伯努利方程的應(yīng)用

1、，伯努利方程及其應(yīng)用伯努利，1738，瑞士。動能與壓強勢能相互轉(zhuǎn)換。沿流線的伯努利方程將牛頓第二定律應(yīng)用于控制體內(nèi)的流體元，沿流線切線方向整理后因為將流體元的加速度轉(zhuǎn)換成歐拉形式的加速度，沿流線的質(zhì)點導數(shù)為則導出此式為一維歐拉方程，使用下述關(guān)系將方程沿流線積分。兩邊乘以ds得：沿流線積分此式為歐拉方程的積分式，適合于可壓、無粘不定常運動。對于不可壓定常流動，則可簡化為此式為伯努利方程，三項分別表示單位質(zhì)量流體具有的動能、位置勢能和壓強勢能。即總機械能守恒。應(yīng)用伯努利方程時常采用沿流線上任兩點的總機械能值相等的形式。伯努利方程使用的限制條件（1）無粘性流體，（2）不可壓流體（3）定常流（4）沿流

2、線。加入能量損失就可適應(yīng)粘性流體。皮托（pitot）測速管：總壓強與動壓強皮托測速管又稱為皮托-靜壓管，簡稱皮托管，為紀念法國人皮托命名。皮托測速管由粗細兩根同軸的圓管組成，細管（直徑約為1.5 mm）前端開孔（O點），粗管（直徑約為mm）在距前端適當長距離處的側(cè)壁上開數(shù)個小孔（B點），在孔后足夠長距離處兩管彎成柄狀測速時管軸線沿來流方向放置設(shè)正前方的流速保持為，靜壓強為，流體密度為。粗細兩管中的壓強被引入形測壓計中，形管中液體密度。試求用形管液位差表示流速的關(guān)系式。解：設(shè)流動符合不可壓縮無粘性流體定常流動條件。從皮托管正前方點到端點再到側(cè)壁孔點的線是一條流線，點的速度和壓強分別為和，沿流線段

3、按（）式列伯努利方程+在皮托管端點，流體速度降至零，稱為駐點，稱為駐點壓強，形管右支管測到的即是駐點壓強由于，由（a）式可得上式中稱為動壓強，為流體質(zhì)點的動能全部轉(zhuǎn)化為壓強勢能時應(yīng)具有的壓強（b） 式表明駐點壓強為靜壓強和動壓強之和，故稱為總壓強由（b）式動壓強可表為 由于皮托管較細，流線上的兩點的位置差可忽略，伯努利方程為因，由上式，即形管左支通過皮托管側(cè)壁小孔測到的是當?shù)仂o壓強在形管內(nèi)列壓強關(guān)系式可得由于實際流體具有粘性及皮托管加工誤差等原因，流體動壓強轉(zhuǎn)化為形管內(nèi)液位差讀數(shù)存在誤差，需乘上一個修正系數(shù),由（c）,（d）式可得稱為皮托管系數(shù)，可通過用標準皮托管作標定測量后確定由（e）式可得

4、小孔出流：托里拆利公式及縮頸效應(yīng)從一個大容器側(cè)壁下部距離液面為h處開一個小孔，設(shè)液面水位不變，求出流速度和出流流量。解：=沿流線法向方向的速度壓強關(guān)系式由牛頓第二定律：得考慮到幾何關(guān)系，有整理，得忽略重力，得若密度為常數(shù)，則有此式為沿流線法向方向的伯努利方程，應(yīng)用條件為（1）無粘性流體，（2）不可壓流體（3）定常流（4）沿流線法向。如果流線位直線時，曲率半徑為無限大，則此式與靜壓力公式相同。沿總流的伯努利方程將伯努利方程三項機械能在有效截面A上按質(zhì)量流量積分，總機械能沿流束仍保持守恒，即以截面平均流速V代替不均勻的速度分布，引入動能修正因子。有考慮到質(zhì)量守恒，得對于一個緩變流的兩個截面，有例題

5、：Venturi管：沿總流的伯努利方程應(yīng)用連續(xù)性方程伯努利方程的意義不可壓縮粘性流體內(nèi)流管道入口流動示意圖，設(shè)管直徑為d,管口外均流速度為U。從 開始，流體在壁面上被滯止，形成邊界層。邊界層外仍保持為均流，稱為核心流。由壁面不滑移條件引起壁面附近的流速降低，為滿足質(zhì)量守恒定律，核心流流速增大，速度廓線由平坦逐漸變?yōu)橥钩?。隨著邊界層厚度不斷增長，核心流不斷加速，直至 處四周的邊界層相遇，核心流消失，整個管腔被邊界層流動充滿，此后速度廓線不再變化。稱 為入口段流動或發(fā)展中流動的速度廓線，均可通過求解N-S方程獲得。入口段的壓強損失，可利用動量方程求解。由例B4.4.1D推導得管道入口段壓強損失系數(shù)

6、為 式中p0,pL 分別為x=0和x=L 處的壓強。 稱為達西摩擦因子，它是管道形狀，雷諾數(shù) 和管壁粗糙度的函數(shù)，在充分發(fā)展定常流動中 為常數(shù)（將在C3.6中詳細討論）。（C3.2.1）式中的項為入口段中相應(yīng)于充分發(fā)展段中的壓強損失。K為入口段中特有的附加壓強損失，它由兩部分組成：將均流加速成充分發(fā)展流動所需要的壓強系數(shù)；由于入口段壁面速度廓線陡峭，壁面切應(yīng)力大于充分發(fā)展段的壁面切應(yīng)力，為克服這部分阻力差值所需要增加的壓強系數(shù)。入口段和充分發(fā)展段的壓強損失系數(shù)曲線如圖C3.2.1b(分別為實線和虛線)所示。入口段附加壓強損失K是入口段長度L，雷諾數(shù)及管道形狀因子的函數(shù)，可運用有限差分法求解N-

7、S方程獲得。根據(jù)計算的K值可估算入口段的長度L。圓管入口段長度與直徑的比值的典型公式為層流, 湍流對層流，最大的入口段長度為LMax=0.06×2300×d=138d, (Re=2300)對湍流，由于邊界層厚度增加較快，入口段長度比層流短的多Lt= (2040)d, (Re=104106)在實際的工程長管線中，如口段長度所占的比例往往是微不足道的，因此除特殊要求為其通常不予考慮，全長均按充分發(fā)展流動處理，但對一些較短的管道，則應(yīng)該考慮入口段影響。平行平板間的層流流動是N-S方程具有解析解的典型例子之一，包括固定平板間的壓差流，平板間作相對平移運動的剪切流及兩種流動同時存在的

8、一般庫埃特流。分析庫埃特流不僅有理論意義而且有工程背景，如氣體或液體在活塞表面與缸壁間的縫隙中的泄漏流動，機床中滑塊與導軌面的間隙中的潤滑油流動，及滑動軸承的軸頸和軸承的間隙中潤滑油流動等等。由于縫隙（b）很小，流動雷諾數(shù)不大，屬于層流流態(tài)，均可用簡化的無限大平行平面間的粘性流體定常層流模型來分析。 圓管湍流流動湍流尚無確切和全面的定義。湍流運動是有各種大小和不同渦量的渦旋疊加而形成的流動，在湍流中隨機運動和擬序運動并存。圓管流動沿程水頭形式的伯努利方程式推廣形式為上式中 稱為水頭損失，量綱是L。圓管流動中水頭損失由兩部分組成：（1） 沿程損失（）是沿等截面管流動時管壁粘性切應(yīng)力引起的摩擦損失

9、；（2） 局部損失(), 是由截面積變化，流動分離和二次流等局部因素引起的損失。達西公式在水平直圓管定常流動中只有沿程損失，因，由（B4.6.13b）式中可得用量綱分析法求得 實驗表明與成正比關(guān)系，習慣上用代替。稱為圓管沿程阻力因子或無量綱摩擦因子，因此上式可表為將上式代入（C3.6.1）式可得上式中稱為幾何因子，V為管內(nèi)平均速度，為速度水頭。局部損失管入出口、管截面變化部位，彎頭和三通、各種閥門等。原因：（1）截面變化引起速度重新分布；（2）流體元相互碰撞和增加摩擦；（3）二次流；（4）流動分離成渦。計算式：K為局部損失因子，V為制定部位的平均速度。入口K=0.5，出口K=1管截面突然擴大：

10、局部損失，如圖所示，平均速度分別是V1和V2，求局部損失因子。解：取圖示虛線所示控制體CV，由連續(xù)性方程實驗證明在死水區(qū)（拐角分離區(qū)）的壓強 。忽略側(cè)壁上的切應(yīng)力作用，由動量方程由伯努力方程由(a)(b)(c)式 （d）式中為小管中的速度。含局部損失的管道損失當管道流動中局部損失在總損失中所占比重不能忽略時，管道計算中應(yīng)將沿程損失和局部損失均考慮在內(nèi)，全部損失為所有沿程損失和局部損失之和在可壓縮流體流動中要考慮的流動參數(shù)除速度和壓強外還要加上密度和溫度。連續(xù)性方程不再獨立，必須與能量方程和狀態(tài)方程聯(lián)合求解，求解的結(jié)果顯然與不可壓縮流體的流動規(guī)律不同。例如在一定條件下，可壓縮氣體在截面積逐漸減小

11、的收縮管道內(nèi)作減速流動，而在截面積逐漸增大的擴張管道內(nèi)可作加速流動，均不違背質(zhì)量守恒定律。通常用壓強p、密度和溫度T三個物理量表示氣體的狀態(tài)，稱為基本狀態(tài)參數(shù)。完全氣體的基本狀態(tài)參數(shù)滿足如下方程式中R稱為氣體常數(shù)，由下式?jīng)Q定稱為通用氣體常數(shù)，數(shù)值是8 314.3J/kgmolK,為氣體平均分子量。氣體的內(nèi)能通常指分子熱運動所具有的動能。完全氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)其微分式可表示為稱為氣體的比定容熱容，它也僅是溫度的函數(shù)單位質(zhì)量氣體的焓稱為比焓，記為h(J/kg)，定義為h=e+在熱力學中稱為流動功，在流體力學中稱為壓能。焓是內(nèi)能和壓能之和。完全氣體的焓的微分式可表示為稱為氣體的比定壓熱容，它

12、僅是溫度的函數(shù)引入比熱比與的關(guān)系為如空氣熱力學第一定律表述為：對氣體所加的熱能等于氣體內(nèi)能的增加和氣體對外所做功之和。表達式為對完全氣體，可分別表示為單位質(zhì)量氣體的熵稱為比熵定義為微分式為熱力學第二定律表述為：氣體在絕熱的可逆過程中熵值保持不變；在不可逆過程中熵值必定增加。對完全氣體，絕熱而又可逆的過程稱為等熵過程，ds=0,氣體作無摩擦絕熱流動時為等熵流動。對完全氣體等熵流動可得完全氣體作等熵流動時的狀態(tài)參數(shù)關(guān)系式，常用表達式為常數(shù)聲速來表示流體的可壓縮性。聲速是彈性介質(zhì)中微弱擾動傳播速度的總稱。在圖C5.2.2a中有一豎向的微弱壓強擾動波在精致的流體介質(zhì)（V=0）中以聲速c向左運動。設(shè)某瞬

13、間波前的流體壓強和密度分別為p,。波后的流體速度變成dV壓強為p+dp,密度為。對地面上的觀察者而言，這是一個非定常流動。為了便于考察波前波后流體狀態(tài)參數(shù)的變化關(guān)系，在擾動層上取一薄層控制體CV，兩邊的面積均為A，并將坐標系固定在控制體上與波一起前進，對站在坐標系上的觀察者而言，流動是定常的。左邊的流體壓強為p,密度為，以速度c流入控制體；然后以壓強p+dp,密度，及速度為c-dV流出控制體。由一維連續(xù)性方程（B4.2.11）式有展開后得略去二階小量項可得角標s 表示等熵過程。上式是完全氣體的理論聲速公式當一個強烈的壓縮擾動在超聲速流場中傳播時,在一定條件下將形成強壓縮波陣面,稱為激波.激波是流動參數(shù)的強間斷面,流體通過激波后流動參數(shù)發(fā)生突躍地升高,而速度則突躍地降低。截面變化與Ma關(guān)系設(shè)管內(nèi)流動沿管軸x方向，平均速度為V。由一維定常流動歐拉運動方程式式中p為截面上的平均壓強，可得由一維可壓縮定常流動連續(xù)性方程對式取微分，并用除，可得利用（C5.4.2）式及聲速公式,由(C5.4.3)式可得因Ma=V/c,上式可化為或由(C5.4.2)式從(C5.4.2)和(C5.4.5)式可看到:Ma<1時,號說明(圖C5.4.1):亞聲速流(Ma<1)在收縮管(dA<o)中,將加速(dV>0)和減壓（dp<0）;在擴張管(dA>o)中，將減速dV<0