2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）單元測試九

1、8一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1直線xy10的傾斜角是 ()a b c d解：由直線的方程得直線的斜率為k，設(shè)傾斜角為，則tan，所以故選d2()過點(diǎn)(1，3)且平行于直線x2y30的直線方程為 ()ax2y70 b2xy10cx2y50 d2xy50解：設(shè)與直線x2y30平行的直線方程為x2yc0(c3)，過點(diǎn)(1，3)，則16 c0，得c7，故所求直線方程為x2y70另解：利用點(diǎn)斜式故選a3若直線l1：x2ym0(m>0)與直線l2： xny30之間的距離是，則mn ()a0 b1 c1 d2解：因?yàn)橹本€l1：x2

2、ym0(m>0)與直線l2：xny30之間的距離為，所以所以n2，m2(負(fù)值舍去)所以mn0故選a4圓心在y軸上且通過點(diǎn)(3，1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是 ()ax2y210y0 bx2y210y0cx2y210x0 dx2y210x0解：設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r|b|，故圓的方程為x2(yb)2b2因?yàn)辄c(diǎn)(3，1)在圓上，所以9(1b)2b2，解得b5所以圓的方程為x2y210y0故選b5()已知拋物線y28x的準(zhǔn)線過雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線方程為xy0，則該雙曲線的方程為 ()ay21 bx21c1 d1解：由拋物線y28x，可得其準(zhǔn)線方

3、程為x2由題意可得雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，0)，所以c2又雙曲線的一條漸近線方程為xy0，所以，結(jié)合c2解得a1，b故雙曲線的方程為x21故選b6()已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為f，離心率為若經(jīng)過f和p(0，4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為 ()a1 b1c1 d1解：由題意得ab，1c4，ab21故選b7()若拋物線c：y2x的焦點(diǎn)為f，a(x0，y0)是c上一點(diǎn)，|af|x0，則x0()a1 b2 c4 d8解：由2p1得，且|af|x0x0，解得x01故選a8()若雙曲線c1：1與c2：1(a0，b0)的漸近線相同，且雙曲線

4、c2的焦距為4，則b ()a2 b4 c6 d8解：雙曲線c1：1的漸近線方程為 y±2x，由題意可得雙曲線c2：1(a0， b0)的漸近線方程為y±x，則有b2a，又 2c4，則c2，所以a2b220，解得a2，b4故選b9()已知圓c：x2y22x4y10，經(jīng)過點(diǎn)m(1，1)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為p，q，則|pq| ()a3 b2 c d解：圓的方程為(x1)2(y2)24，|pq|2×故選d10()若橢圓y21(m1)與雙曲線y21(n0)有共同的焦點(diǎn)f1，f2，p是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則f1pf2的面積是 ()a3 b1 c d解：由題意知橢圓的長軸長為

5、2，雙曲線的實(shí)軸長為2，由它們有相同的焦點(diǎn)，得m1n1，即mn2不妨設(shè)點(diǎn)p在雙曲線的右支上，f1，f2分別為左、右焦點(diǎn)，由雙曲線的定義得|pf1|pf2|2，由橢圓的定義得|pf1|pf2|2，22得|pf1|2|pf2|22(mn)4(m1)，22得|pf1|·|pf2|mn2又|f1f2|2，所以|f1f2|24(m1)，所以|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即f1pf2是直角三角形，故f1pf2的面積為|pf1|·|pf2|×21故選b11()已知橢圓1(ab0)的半焦距為c(c0)，左焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)為a，拋物線y2(ac)x與橢圓交于b，c兩點(diǎn)，若

6、四邊形abfc是菱形，則橢圓的離心率是 ()a b c d解：由題意得a(a，0)，f(c，0)，因?yàn)閽佄锞€y2(ac)x與橢圓交于b，c兩點(diǎn)，所以b，c兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱可設(shè)b(m，n)，c(m，n)，因?yàn)樗倪呅蝍bfc是菱形，所以bcaf，且2mac，則m(ac)，將b(m，n)代入拋物線方程得，n2(ac)m(ac)(ac)(a2c2)b2不妨設(shè)b(ac)，b)，將其代入橢圓方程得·1，化簡得，又e，所以上式可化為4e28e30，解得e或(舍去)故選d12已知a(2，0)，b(0，2)，實(shí)數(shù)k是常數(shù)，m，n是圓x2y2kx0上兩個(gè)不同點(diǎn)，p是圓 x2y2kx0上的動(dòng)點(diǎn)，如果m，n

7、關(guān)于直線x y10對(duì)稱，那么pab面積的最大值是 ()a3 b4 c3 d6解：依題意得圓x2y2kx0的圓心位于直線xy10上，于是有10，即k2，因此圓心坐標(biāo)是(1，0)，半徑是1由題意可得|ab|2，直線ab的方程是1，即xy20，圓心(1，0)到直線ab的距離等于，點(diǎn)p到直線ab的距離的最大值是1，所以pab面積的最大值為×2×3，故選c二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13()雙曲線1的離心率為_解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知a22，b24，則c2a2b26，所以e故填14若pq是圓x2y29的弦，pq的中點(diǎn)是(1，2)，則直線pq的方程是_解：由題知直線p

8、q的斜率是，故直線pq的方程是y2(x1)，即x2y50故填x2y5015()已知f是拋物線c：y28x的焦點(diǎn)，m是c上一點(diǎn)，fm的延長線交y軸于點(diǎn)n若m為fn的中點(diǎn)，則|fn|_解：設(shè)n(0，a)，f(2，0)，那么m，點(diǎn)m在拋物線上，所以8a232a±4，所以n(0，±4)，那么|fn|6故填616()橢圓c：1(ab0)的右焦點(diǎn)與拋物線e：y24x的焦點(diǎn)f重合，點(diǎn)p是橢圓c與拋物線e的一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)q(0，1)滿足qfqp，則橢圓c的離心率為_解：由拋物線e：y24x，得p2，所以f(1，0)，又q(0，1)且qfqp，所以qp所在直線的斜率為1，所以qp所在直線的方

9、程為yx1，聯(lián)立得p(1，2)，則2a22，即a1，所以橢圓c的離心率為e1故填 1三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(10分)分別求滿足下列條件的直線方程，并化為一般式(1)經(jīng)過點(diǎn)p(1，2)，且斜率與直線y2x3的斜率相同；(2)經(jīng)過兩點(diǎn)a(0，4)和b(4，0)；(3)經(jīng)過點(diǎn)(2，4)且與直線3x4y50垂直解：(1)過點(diǎn)p(1，2)，斜率與直線y2x3的斜率相同的直線方程是y22(x1)，化為一般式方程為2xy40(2)過兩點(diǎn)a(0，4)和b(4，0)的直線方程是1，化為一般式方程為xy40(3)設(shè)與直線3x4y50垂直的直線方程為4x3ym0，且該直線過點(diǎn)

10、(2，4)，則有4×23×(4)m0，解得m4，所以所求的直線方程為4x3y40也可直接由點(diǎn)斜式求解18(12分)()已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為f，p為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)當(dāng)|pf|2時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)p到直線yx10的距離的最小值解：(1)依題意可設(shè)p(a>0)，易知f(0，1)，因?yàn)閨pf|2，結(jié)合拋物線的定義得12，即a2，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2，1)(2)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(a>0)，則點(diǎn)p到直線yx10的距離d因?yàn)閍10(a2)29，所以當(dāng)a2時(shí)，a10取得最小值9，故點(diǎn)p到直線yx10的距離的最小值 dmin19(12分)

11、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以o為圓心的圓與直線xy4相切(1)求圓o的方程；(2)圓o與x軸相交于a、b兩點(diǎn)，圓o內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)p使|pa|，|po|，|pb|成等比數(shù)列，求·的取值范圍解：(1)依題設(shè)，圓o的半徑r等于原點(diǎn)o到直線xy40的距離，即r2，得圓o的方程為x2y24(2)由x24，即得a(2，0)，b(2，0)設(shè)p(x，y)，由|pa|，|po|，|pb|成等比數(shù)列，得·x2y2，即x2y22·(2x，y)·(2x，y)x24y22(y21)由于點(diǎn)p在圓o內(nèi)，故由此得y2<1所以·的取值范圍是2，0)20(12分)()如圖，設(shè)拋物

12、線c：y22px(p0)的焦點(diǎn)為f，過點(diǎn)f的直線l1交拋物線c于a，b兩點(diǎn)，且|ab|8，線段ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為3(1)求拋物線c的方程；(2)若直線l2與圓x2y2切于點(diǎn)p，與拋物線c切于點(diǎn)q，求fpq的面積解：(1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab中點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，由題意知3，所以x1x26又|ab|x1x2p8，所以p2故拋物線c的方程為y24x(2)由題意知直線l2的斜率存在且不為0，設(shè)直線l2的方程為ykxm(k0)，由l2與o相切得 ，即2m21k2聯(lián)立整理得k2x2(2km4)x m20，(*)因?yàn)橹本€l2與拋物線相切，且k0，所以(2km4)24k2m20，

13、得km1，由得k±1，所以方程(*)可化為x22x10，解得x1，所以q(1，±2)，此時(shí)直線l2的方程為yx1或yx1，所以點(diǎn)f(1，0)到直線l2的距離為d，所以spqf|pq|·d××21(12分)()已知橢圓c：1(ab0)，過橢圓的右焦點(diǎn)f任作一條直線交橢圓c于a，b兩點(diǎn)，過橢圓中心任作一條直線交橢圓c于m，n兩點(diǎn)(1)求證：直線am與直線an的斜率之積為定值；(2)若2a·|ab|mn|2，試探究直線ab與直線mn的傾斜角之間的關(guān)系解：(1)證明：設(shè)a(x1，y1)，m(x3，y3)，因?yàn)閗am，kan，所以kam

14、3;kan為定值(2)當(dāng)弦ab所在直線的斜率不存在時(shí)，|ab|，所以|mn|2b，所以弦mn為橢圓的短軸，此時(shí)，mnab當(dāng)弦ab，弦mn所在直線的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)弦ab與弦mn所在直線的斜率分別為k1，k2，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x3，y3)，n(x4，y4)，則直線ab，mn的方程分別為yk1(xc)，yk2x，由得(b2a2k)x22a2kcxa2c2ka2b20，因?yàn)閍b，所以kk，所以k1±k2，所以直線ab與直線mn的傾斜角相等或互補(bǔ)綜上所述，直線ab與直線mn的傾斜角相等或互補(bǔ)22(12分)()已知橢圓c：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，離心率e，p為橢圓c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，pf1f2面積的最大值為，拋物線e：y22px(p0)與橢圓c有共同的焦點(diǎn)(1)求橢圓c和拋物線e的方程；(2)設(shè)a，b是拋物線e上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且·5()求證：直線ab必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)m的坐標(biāo)；()過點(diǎn)m作ab的垂線與拋物線交于g，h兩點(diǎn)，求四邊形agbh面積的最小值解：(1)設(shè)f1(c，0)，f2(c，0)，則由題意得解得所以橢圓c的方程為1由1，得p2，所以拋物線e的方程為y24x聯(lián)立得y24my4t0，則y1y2