2022年小學(xué)奧數(shù)專題29排列組合2

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載奧數(shù)解排列組合應(yīng)用題排列組合問題為必考題,它聯(lián)系實際生動好玩,但題型多樣,思路敏捷,不易把握,實踐證明,把握題型和解題方法,識別模式,嫻熟運用,為解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略 .1. 相鄰問題捆綁法 : 題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組,當(dāng)作一個大元素參與排列 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1.a、 b、 c 、 d 、 e 五人并排站成一排,假如a、 b 必需相鄰且 b 在 a 的右邊,那么精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載不同的排法種數(shù)有a.60 種b.48 種c.36 種d.24

2、 種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：把a、 b 視為一人,且b 固定在 a 的右邊,就此題相當(dāng)于4 人的全排列,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a4424 種,答案： d .2. 相離問題插空排 : 元素相離（即不相鄰）問題,可先把無位置要求的幾個元素全排列,再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例 2. 七人并排站成一行,假如甲乙兩個必需不相鄰,那么不同的排法種數(shù)為a.1440 種b.3600 種c.4820 種d.4800 種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：除甲乙外,其余5 個排列數(shù)為a5 種,再用甲乙去插6 個空位有a

3、2 種,不精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載56a a56同的排法種數(shù)為523600 種,選 b .3. 定序問題縮倍法 : 在排列問題中限制某幾個元素必需保持肯定的次序,可用縮小倍數(shù)的方法 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 3.a、 b、 c 、 d 、 e 五人并排站成一排,假如b 必需站在 a 的右邊（a、 b 可以不相精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載鄰）那么不同的排法種數(shù)為a.24 種b.60 種c.90 種d.120 種解析： b 在 a 的右邊與 b 在 a 的左邊排法數(shù)相同, 所以題設(shè)的排法只為5 個元素精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

4、 - 歡迎下載a5全排列數(shù)的一半,即15260 種,選 b .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4. 標(biāo)號排位問題分步法: 把元素排到指定位置上,可先把某個元素按規(guī)定排入,其次步再排另一個元素,如此連續(xù)下去,依次即可完成.例 4. 將數(shù)字 1,2,3,4 填入標(biāo)號為1,2,3,4 的四個方格里,每格填一個數(shù),就每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有a.6 種b.9 種c.11 種d.23 種解析：先把 1 填入方格中, 符合條件的有3 種方法, 其次步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格,又有三種方法； 第三步填余下的兩個數(shù)字,只有一種填法,共有 3×3×

5、1=9 種填法,選 b .5. 有序安排問題逐分法: 有序安排問題指把元素分成如干組,可用逐步下量分組法.例 5. （ 1）有甲乙丙三項任務(wù),甲需2 人承擔(dān),乙丙各需一人承擔(dān),從10 人中選出 4 人承擔(dān)這三項任務(wù),不同的選法種數(shù)為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a.1260 種b.2025 種c.2520 種d.5040 種解析：先從10 人中選出 2 人承擔(dān)甲項任務(wù),再從剩下的8 人中選 1 人承擔(dān)乙項任務(wù),第三 步從 另外 的7人 中選1人承 擔(dān)丙項 任務(wù) ,不 同的 選法共有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cc c21110872520 種,選 c .精品學(xué)

6、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）12 名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查,如每個路口4 人,就不同的安排方案有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a.c4 c 4c4 種b.3c 4 c4 c4 種c. c4 c 4 a3 種d.444c c ca1284 種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1284答案： a .6. 全員安排問題分組法:1284128333精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 6. （ 1） 4 名優(yōu)秀同學(xué)全部保送到3 所學(xué)校去,每所學(xué)校至少去一名,就不同的保送方案有多少種？43解析：把四名同學(xué)分成3 組有 c 2 種

7、方法,再把三組同學(xué)安排到三所學(xué)校有a3 種,c a43故共有2336 種方法 .說明：安排的元素多于對象且每一對象都有元素安排經(jīng)常用先分組再安排.（ 2） 5 本不同的書,全部分給4 個同學(xué),每個同學(xué)至少一本,不同的分法種數(shù)為a.480 種b.240 種c.120 種d.96 種答案： b .7. 名額安排問題隔板法:例 7.10 個三好同學(xué)名額分到7 個班級,每個班級至少一個名額,有多少種不同安排方案？解析： 10 個名額分到7 個班級,就為把10 個名額看成10 個相同的小球分成7c9堆,每堆至少一個,可以在10 個小球的9 個空位中插入6 塊木板,每一種插法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

8、- - 歡迎下載對應(yīng)著一種安排方案,故共有不同的安排方案為8. 限制條件的安排問題分類法:684 種.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 8. 某高校從某系的 10 名優(yōu)秀畢業(yè)生中選 4 人分別到西部四城市參與中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè), 其中甲同學(xué)不到銀川, 乙不到西寧, 共有多少種不同派遣方案？解析：由于甲乙有限制條件,所以依據(jù)為否含有甲乙來分類,有以下四種情形：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如甲乙都不參與, 就有派遣方案a4 種；如甲參與而乙不參與,先支配甲有3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8種方法,

9、然后支配其余同學(xué)有a3 方法,所以共有3a3 ；如乙參與而甲不參與同精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載88理也有3a3 種；如甲乙都參與,就先支配甲乙,有7 種方法,然后再支配其余精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載88 人到另外兩個城市有a2 種,共有7 a2 方法 . 所以共有不同的派遣方法總數(shù)為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載88a43 a33 a37 a24088種.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8

10、888精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9. 多元問題分類法： 元素多, 取出的情形也多種, 可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情形分別計數(shù),最終總計.例 9. （ 1）由數(shù)字0,1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有a.210 種b.300 種c.464 種d.600 種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：按題意,個位數(shù)字只可能為0.1.2.3 和 4 共 5 種情形,分別有a5 . a1 a1 a3 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5433333a1 a1 a3 .23333a1 a1 a3 和 a1 a3 個,合

11、并總計300 個、 選 b .（ 2）從 1,2,3,100 這 100 個數(shù)中, 任取兩個數(shù), 使它們的乘積能被7 整除,這兩個數(shù)的取法（不計次序）共有多少種？解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7 整除時, 他們的乘積就能被7 整除,將這100個 數(shù) 組 成 的 集 合 視 為 全 集i、能 被7整 除 的 數(shù) 的 集 合 記 做a7、14、21、98共 有14個元 素 、 不 能 被7整 除 的 數(shù) 組 成 的 集 合 記做ei a1、 2、 3、 4、 10共0有 86 個元素；由此可知,從a 中任取 2 個元素的取法有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c142 ,從 a 中

12、任取一個,又從ei a 中任取一個共有11cc1486,兩種情形共符合要求的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載取法有 c2c1 c11295 種.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載141486（ 3）從 1,2,3,100 這 100 個數(shù)中任取兩個數(shù),使其和能被4 整除的取法（不計次序）有多少種？解 析 ： 將 i1、 2、 3、 100分 成 四 個 不 相 交 的 子集 , 能 被4整 除 的 數(shù)集精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a4、 8、 12、10；0能被 4 除余 1 的數(shù)集 b1、5、9、97,

13、能被 4 除余 2 的數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載集 c2、6、98,能被 4 除余 3 的數(shù)集 d3、7、11、99,易見這四個集合中精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載每一個有 25 個元素；從 a 中任取兩個數(shù)符合要；從b 、 d 中各取一個數(shù)也符合要求；從 c 中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的取法共有 c2c1 c1c 2 種.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2525252510. 交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分

14、之間有交集,可用集合中求元素精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載個數(shù)公式n ab n anbn ab .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 10. 從 6 名運動員中選出4 人參與 4× 100 米接力賽,假如甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集 =6 人中任取 4 人參賽的排列,a=甲跑第一棒的排列 ,b=乙跑第四棒的排列,依據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：4332精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n i n an bn aba6a5a5a4252 種.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11. 定位

15、問題優(yōu)先法： 某個或幾個元素要排在指定位置,可先排這個或幾個元素；再排其它的元素；例 11.1 名老師和4 名獲獎同學(xué)排成一排照相留念,如老師不站兩端就有不同的排法有多少種？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：老師在中間三個位置上選一個有a1 種,4 名同學(xué)在其余4 個位置上有a4 種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載34a a34方法；所以共有1472 種.12. 多排問題單排法 : 把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮,再分段處理. 例 12. （1）6 個不同的元素排成前后兩排,每排3 個元素,那么不同的排法種數(shù)為 a.36 種b.120 種c.720 種d.

16、1440 種解析：前后兩排可看成一排的兩段,因此此題可看成6 個不同的元素排成一排,a共66720種,選 c .（ 2） 8 個不同的元素排成前后兩排,每排4 個元素,其中某2 個元素要排在前排,某 1 個元素排在后排,有多少種不同排法？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4a解析：看成一排,某2 個元素在前半段四個位置中選排2 個,有a2 種,某 1 個精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4元素排在后半段的四個位置中選一個有a1 種,其余 5 個元素任排 5 個位置上有5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資

17、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載種,故共有125a a a54455760 種排法 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13.“至少”“至多” 問題用間接排除法或分類法: 抽取兩類混合元素不能分步抽.例 13. 從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機中任取3 臺,其中至少要甲型和乙型電視機各一臺,就不同的取法共有a.140 種b.80 種c.70 種d.35 種解析 1：逆向摸索,至少各一臺的反面就為分別只取一種型號,不取另一種型號精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的電視機,故不同的取法共有c3c 3c370 種、 選. c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

18、945解析 2：至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情形：甲型1 臺乙型 2 臺；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載甲型 2 臺乙型 1 臺；故不同的取法有c2 c1c1c 270 臺、 選c .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載545414. 選排問題先取后排: 從幾類元素中取出符合題意的幾個元素,再支配到肯定的位置上,可用先取后排法.4例 14. （1）四個不同球放入編號為1,2,3,4 的四個盒中,就恰有一個空盒的放法有多少種？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：“先取”四個球中二個為一組,另二組各一個球的方法有c2 種,“再排”精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

19、習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在四個盒中每次排3 個有a3 種,故共有23144 種.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4c a44（ 2） 9 名乒乓球運動員,其中男5 名,女 4 名,現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練,有多少種不同的分組方法？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載542解析：先取男女運動員各2 名,有 c 2c2 種,這四名運動員混和雙打練習(xí)有a2 中精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載排法,故共有222c c a542120種.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載15. 部分合條件問題排除法: 在選

20、取的總數(shù)中, 只有一部分合條件, 可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù),即為所求.例 15. （1）以正方體的頂點為頂點的四周體共有a.70 種b.64 種c.58 種d.52 種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：正方體8 個頂點從中每次取四點,理論上可構(gòu)成c 4 四周體,但6 個表面精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四周體,所以四周體實際共有c841258 個.（ 2）四周體的頂點和各棱中點共10 點,在其中取 4 個不共面的點, 不同的取法共 有 a.150 種b.147 種c.144 種d.141 種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

21、 - - 歡迎下載c10解析： 10 個點中任取4 個點共有4 種,其中四點共面的有三種情形：在四周精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載體的四個面上,每面內(nèi)四點共面的情形為c 4 ,四個面共有4c4 個；過空間四精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載66邊形各邊中點的平行四邊形共3 個；過棱上三點與對棱中點的三角形共6 個.所以四點不共面的情形的種數(shù)為c44c436141 種.10616. 圓排問題線排法: 把 n 個不同元素放在圓周n 個無編號位置上的排列,次序（例如按順時鐘） 不同的排法才算不同的排列,而次序相同 （即旋轉(zhuǎn)一下

22、就可以重合）的排法認為為相同的,它與一般排列的區(qū)分在于只計次序而首位.末位之分,以下 n 個一般排列：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1、 a2 、 a3、 an ; a2 、a3 、 a4 、 an 、; an 、 a1、 an1 在圓排列中只算一種, 由于旋轉(zhuǎn)后可精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載以重合,故認為相同,n 個元素的圓排列數(shù)有n. 種. 因此可將某個元素固定展成n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載線排,其它的 n1 元素全排列 .例 16.5 對姐妹站成一圈,要求每對姐妹相鄰,有多少種不同站法

23、？4解析：第一可讓5 位姐姐站成一圈,屬圓排列有a4 種,然后在讓插入其間,每精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載位均可插入其姐姐的左邊和右邊, 有 2 種方式,故不同的支配方式不同站法 .2425768 種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載說明：從 n 個不同元素中取出m 個元素作圓形排列共有1mam 種不同排法 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n17. 可重復(fù)的排列求冪法: 答應(yīng)重復(fù)排列問題的特點為以元素為討論對象,元素不受位置的約束, 可逐一支配元素的位置,一般地 n 個不同元素排在m 個不同位置精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的排列數(shù)

24、有mn 種方法 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 17. 把 6 名實習(xí)生安排到7 個車間實習(xí)共有多少種不同方法？6解析：完成此事共分6 步,第一步；將第一名實習(xí)生安排到車間有7 種不同方案,其次步： 將其次名實習(xí)生安排到車間也有7 種不同方案, 依次類推, 由分步計數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載原理知共有7 種不同方案 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載18. 復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法:例 18. 公路上有編號為 1, 2, 3 , 9 九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞,但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞, 也不能關(guān)掉兩端的兩盞, 求滿意條件的關(guān)燈方案

25、有多少種？解析：把此問題當(dāng)作一個排對模型,在 6 盞亮燈的5 個間隙中插入3 盞不亮的燈5c3 種方法 、 所以滿意條件的關(guān)燈方案有10 種.說明：一些不易懂得的排列組合題,假如能轉(zhuǎn)化為熟識的模型如填空模型,排隊模型,裝盒模型可使問題簡潔解決.19. 元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:例 19. 設(shè)有編號為1,2, 3,4, 5 的五個球和編號為1,2,3,4,5 的盒子現(xiàn)將這 5 個球投入 5 個盒子要求每個盒子放一個球, 并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同,問有多少種不同的方法？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：從5 個球中取出2 個與盒子對號有c 2 種,仍剩下3 個球與 3 個盒子序號精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5不能對應(yīng),利用枚舉法分析,假如剩下 3, 4, 5 號球與 3,4,5 號盒子時, 3 號球不能裝入 3 號盒子,當(dāng) 3 號球裝入 4 號盒子時, 4,5 號球只有 1 種裝法, 3 號球裝入 5 號盒子時, 4,5 號球也只有 1 種裝法,所以剩下三球只有 2 種裝法,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因此總共裝法數(shù)為2c220 種.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)