淺議單調(diào)有界函數(shù)的極限

1、    淺議單調(diào)有界函數(shù)的極限    鄧敏摘要 本文闡述、舉例說(shuō)明了由“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”不能得到“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”這一結(jié)論的理由，并進(jìn)一步討論了單調(diào)有界函數(shù)極限存在的條件。關(guān)鍵詞 單調(diào)有界，數(shù)列，函數(shù)，極限，極限過(guò)程一、引言“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”是微積分學(xué)的基本定理之一，是高等數(shù)學(xué)中證明第二個(gè)重要極限公式的一個(gè)重要預(yù)備定理， 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊函數(shù)， 所以很多學(xué)生就想當(dāng)然的認(rèn)為“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”，甚至有些教師在講到函數(shù)的極限時(shí)， 也利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”這個(gè)結(jié)論得出“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”的結(jié)論， 那么“單調(diào)有界函數(shù)”是否真的就

2、“必有極限”呢？如果結(jié)論是否定的，那么“單調(diào)有界函數(shù)”的極限到底是怎樣的呢？其極限和什么因素相關(guān)呢？二、單調(diào)有界數(shù)列的極限數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的一類特殊函數(shù)， 數(shù)列的極限比較簡(jiǎn)單， 因?yàn)槠渥宰兞康淖兓^(guò)程只有一個(gè)， 即 （實(shí)際上是n+），所以其極限僅取決于它的“單調(diào)性”和“有界性”，“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”這一定理就是對(duì)數(shù)列極限情況的具體詮釋。關(guān)于“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”， 很多高等數(shù)學(xué)教材上雖然沒(méi)有給出完整的證明卻都有具體表述如下：“1、如果數(shù)列xn是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列， 則該數(shù)列一定有極限，且如果m是其最小上界（即上確界），則當(dāng) 時(shí)，數(shù)列xn收斂于m；2、如果數(shù)列xn是單調(diào)遞減有下界的

3、數(shù)列， 則該數(shù)列一定有極限，且如果m是其最大下界（即下確界），則當(dāng) 時(shí)，數(shù)列xn收斂于m?！皢握{(diào)有界數(shù)列必有極限”的描述已經(jīng)包含了極限過(guò)程是 ， 所以我們只要說(shuō)求某個(gè)數(shù)列的極限（不必說(shuō)n是怎么變化的），大家都明白的。三、單調(diào)有界函數(shù)的極限（一）單調(diào)有界函數(shù)的極限函數(shù)的極限相比于數(shù)列的極限就復(fù)雜多了， 其極限是由函數(shù)本身的解析表達(dá)式、函數(shù)滿足的一些條件以及極限中自變量的變化趨勢(shì)共同決定的。因此，在討論函數(shù)的極限時(shí)， 我們既要考慮函數(shù)本身， 例如函數(shù)的解析表達(dá)式、函數(shù)滿足的一些條件等， 還要考慮極限中自變量的變化趨勢(shì)。而一般自變量的變化趨勢(shì)又有以下兩大類： （又分 和 ）和 （又分 和 ）?！皢握{(diào)

4、有界函數(shù)”的描述只強(qiáng)調(diào)了函數(shù)本身所具有的性質(zhì)-單調(diào)、有界， 并沒(méi)有給出自變量的變化過(guò)程。不像“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的描述中已經(jīng)包含了極限過(guò)程是 ， 所以我們不能由“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”得到“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”的結(jié)論。1下面的“例1”說(shuō)明：?jiǎn)握{(diào)有界函數(shù)， 對(duì)于不同的自變量的變化過(guò)程， 其極限可能存在， 也可能不存在。例1： 函數(shù)f（x）= 在其定義域 內(nèi)是單調(diào)有界遞減函數(shù)，且有 ， ，但是當(dāng) 時(shí)f（x）= 的極限不存在，即 不存在。（二）對(duì)“單調(diào)有界函數(shù)”的極限問(wèn)題，一般結(jié)論就是“單調(diào)有界連續(xù)函數(shù)一定有極限”。 “單調(diào)有界函數(shù)不一定每點(diǎn)都有極限，但是每點(diǎn)都有單側(cè)極限”。2 即設(shè)函數(shù)f（x

5、） 是 或內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，則f（x）在 或內(nèi)每一點(diǎn)x都有單側(cè)極限，更確切些就是 ，此外如果 ，那么 ，關(guān)于單調(diào)遞減的函數(shù)，顯然有類似的結(jié)果。3下面的“例2”就說(shuō)明：在各定義區(qū)間內(nèi)單調(diào)有界的函數(shù)，因?yàn)樵诙x域內(nèi)某點(diǎn)不連續(xù)，所以函數(shù)在該點(diǎn)的極限不存在。例2： 函數(shù) 在其兩個(gè)定義區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)有界函數(shù)， 是f（x）在其定義域內(nèi)的一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)， 盡管函數(shù)f（x）在其兩個(gè)定義區(qū)間內(nèi)是單調(diào)有界函數(shù)， 但因 ， 所以當(dāng) 時(shí)， 不存在。（三）最后要說(shuō)明的是，我們研究函數(shù)在 時(shí)的極限時(shí)還要看該函數(shù)在 的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是否有定義；在研究 時(shí)的極限時(shí)，還要看是否存在正數(shù)x， 當(dāng)|x|>x時(shí)該函數(shù)有定義。只有在滿足以上前提條件下， 才可以談這個(gè)函數(shù)此時(shí)的極限存在與不存在。這也就是前面所說(shuō)的“函數(shù)滿足的一些條件”所指的內(nèi)容。參考文獻(xiàn)1 羅鐵山，王榮. 單調(diào)有界函數(shù)必有極限嗎？j.唐山學(xué)院學(xué)報(bào)，2007年， 20卷（4期）：