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣 傳費(fèi) x 的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(n)根據(jù)(I)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 X 的回歸方程；(川)以知這種產(chǎn)品的年利率 z 與 x、y 的關(guān)系為 z= 0. 2y x.根據(jù)(n)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：(i )年宣傳費(fèi) x= 49 時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？(ii )年宣

4、傳費(fèi) x 為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(U1vi)，( U2V2). ( UnVn)，其回歸線 V=U 的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：n_(Uiu)(ViV)i 1_n_(Uiu)2i 1(20)(本小題滿分 12 分). . .x2, , . ”在直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線 C： y= 與直線 I: y= kx+ a(a0)交于 M，N 兩點(diǎn),4(I)當(dāng) k= 0 時(shí)，分別求 C 在點(diǎn) M 和 N 處的切線方程；(n)y 軸上是否存在點(diǎn) P,使得當(dāng) k 變動(dòng)時(shí)，總有/ OPM 二/ OPN?說(shuō)明理由.(21)(本小題滿分 12 分)1已知函數(shù) f(x) =x3ax ,

5、g(x) ln x4(I)當(dāng) a 為何值時(shí)，x 軸為曲線y f(x)的切線；r xU yITW8T(xi x)2i=18U2(Wi W)i=18T(xi x)(yii=1Uy)8(Wii=1UUW)(yiy)46.656.36.8289.81.61469108.88Wji=1表中 Wi= . Xj, ,W =-8年銷售旦里/t年宣傳費(fèi)(千元)(n)用minm,n 表示 m, n 中的最小值，設(shè)函數(shù) h(x) min f (x), g(x) (x 0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)請(qǐng)考生在(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)

6、，請(qǐng)用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑(22) (本題滿分 10 分)選修 4 1:幾何證明選講如圖，AB 是。O 的直徑，AC 是。O 的切線，BC 交。O 于點(diǎn) E證明：DE 是。O 的切線;(II )若 0A= ,3CE，求/ ACB 的大小.(23) (本小題滿分 10 分)選修 4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系 xOy 中.直線 G：x= 2,圓C2: (x 1)2+ (y 2)2= 1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(I )求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(II)若直線C3的極坐標(biāo)方程為一R，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N ，求 C2MN4的面積(24)

7、 (本小題滿分 10 分)選修 45:不等式選講已知函數(shù) 錯(cuò)誤味找到引用源。=|x+ 1| 2|x a|，a0.(I)當(dāng) a= 1 時(shí)，求不等式 f(x)1 的解集；(n)若 f(x)的圖像與 x 軸圍成的三角形面積大于 6,求 a 的取值范圍2015 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)試題答案A 卷選擇題答案一.選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足上 =i，則|z|=1 z（A） 1（ B）血（C）苗（D） 2【答案】A【答案】C【解析】p：n N,n22n，故選 C.（4）投籃測(cè)試中，每人投 3 次

8、，至少投中 2 次才能通過(guò)測(cè)試。已知某同學(xué)每次投籃投中 的概率為 0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（A0.648（ B） 0.432（C） 0.36（ D） 0.312【答案】A【解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為C；0.620.4 0.63=0.648，故選 A.(5) 已知 M （X0，y）是雙曲線C:呂2y2 1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是 C 上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若uLmrujurMF1?MF2v0,則 y0的取值范圍是(A)(仝空)(B)上）3366(C)(遼，互)33(D)(2*3T，2,3)【答案】A（6）九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著

9、，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依 垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為 8 尺，米 堆的高為 5 尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知 1 斛米的體積約為 1.62 立方尺, 圓周率約為 3,估算出堆放斛的米約有【答案】B【解析】116設(shè)圓錐底面半徑為 r，貝V 2 3r 8=r，所以米堆的體積為43(8)函數(shù) f(x)=-的部分圖像如圖所示,(A)(氏一丄.衣亠二)，k|f (b) (C) (k 一?上 + 扌)，kE z【答案】BA.14 斛B.22 斛C.36 斛

10、D.66 斛1623弓，故堆320放的米約為320十91.62疋22,故選 B.T=3BCCD- TAD=AD【答【解uuur由題知ADuiur uuu umrAC CD AC1uuu-BCuuirAC1 uuur3(ACuuuAB)1 uuu 4 uuurAB AC，故選 A.33(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kn -f2krr +7) ,k z44則設(shè) D為A(A)(C)A+-5 3 AC(B)=-vAE 3 AC(9)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的 t=0.01，貝 U 輸出的(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8【答案】C1In=(10)(疋卡玉+Y)G的展開(kāi)式中，F(xiàn) y2 的系數(shù)為(A

11、) 10(B) 20 (C) 30 ( D) 60【答案】A【解析】在(x2x y)5的 5 個(gè)因式中，2 個(gè)取因式中x2剩余的 3 個(gè)因式中 1 個(gè)取x，其余因式取2 12y,故x5y2的系數(shù)為C5C3C2=30,故選 A.(11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為 r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20 ，則 r=(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的【答案】D1cc高為 2r，其表面積為4 r2r 2r r22r

12、212.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x 1) ax a,其中a，1,2 22r=5 r 4r=16 + 20 ，解得 r=2，故選 B.若存在唯一的整數(shù) X0,使得f(x)C0,則a的取值范圍是()A.卜言，1) B.-本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題第（21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必 須作答。第（22）題第（24）題未選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分（13）_若函數(shù) f （x） =xln（x+ a x2）為偶函數(shù)，貝Ua=_【答案】1【解析】由題知 y ln（x a x2）是奇函數(shù)，所以 ln（xax2） ln（ x，a x2）22=ln（a

13、 x x ） ln a 0，解得a=1.（14） 一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓 -的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在 x 軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。T【答案】（x3）2y2竺24【解析】設(shè)圓心為（a，0），則半徑為4 |a|，則（4 |a|）2|a|222，解得a|，故圓 的方程為（x3）2y2空.24x - 1 0,（15） 若 x,y 滿足約束條件 -v0,則y的最大值為U - v - 4 0,x【答案】3【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，y是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)x連線的斜率，由圖可知，點(diǎn) A（ 1,3）與原點(diǎn)連線的斜率最大，故y的最大值為 3.x16在平面四邊行ABCD中,ZA=ZB=ZO75-

14、BC=2,則AB的取值范圍杲_解析：如下團(tuán)所示，延悵BA, CD交于點(diǎn)則可卻在比詭中，山4二10$,“，齊“屆近丄 近 石-忑丄 辰丄炕血.D x=45?,1一x+罰血15= 1與x-m=76 -F忑jn3(2n3)(18)解:(I)連結(jié) BD，設(shè) BD I AC=G，連結(jié) EG，F(xiàn)G，EF. 在菱形 ABCD 中不妨設(shè) GB=1.由 ABC=120 可得 AG=GC=、.3.由 BE 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC.又 AE EC，所以 EG=3，且 EG AC.在 Rt EBG 中，-62.BD=2，BE=、2，DF=，2二、解答題(17)解：由a；2an4& 3，

15、可知 可得an i2(an i由于 又a；所以(II)2an 12an 14Sn 13.a) 4an 1即2an(an 1a)(an 1a)11an2.3，解得a11(舍去)，a1是首相為 3,公差為 2 的等差數(shù)列，1an2(an 1an) an 1an0可得an2a14a1an由an2nbnana1設(shè)數(shù)列 bnTnb1b22(1丄(_(2n 1)(2n3)2 2n 1的前 n 項(xiàng)和為T(mén)n，貝ULbn1 1 1 13 5)(5 7)L(需1)3通項(xiàng)公式為(宀)2n 3an2n 1.可得 FE=；.從而EG；2又AC I FG G,可得 EG所以平面AEC 平面 AFCFG2EF2,所以 EG

16、平面 AFC.因?yàn)镋GFG平面 AEC可得BE=2故 DF 冷在 Rt FDG 中，可得FG=在直角梯形 BDFE 中，由(III )如圖，以 G 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 GB, GC 的方向?yàn)?x 軸，y 軸正方向,uuuGB為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系 G-xyz.由(I)可得A(0,UULT一一 ULUAE (1, 32), CF3,0), E(1,0, 2), F( 1,0,C(0, 3,0)所以_UUIL UUU_2UUU UUU.AE CF(1,3,).故cos；AE,CF】UUUUUU2fAE CF所以直線 AE 與直線 CF 所成直角的余弦值為(19)解:(I) 方程類型。 分由散

17、點(diǎn)圖可以判斷，y c d：x適宜作為年銷售量 y關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸2(II)x，先建立 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程。由于n(Wiw)( y y)i 1n(wiw)i 1dw 563 681.6所以 y 關(guān)于 wy的線性回歸方程為6.8 100.6。? 100.6 68w，因此 y? 100.6 68、X關(guān)于 x 的回歸方程為.6 分(III ) (i)由(II)知，當(dāng) x=49 時(shí)，年銷售量 y 的預(yù)報(bào)值y 100.6 68.79576.6年利潤(rùn) z 的預(yù)報(bào)值? 576.6 0.2 49 66.32。(ii)根據(jù)(II)的結(jié)果知，年利潤(rùn) z 的預(yù)報(bào)值? 0.2(100.6 68、x)

18、x x 136, x 20.12所以當(dāng)二址6.8，即 x=46.24 時(shí)，？取得最大值2故年宣傳費(fèi)為 46.24 千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大。12(20)解：2(I)有題設(shè)可得M(2、.a,a),N( 2._a,a)，或M( -2、a,a).又y =-，故y在x 2為24處的導(dǎo)數(shù)值為、a,C在點(diǎn)(2、a, a)出的切線方程為y a 、. a(x 2 . a),即. ax y a 02y 在 x 2苗，即JOI y a 0.4股所求切線方程為.ax y a 0 和 ax y a 0(III )存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè) P(0, b)為符合題意的點(diǎn)，M(x,y),N(x,y)直線 PM，PN

19、 的斜率分別為k1,k2y kx a 代入 C 的方程得 x1 24kx 4a 0.故x(x24k, x1x24a.從而kx a 代入 C 的方程得 x24kx 4a 0.故 x1x24k, x|X24a.y-ib y2b從而 kik21XiX22kx-X2(a b)(xiX2)k(a b)a當(dāng) b=-a 時(shí)，有kik20,則直線 PM 的傾角與直線 PN 的傾角互補(bǔ)，故OPM OPN 所以點(diǎn) P(0,-a)符合題意(21)解:(X0,0)則 f(X0)0, f(X0)0 即31(I)設(shè)曲線 y=f(x)與 x 軸相切于點(diǎn)x aX423x0a 0解得 x01, a24)無(wú)零點(diǎn)(22)解:(I) 鏈接 AE，由已知得，AE BC AC AB在 Rt AEC 中，由已知得，DE=DC 故