中學(xué)一元二次函數(shù)知識點整理

1、中學(xué)一元二次函數(shù)學(xué)問點整理1. 定義：一般地，假如 y = ax2 + bx + c(a, b, c 是常數(shù)， a ¹ 0) ，那么 y 叫做 x 的一元二次函數(shù).2. 二次函數(shù) y = ax 2 的性質(zhì)(1) 拋物線y = ax 2（a ¹ 0）的頂點是原點，對稱軸是y 軸. (2)函數(shù) y = ax 2 的圖像與a 的符號關(guān)系：當(dāng)a > 0 時Û 拋物線開口向上Û 頂點為其最低點；當(dāng)a < 0時Û 拋物線開口向下Û 頂點為其最高點3. 二次函數(shù)y = ax 2 + bx + c 的圖像是對稱軸平行于(包括重合) y 軸

2、的拋物線.4. 二次函數(shù)y = ax2+ bx + c 用配方法可化成：y = a(x - h)2 + k 的形式，其中h = -b， k =4 ac - b 2 .5. 拋物線 y = ax2 + bx + c 的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.a 打算拋物線的開口方向：2 a4 a當(dāng)a > 0 時，開口向上；當(dāng)a < 0時，開口向下；a越小，拋物線的開口越大，a越大，拋物線的開口越小。對稱軸為平行于 y 軸(或重合)的直線，記作 x = h .特別地， y 軸記作直線 x = 0.定點是拋物線的最值點最大值( a < 0時)或最小值( a > 0 時)，坐標(biāo)為( h

3、 , k )。6.求拋物線的頂點、對稱軸的方法(1)公式法：=2 +=æ+ b ö2+ 4ac - b2，頂點是（-b4ac-b2），對稱軸是直線 =- b .yaxbxcaç xè÷2a ø4a()，x2a4a2a(2) 配方法：運用配方法將拋物線的解析式化y為= a x - h 2 + k 的形式，得到頂點為( h , k )，對稱軸是x = h .(3) 運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩個點連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公

4、式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證，才能做到萬無一失7. 拋物線 y = ax 2+ bx + c 中， a, b, c 的作用(1) a 打算開口方向及開口大小，這與 y = ax 2 中的a 完全一樣.(2) b 和a 共同打算拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y = ax2 +bx+c 的對稱軸是直線x =- b ,故：2ab = 0 時，對稱軸為y 軸；b > 0 時,對稱軸在y 軸左側(cè)；b < 0 時,對稱軸在y 軸右側(cè).aa(3) c 的大小打算拋物線 y = ax 2 + bx + c 與 y 軸交點的位置.當(dāng) x = 0時， y = c ，拋物線 y = ax 2+ bx + c 與

5、 y 軸有且只有一個交點(0， c )：c = 0 ，拋物線經(jīng)過原點; c > 0 ,與 y 軸交于正半軸； c < 0 ,與 y 軸交于負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時仍成立.如拋物線的對稱軸在 y 軸右側(cè)，則b < 0 .a8. 二次函數(shù)由特別到一般，可分為以下幾種形式： y = ax 2 ； y = ax 2 + k ； y = a(x - h)2 ； y = a(x - h)2圖像特征如下：+ k ； y = ax 2+ bx + c .函數(shù)解析式y(tǒng) = ax 2y = ax 2 + k開口方向當(dāng) a > 0 時開口向上對稱軸x = 0( y 軸)x =

6、0( y 軸)頂點坐標(biāo)(0,0)(0,k )y = a(x - h)2y = a(x - h)2 + ky = ax 2 + bx + c當(dāng) a < 0時開口向下x = hx = h( h ,0)( h , k )x = - b2a( - b4ac - b2a，24a)9. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1) 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知圖像上三點或三對x 、 y 的值，通常選擇一般式.(2) 頂點式： y = a(x - h)2 + k .已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.(3) 交點式：已知圖像與x 軸的交點坐標(biāo) x 、 x12，通常選用交點式： y

7、= a(x - x1)(x - x ).210. 直線與拋物線的交點（或稱二次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)系）(1) y 軸與拋物線 y = ax2 + bx + c 得交點為( 0 , c )(2) 與 y 軸平行的直線 x = h 與拋物線 y = ax 2(3) 拋物線與 x 軸的交點+ bx + c 有且只有一個交點( h , ah 2 + bh + c ).二次函數(shù) y = ax 2+ bx + c 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo) x 、 x12，是對應(yīng)一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的兩個實數(shù)根.拋物線與x 軸的交點狀況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點&

8、#219; d > 0 Û 拋物線與 x 軸相交；有一個交點(頂點在 x 軸上) Û d = 0 Û 拋物線與 x 軸相切；沒有交點Û d < 0 Û 拋物線與 x 軸相離.(4) 平行于 x 軸的直線與拋物線的交點同(3)一樣可能有 0 個交點、1 個交點、2 個交點.當(dāng)有 2 個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為的圖像k ，則橫坐標(biāo)是ax 2 + bx + c = k 的兩個實數(shù)根.而根的存在狀況仍如(3)一樣由根的判別式判定。(5) 一次函數(shù) y = kx + n(k ¹ 0)的圖像l 與二次函數(shù) y = ax

9、2ì y = kx + n的解的數(shù)目來確定：îí y = ax 2 + bx + c方程組有兩組不同的解時Û l 與g 有兩個交點;+ bx + c(a ¹ 0)g 的交點，由方程組方程組只有一組解時Û l 與g 只有一個交點；方程組無解時Û l 與g 沒有交點.(6) 拋物線與 x 軸兩交點之間的距離：若拋物線y = ax 2+ bx + c 與 x 軸兩交點為 a(x ，0)，b(x)，0，由于x 、 x是方程ax 2+ bx + c = 0 的兩個根，故由韋達(dá)定理知： x + x1212=-b,x × x =

10、 c1212ab = x1- x =2aa(x - x )2æç-÷-b ö2èa ø4cab2 - 4ac a(x + x )2 - 4x xda=12121 211. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：(1) 一元二次方程0 = ax2 + bx + c 就是二次函數(shù) y = ax 2+ bx + c 當(dāng)函數(shù)y 的值為 0 時的狀況(2) 二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 的圖象與 x 軸的交點有三種狀況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；當(dāng)二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 的圖象與 x 軸有交點時，交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng) y = 0 時自變量 x 的值，即一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根(3) 當(dāng)二次函數(shù) y = ax2+ bx + c 的圖象與 x 軸有兩個交點時，則一元二次方程 y = ax2+ bx + c 有兩個不相等的實數(shù)根； 當(dāng)二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 的圖象與 x 軸有一個交點時， 則一元二次方程ax2 + bx + c = 0 有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù) y = ax2二次方程ax2 + bx + c = 0 沒有實數(shù)根12. 二次函數(shù)的應(yīng)用：+ bx + c 的圖象與 x 軸沒有