高考數(shù)學一輪復習總教案：6.5　數(shù)列的綜合應用_20210103224757

1、6.5數(shù)列的綜合應用典例精析題型一函數(shù)與數(shù)列的綜合問題【例1】已知f(x)logax(a0且a1)，設f(a1)，f(a2)，f(an)(nn*)是首項為4，公差為2的等差數(shù)列.(1)設a是常數(shù)，求證：an成等比數(shù)列；來源:(2)若bnanf(an)，bn的前n項和是sn，當a時，求sn.【解析】(1)f(an)4(n1)×22n2，即logaan2n2，所以ana2n2，所以a2(n2)為定值，所以an為等比數(shù)列. (2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2，當a時，bn(2n2) ·()2n2(n1) ·2n2，sn2·233

2、·244·25(n1) ·2n2，2sn2·243·25n·2n2(n1)·2n3，兩式相減得sn2·2324252n2(n1)·2n316(n1)·2n3，來源:所以snn·2n3.【點撥】本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基本題型之一，特征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，通過由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項公式，從而問題得到求解.【變式訓練1】設函數(shù)f(x)xmax的導函數(shù)f(x)2x1，則數(shù)列(nn*)的前n項和是()a. b. c. d.【解析】由f(x)mxm1a2x1得m2，a1.所以f

3、(x)x2x，則.所以sn11.故選c.題型二數(shù)列模型實際應用問題【例2】某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2009年底全縣的綠化率已達30%，從2010年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化.(1)設全縣面積為1,2009年底綠化面積為a1，經(jīng)過n年綠化面積為an1，求證：an1an；(2)至少需要多少年(取整數(shù))的努力，才能使全縣的綠化率達到60%？來源:【解析】(1)證明：由已知可得an確定后，an1可表示為an1an(14%)(1an)16%，即an180%an16%an.來源:數(shù)理化網(wǎng)(2)由an

4、1an有，an1(an)，又a10，所以an1·()n，即an1·()n，若an1，則有·()n，即()n1，(n1)lg lg 2，(n1)(2lg 2lg 5)lg 2，即(n1)(3lg 21)lg 2，所以n14，nn*，所以n取最小整數(shù)為5，故至少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%.【點撥】解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過反復讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題.【變式訓練2】規(guī)定一機器狗每秒鐘只能前進或后退一步，現(xiàn)程序設計師讓機器狗以“前進3步，然后再后退2步”的規(guī)律進行移動.如果將此機器狗放在數(shù)軸的原點，面向正

5、方向，以1步的距離為1單位長移動，令p(n)表示第n秒時機器狗所在的位置坐標，且p(0)0，則下列結(jié)論中錯誤的是()a.p(2 006)402b.p(2 007)403c.p(2 008)404d.p(2 009)405【解析】考查數(shù)列的應用.構(gòu)造數(shù)列pn，由題知p(0)0，p(5)1，p(10)2，p(15)3.所以p(2 005)401，p(2 006)4011402，p(2 007)40111403，p(2 008)4013404，p(2 009)4041403.故d錯.題型三數(shù)列中的探索性問題【例3】an，bn為兩個數(shù)列，點m(1,2)，an(2，an)，bn(，)為直角坐標平面上的點

6、.(1)對nn*，若點m，an，bn在同一直線上，求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足log2cn，其中cn是第三項為8，公比為4的等比數(shù)列，求證：點列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)在同一直線上，并求此直線方程.【解析】(1)由，得an2n.(2)由已知有cn22n3，由log2cn的表達式可知：2(b12b2nbn)n(n1)(2n3)，所以2b12b2(n1)bn1(n1)n(2n5).得bn3n4，所以bn為等差數(shù)列.故點列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)共線，直線方程為y3x4.【變式訓練3】已知等差數(shù)列an的首項a1及公差d都是整數(shù)，前n項和為sn(nn*).若a11，a43，s39，則通項公式an.【解析】本題考查二元一次不等式的整數(shù)解以及等差數(shù)列的通項公式.由a11，a43，s39得令xa1，yd得在平面直角坐標系中畫出可行域如圖所示.符合要求的整數(shù)點只有(2,1)，即a12，d1.所以an2n1n1.故答案填n1.總結(jié)提高1.數(shù)列模型應用問題的求解策略(1)認真審題，準確理解題意；(2)依據(jù)問題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應用通項公式、前n項和公式以及性質(zhì)求解，或通過探索、歸納構(gòu)造遞推數(shù)列求解；(3)驗證、反思結(jié)果與實際是否相符.