二次函數(shù)知識點及其應用的總結

1、二次函數(shù)學問點總結學問結構框圖一、二次函數(shù)的概念形如 y = ax2 + bx + c （a，b，c 是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，其中 x ， 是自變量， a、b、c 分別是函數(shù)表達式的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a ¹ 0 ，而b ，c 可以為零x 可以取全體實數(shù)二、二次函數(shù)的一般表達式1、 一般式： y = ax2 + bx + c （ a ， b ， c 為常數(shù)， a ¹ 0 ）；2、 頂點式：y = a(x - h) 2+ k（ a ，h ，k 為常數(shù)，a ¹ 0 ）其中 h = - b，k = 4a

2、c - b2 ；3、 兩根式：2a4ay = a( x - x1)( x - x2)(其中a ¹ 0, x1, x 是y=ax 2 + bx + c與x軸交點的橫坐標 )2留意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非全部的二次函數(shù)都可以 寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即b2 - 4ac ³ 0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.三、二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖像性質(軸對稱圖形)1. 當 a > 0 時，拋物線開口向上，對稱軸為 x = - b， 頂點坐標為æ -b4ac -

3、b2 ö 2aç2a ， 4a÷èø當 x < - b 時， y 隨 x 的增大而減?。划?x > - b時， y 隨 x 的增大而增大；2a2a當 x = - b2a時， y 有最小值 4ac - b2 4a2. 當 a < 0 時，拋物線開口向下，對稱軸為 x = - b，頂點坐標為æ -b4ac - b2 ö 2aç2a ， 4a÷èø當 x < - b 時， y 隨 x 的增大而增大；當 x > - b時， y 隨 x 的增大而減小；2a2a當 x

4、 = - b2a時， y 有最大值 4ac - b2 4a四、二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系1. 二次項系數(shù)a二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 中， a 作為二次項系數(shù)，明顯a ¹ 0 當a > 0 時，拋物線開口向上， a 的值越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當a < 0 時，拋物線開口向下， a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大 總結起來，a 打算了拋物線開口的大小和方向，a 的正負打算開口方向，a 的大小打算開口的大小2. 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a 確定的前提下， b 打算了拋物線的對稱軸 在a > 0 的前提下，當

5、b > 0 時， -當b = 0 時， - 當b < 0 時， -b < 0 ，即拋物線的對稱軸在 y 軸左側；2ab = 0 ，即拋物線的對稱軸就是 y 軸；2ab > 0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的右側2a 在a < 0 的前提下，結論剛好與上述相反，即當b > 0 時， - 當b = 0 時， -當b < 0 時， -b > 0 ，即拋物線的對稱軸在 y 軸右側；2ab = 0 ，即拋物線的對稱軸就是 y 軸；2ab < 0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的左側2a總結起來，在a 確定的前提下， b 打算了拋物線對稱軸的位置3. 常數(shù)項

6、c 當c > 0 時，拋物線與 y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為正； 當c = 0 時，拋物線與 y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為0 ； 當c < 0 時，拋物線與 y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為負 總結起來， c 打算了拋物線與 y 軸交點的位置總之，只要a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的五、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x 軸交點狀況）：一元二次方程ax2 + bx + c = 0 是二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 當函數(shù)值 y

7、 = 0 時的特別狀況.圖像與 x 軸的交點個數(shù)： 當d = b2 - 4ac > 0 時，圖像與 x 軸交于兩點 a(x1，0)，b (x2，0) (x1¹ x ) ，其中的2x ，x12是一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0)的兩根x ，x12和的一半恰好是對稱軸的橫坐標. 當d = 0 時，圖像與 x 軸只有一個交點； 當d < 0 時，圖像與 x 軸沒有交點.1”當a > 0 時，圖像落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實數(shù)，都有 y > 0 ；2” 當a < 0 時，圖像落在 x 軸的下方，無論 x 為任何實數(shù)，都

8、有 y < 0 2. 拋物線 y = ax2 + bx + c 的圖像與 y 軸肯定相交，交點坐標為(0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結： 求二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉化為頂點式；或者依據(jù)函數(shù)特點確定自變量能使函數(shù)取得最大值的值，并將其帶入到表達式中求出最值； 依據(jù)圖象的位置推斷二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 中a ，b ，c 的符號，或由二次函數(shù)中a ，b ， c 的符號推斷圖象的位置，要數(shù)形結合；（4）二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，可通過聯(lián)立方程求解，從而求出交點坐標。六、二

9、次函數(shù)的幾個特別的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式： y = ax2 的性質：結論：a 的確定值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向 頂點坐標 對稱軸a > 0向上(0，0)y 軸a < 0向下(0，0)y 軸性質x > 0 時，y 隨 x 的增大而增大；x < 0 時，y 隨x 的增大而減??； x = 0 時， y 有最小值0 x > 0 時，y 隨 x 的增大而減??；x < 0 時，y 隨x 的增大而增大； x = 0 時， y 有最大值0 總結：3. y = ax2 + c 的性質：y=2 x 2 +2y=2 x 2y=2 x 2 -4a 的符號開

10、口方向 頂點坐標 對稱軸a > 0向上(0，c)y 軸性質x > 0 時，y 隨 x 的增大而增大；x < 0 時，y 隨x 的增大而減小； x = 0 時， y 有最小值c結論：上加下減?？偨Y：a < 0向下(0，c)y 軸x > 0 時，y 隨 x 的增大而減小；x < 0 時，y 隨x 的增大而增大； x = 0 時， y 有最大值c 4. y = a (x - h)2的性質：y=3(x+4)2y=3x2y=-2(x+3)2y=3(x-2)2結論：左加右減?？偨Y：y=-2x2y=-2(x-3)2a 的符號開口方向向上頂點坐標 對稱軸(h ，0)a &g

11、t; 0x=h性質x > h 時， y 隨 x 的增大而增大； x < h 時， y隨 x 的增大而減??； x = h 時， y 有最小值0 a < 0向下(h ，0)x=hx > h 時， y 隨 x 的增大而減小； x < h 時， y隨 x 的增大而增大； x = h 時， y 有最大值0 4. y = a (x - h )2 + k 的性質：y= 2 x 2y=2(x-4) 2y=2(x-4) 2 -3a 的符號開口方向 頂點坐標 對稱軸a > 0向上(h ，k )x=ha < 0向下(h ，k )x=h性質x > h 時， y 隨 x 的增大而增大； x < h 時， y隨 x 的增大而減??； x = h 時， y